2024년 양서고 수학2 중간시험 해설
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00067900517
#1
눈을 똑바로 뜹시다!
#2
다항함수 조건이 주어졌을 때 위와 같이 식을 작성해보는 것은 기본입니다.
때로 저러한 형태의 함수를 생성함수라고도 부릅니다.
작성 후 (가) 조건에서 최고차항 계수, 차수 결정짓고
(나) 조건으로 나머지 결정하시면 되겠습니다.
이것이 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 f(x)의 뜻이며
다항함수는 이를 만족하는 종류의 함수 중 하나입니다.
위의 논리에 따라 함수 f(x)가 x=a에서 미분 가능하다면
함수 f(x)는 x=a에서 연속임을 알 수 있습니다.
#3
인수분해 각이 보이지?
혹은 분모와 분자가 모두 x=1에서 미분 가능하고
0을 함숫값으로 가지는 것을 알기 때문에
각각에 미분계수의 정의를 적용할 수도 있겠습니다.
물론 이는 수학2 범위를 지난 (2015 개정 교육과정 기준)
미적분 범위의 '합성함수 미분법'을 학습해야 받아들일 수 있기에
생략하겠습니다.
#4
전형적인 문항입니다.
고등학교 교육과정에서는 독립 변수가 1개인
1변수함수만을 다루기 때문에 보기 어려운 조건식일 수도 있는데
그래서 우리는 2변수함수처럼 보이는 (가) 조건을
1변수함수로 바라볼 시도를 해볼 수 있습니다.
(나) 조건과 묻는 값에 모두 미분계수가 존재하니
미분계수에 관한 생각을 해보기 위해 도함수의 정의를 떠올려보십시다.
이때 f(x)는 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수이므로
f'(x)가 임의의 실수 x에 대해 수렴해야 합니다.
즉, [f(h)+3]/h가 h가 0으로 갈 때 수렴해야 합니다.
따라서 f'(x)을 완전하게 작성할 수가 있습니다.
(f(x)에 대하여)
#5
그래프 그렸으니 이제 y=x+k 움직여봅시다.
이제 ㄱㄴㄷ 하나씩 판단해보시면 됩니다.
연속의 정의는 우극한, 좌극한, 함숫값 존재하고 셋 모두 같다 입니다.
엄밀한 정의는 다음과 같습니다.
생각해보면 2015 개정 교육과정 기준 부등식을 재밌게 다루는 부분이
고등학교 1학년 때 공부하는 수학(상) 부등식 단원이 유일한 것 같은데
이것이 대학교 1학년 때 공부하는 함수의 극한의 엄밀한 정의 (입실론-델타 논법) 로
이어지는 부분이 매력적으로 다가오기도 합니다.
#6
좌표평면에서의 함수 y=f(x)의 그래프와 함수 y=g(x)의 그래프의
교점의 x좌표는 x에 관한 방정식 f(x)=g(x)의 실근과 같습니다.
두 점 A, B 중 더 왼쪽에 있는 점을 A라고 합시다.
점 A_1과 B_1은 각각 점 A와 B를 y축에 대칭이동한 것이니
y좌표는 같고 x좌표의 부호가 반대일 것입니다.
(대충 A가 A, B가 A_1, C가 B, D가 B_1인 상황)
사각형 ABA_1B_1은 사다리꼴입니다.
따라서 사다리꼴의 넓이 공식 (평행사변형 2개를 이어붙여 절반 구하는) 에 따라
네 점을 지나는 원은 직관적으로 살펴볼 때...
y축에 대칭일 것이므로 원의 중심은 y축 위에 있을 것이고
선분 A_1B의 수직이등분선은 이 원의 중심을 지날 것이므로
(중학도형, 원에서 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다)
선분 A_1B의 중점 M을 구하고 직선 A_1B의 기울기와 곱해서 -1이 되는
(두 직선 수직 조건, 기울기의 곱이 -1)
기울기 값을 구하여 이 직선이 점 C를 지날 것이라고 설정할 수 있겠습니다.
놀랍게도 원의 중심은 t값의 영향을 받지 않는 정점이었네요!
이후 원의 반지름을 구하여 넓이를 구해주면
정답을 구할 수 있었습니다.
논리 자체가 어렵진 않은데 계산이 복잡했고
따라서 집중해서 실수를 막거나
한 번 실수 한 다음에 빠르게 어디에서 잘못 되었는지를 찾는 것이
도움이 될 수 있었을 것입니다.
