[박재우] 안녕하세요 ^^
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00018181607
오르비 회원 여러분 오랜만입니다.
오르비 클래스 수학강사 박재웁니다.
더위가 가고 기분이 좋아질 것 같은데 곧 9월이네요.
수험생들은 시험이 현실로 느껴지기 시작하는 달입니다.
머 9평이 있어서가 아니구요. 그건 그냥 실전 연습이라고 생각하세요.
원서를 쓰게 되는 달이죠.
이게 말입니다. 원서를 쓰게 되면 기분이 묘해지고 바빠지게 됩니다.
이 것이 모든 컨디션이나 일정이 잘 관리되다가 흔들리게 되는 시발점이 되기도 합니다.
언제나 꾸준히 변함없이 앞만보고 가시기 바랍니다.
하고자 하는 사람은 못 할게 없다는 거 잘 아시죠 ?
저도 개인적으로 먼가를 이루기 위해 많은 준비를 하고 있습니다.
에너지도 많이 되찾고
꽤나 희망적입니다. 저 개인적으로는요 ㅎㅎ
오늘은 미루어 놓았던 칼럼을 하나 쓸려고 합니다.
공부하다가 지친 머리를 식혀 보시기 바랍니다.
물론 더 뜨거워지는 분들도 있겠지만요. ㅋ
저번 칼럼 처럼 이미지도 부가해서 쓰겠습니다.
수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는
습관이 매우 중요합니다.
대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.
아닌가요 ? ㅋㅋ
그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?
특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?
수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.
이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.
비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게
좋은 방법이라고 생각합니다.
먼저 원리하나 소개할께요.
* Cavalieri의 원리 *
같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.
이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.
각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면
모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?
당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.
이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.
먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요
반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서
위 아래 두 개의 대칭 원뿔을
뺀 도형 두 개를 생각해볼께요
그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.
여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.
같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로
두 입체의 부피는 같습니다.
오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로
그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.
모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.
이해가 좀 되셨는 지요.
그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라
평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.
단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.
물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.
암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.
물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.
미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요
오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서
아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.
이해 되셨나요 ?
왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서
동일한 단면적을 갖습니다.
피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서
직선이 되는 것은 아실겁니다.
그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면
이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.
도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는
것이 강점입니다.
요즘은 정사영 이면각이 잘 안나오는 추세지만
예전에 이런 문제가 나온적이 있었죠.
기억니시나요 ?
어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^
열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
다들 놀러갔나 기만자들
-
걍 다 당근에 팔고 새로시작하고싶음
-
ㅁㅌㅊ
-
뭐 먹을지 모르겠네 입맛이.... + 사과 샌드위치 아무도 안고르시네요 저거 맛있는데..
-
옯스타 만듦 3
대충 아는 사람들에겐 내가 팔로를 걸었음 당장 확인대로 수락 누를 것을 명령함. 이상.
-
남과 나 사이에 거리감을 못느끼는 나는나 너는너인데 그 경계를 못느껴서 모든사람을...
-
아.
-
8종성법(국어) 1
ㄱㄴㄷㄹㅁㅂㅅㅇ(옛이응) 가느다란물방울의 시대는 가고 가느다란 명박 석열로 바뀔 때가 왔다.
-
4덮 물1 48 0
무보정 1컷이 44던데 더프 과탐 무보정컷이 평가원 과탐 컷보다 빡센가요?
-
학교 측에서 제게 이렇게 말해줬습니다 이제 저의 선택에 따라 운명이 갈리겠네요...
-
목표 한의대만 잡는다고 하면?
-
방학때부터 김승리t 현강 들었습니다. 독서와 문학 모두 실력이 증가하긴 했는데 독서...
-
공부는 괜찮게 한다고 생각하는데 못생기고 배나온 것때문에 가끔 인생에 현타가...
-
답이 없는걸까..
-
궁금해짐
-
오후다섯시구나
-
만약 여친이 있다고 가정시 여친이 인스타 안하면 좋음? 핸드폰도 아이폰이 아닌 갤럭시ㅋㅋ
-
잇올 센터장 2
잇올 센터장이 바뀔 수도 있음? 1년만에 잇올 다시 다니는데 센터장이 바뀌었는데?...