검토를 잘 하기 위해선 처음 풀이를 작성할 때 논리 정연하고
또박또박 작성해두는 것이 도움이 될 수 있습니다.
#7
시험지의 첫 번째 추론 문항입니다.
교과서 혹은 학교에서 다루었던 자료에
직접 연계가 되어있었다면 답만 내고 넘어가면 되지만
그렇지 않았다면 후순위로 미루고 푸는 것이 나았을 것이라 생각합니다.
우선 (가) 조건부터 정리해줍시다.
두 가지 이상의 경우가 발생하여
머리를 복잡하게 만들 때는
경우를 분류해주면 됩니다.
하나씩 고려해주면 됩니다, 굳이 한 번에 양자역학적으로
바라보려 하실 필요 없습니다.
먼저 a>0이고 b=2일 때를 살펴보십시다.
대충 이런 느낌으로 그래프가 생깁니다.
앞선 5번 문제와 마찬가지로 k를 열심히 움직여봅시다.
때로 이렇게 한 시험지에
비슷한 사고 과정이 쓰일 때가 있습니다.
대표적으로 2022학년도 6월 시험지에서도
미적분 29번과 30번 모두 음함수 미분법으로 접근했을 때
단순 계산으로 답을 낼 수 있었습니다.
k를 움직이다 보니 곡선 f(x) 입장에서는
방정식 f(x)=x+k 가 중근을 가질 때 g(k)값이 변화하고
곡선 |f(x)| 입장에서는 방정식 -f(x)=x+k가 중근을 가질 때나
방정식 f(x)=0의 실근이 방정식 x+k=0의 실근이 될 때
h(k)값이 변화할 것임을 확인할 수 있습니다.
정리해봅시다.
함수 g(k)는 k=-1/4a일 때 불연속입니다.
함수 h(k)는 k=9/4a or k=0 or k=a/2일 때
불연속입니다.
(나) 조건에 따라 k=3일 때 g는 연속이지만 h는 불연속이어야하므로
-1/4a는 3이 아니지만 9/4a나 -a/2는 3이 되어야 함을 알 수 있습니다.
우리는 a>0인 경우를 먼저 살펴보고 있으므로
a=3/4임을 확인할 수 있습니다.
12f(1)값은 9+24=33이 됩니다.
이제 a<0이고 b=-2일 때를 살펴봅시다.
대충 다음과 같은 상황임을 확인할 수 있습니다.
비슷한 방식으로 접근해봅시다.
k를 적당히 움직이며 직선 y=x+k와
두 곡선의 그래프를 함께 살펴보면...
g(k)는 마찬가지로 f(x)의 그래프에 직선이 접할 때,
h(k)는 |f(x)|의 그래프에 직선이 접하거나
방정식 f(x)=0의 해가 방정식 x+k=0의 해가 될 때
불연속입니다. 정리해봅시다.
g는 k=-9/4a일 때 불연속이고
h는 마찬가지로 k=-9/4a일 때 혹은 k=-2/a일 때 불연속입니다.
k=3일 때 g도 불연속이면 안되므로
a<0일 때에는 k=-2/a이 유일한 후보일 것이고
이때 a=-2/3으로서 a<0 조건을 만족합니다.
따라서 12f(1)값은 33 혹은 -32이므로
최댓값 33과 최솟값 -32를 더하면
정답은 1 되겠습니다.
#8
문제 조건에 따라 f와 g는 최고차항 계수가 1이고
x-1을 인수로 지니는 삼차함수 되겠습니다.
g'(1)도 F(1)도 0이 아니므로 두 삼차함수 f, g의 그래프는
점 (1, 0)을 관통할 것입니다.
제곱인수와 x축에 접하는 다항함수의 그래프 사이 관계는
한완수에서 학습 가능했습니다.
함수가 여러개이므로 단순하게 바라보기 위해서
f, g, h를 모두 표현할 수 있는 F와 G를 중심으로 접근해봅시다.
(나) 조건으로 주어진 항등식의 양변을 미분할 때는
미적분에서 학습할 수 있는 '합성함수 미분법'이 들어오긴 했는데
수학2에서는 아래와 같이 해결할 수 있겠습니다.
이제 (가) 조건의 h'(1)=4를 사용하기 위해
위에서 얻은 식의 양변에 x=1을 대입해주면 다음과 같습니다.