-
(무료 강의) 4개월만에 4->1등급, 국어 이정표가 무료 비문학 세미나를 개최합니다 ! 0
안녕하세요 여러분 중하위권 전문 국어 선생 이정표입니다. 경력은 첨부 사진에 기재해...
-
이감지문 탈탈 털리고 강의도 흘려 나감 (경제 지문..)
-
으으
-
자기 학년 아래거 공부하면 존나 놀려댐 ㄹㅇ... 근데 좆반고기준 놀리는 애들중...
-
.ㅜㅜㅜ
-
남자들은 전자 좋아하는 사람이 많음? 일단 확 눈에 띄는건 전자같긴 함
-
이 ㅅH끼 부활할 가능성 있나...
-
미치겠네요ㅠ 군대라서 다운도 못받고
-
뭐가 있나요..? 똑같이 취한척 하기??
-
24수능 언미, 과탐1과목, 영어 1등급을 기준으로 대충 나오는 원점수 조합 윤곽이...
-
학생증이 너무 틀딱이라 안된다네용
-
항상 시험날 똑같이 잡더니 올해는 다르던데 면접날까지 다르면 둘다 동시 합격...
-
우으 뜌따이
-
시대는 안될거같고 둘중에 어디갈까요
-
6모 대비 모고 이런거엔 눈길 주지 말고 하던 뉴분감이나 마저 하는게 맞죠?
-
마지막으로 좋아요 누른 분 ㅇㅈ하시면 제 전 재산을 나누어 드립니다… 하는 사람...
-
딱5분만더잇다가.,..
-
디시 말고 다른 커뮤끼리 투표 다시 부탁한다 꾸벅
-
점심 먹고 낮잠을 자고 난 후 새로운 하루를 시작한다....! 실로 천재적
-
보통 몇번이 어려운지 좀 알려주세요 킬러,준킬러
-
쇼핑하고 집가기 0
야구 없는 날이라 우럿어
-
3지문 합쳐서 경ㅁ식 선거조사 이상치 정상치 중앙값 평균값 노자의 어쩌구 3지문 ㅇㅇ
-
의대증원 철회 0
재판부에서 컷 낼 확률 몇이나 된다고 보심??
-
인간은 왜 밥을 머겅야 하는가
-
오랜만에 왔는데 0
재미없네 다시간다
-
양질의 답변이 나옴 단답 큐마분들 너무 서러워요
-
4월 생투는 도대체 왜 표점 100점이 나오는 거지 1
4월 생투는 기만 아니라 ㄹㅇ로 추론 퍼즐 없는 순수 개념형 시험지인데 (준킬/킬러...
-
'스읍 이게 그나마 맞는 소리 같은데?'나 '이게 그나마 틀린 얘기인 것...
-
유난히 그냥 뉴런보다 어려운거 같은데 맞음?
-
광란의 2023년 4월 모의고사 과탐2 만점 표준점수 2
crux table에서 발췌했습니다! (늘 좋은 자료 감사합니다 ㅎㅎ) 만점...
아 국어5등급 이해안된다 ㅅㅂ...
요약좀
한줄로 요약하면
이것도 이해 안 가면 뒤지렴^^
이라고 써있어요
ㅇㄷ
닉값
아싸 내일 태풍오는데
그 지구과학하는 애들은 "태풍의 눈" 무조건알지......?
(아! 물론 생명 화학 물리 하는애들은 그냥 배우지 않아도 앎 ㅇㅇ)
거기 한번 뛰어 갔다 와볼께
진짜 거기는 바람 안부는지 확인하구 태풍의 눈 지나가고 바람에 휩쓸려 한번 뒤져봄 ㅇㅇ
보이려나 모르겠는 데 박재우선생님의 애제자 ㅊㄱ가 쉽게 설명해드릴게요
철구요?
2
안보일까바
굿굿 ^^
쌤 이루하에서 뵐때마다 인사하고싶은데 소심해서 못하겠어요ㅎㅎ 실물이 훨씬 나으신듯...?
그냥 인사해요 ^^
닉값굳굳
멋져유