따라서 k_1은 5 이하의 정수일 것입니다.
이에 따라 f(2)의 최솟값은 5입니다.
k_1에 다른 제약이 걸려야 f(2)의 최댓값이 존재할텐데,
(나) 조건을 살펴보는 것 외엔 따로 할 만해보이는 것이 없으니
(나) 조건을 다시 한 번 살펴봅시다.
음~ 잘 모르겠습니다.
근데 f(2)는 자연수이고 최솟값이 5인데
최댓값과의 합으로 제시된 선지 중 가장 큰 값이
11입니다.
그럼 대충 f(2)의 최댓값은 6일 것입니다.
왜냐하면 7을 넘어가는 순간 합이 12가 넘어가기 때문에
선지에 답이 존재하지 않습니다.
일단 5번을 찍고 넘어갑니다.
#논술형 1번
1-1) 3번입니다.
부분 극한을 취할 수 없습니다.
함수의 극한의 성질에 따라
사칙연산을 진행할 때에는
각각이 수렴할 때 한 번에 lim를 분배해주어야 합니다.
1-2) 극한이나 어떤 연산을 할 때
덧셈, 뺄셈보다는 곱셈, 나눗셈이 더 도움이 될 때가 있습니다.
#논술형 2번
#논술형 3번
n이 정수이므로 x가 정수일 때의 f(x)값만
조사해보면 되었습니다.
f'(x)>0이므로 f(x)는 실수 전체의 집합에서 증가합니다.
f(1)f(2)<0이므로 사잇값 정리에 따라
구간 (1, 2) 에 방정식 f(x)=0의 실근이 존재함을 알 수 있습니다.
따라서 n=1입니다.
#논술형 4번
ㄱ은 평균변화율의 우극한이고
ㄴ은 미분계수이고
ㄷ은 h->0+일 때나 h->0-일 때나
평균변화율의 우극한과 좌극한의 평균이 됩니다.
대칭평균변화율이라고 부르기도 합니다.
ㄱ과 ㄷ의 경우 다음과 같은 반례를 떠올려볼 수 있으며
ㄷ의 경우 2022학년도 9월 22번도 비슷한 맥락에서 생각해볼 수 있습니다.
#논술형 5번
다항함수 조건은 때로 다음과 같은 생성함수식을 작성함으로써
최고차항의 차수와 계수를 비교하며 풀이를 시작할 수 있습니다.
(가) 조건부터 살펴봅시다.
전형적인 논리로 f(0), f'(0)값을 확인할 수 있습니다.
이제 (나) 조건을 살펴봅시다.
함수 g가 주인공이라 생각하면 g에 대해 식을 정리해볼 수 있습니다.
이는 다음 문항들에서의 논리와 정확히 일치합니다.
(순서대로)
- 2017학년도 수능 나형 30번
- 2022학년도 수능 12번
- 2023학년도 수능 22번
- 2024학년도 6월 미적분 28번
대충 아래 글 참고
* 오류가 있을 수 있습니다.
지적 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
잔다 0
-
20대가 아니라 노래를 20년 한거 같은 실력인데
-
쌈@뽕게슝 0
쌈@뽕탱이
-
내신 70+수능성적 30% 이런식으로
-
이명학 쌤 커리 타는데 기출분석 및 1회독은 해야할 것 같은데 아카이브랑 기출정식...
-
오늘 학교에서 어케 버티뉴
-
이게 아이오닉9 이건 올뉴싼타페 둘다못생긴거같은데...
-
맨유 경기있네 1
-
밑에 청주교대 글 보고 든 생각인데 교대는 차라리 정시전형을 폐지하고수시100에...
-
이차부등식 x제곱-(a-1)x-a<0 을 만족하는 정수 x가 5개가 되도록 하는...
-
꽤 큰 피아노 콩쿨서 입상함. 연주회도 열릴 예정
-
[단독] '전기차 끝판왕' GV90 내년 12월 생산…현대차 '승부수' 2
현대자동차가 프리미엄 브랜드 제네시스의 첫 대형 전기 스포츠유틸리티차량(SUV)...
-
방시혁, 엔터사 첫 대기업 총수에… 쿠팡 김범석은 또 지정 피해 1
방탄소년단(BTS)과 뉴진스 소속사인 하이브가 엔터테인먼트 회사 중 최초로 자산총액...
-
남자친구가 너무 조아여.. 저한테 과분한 사람이라고 느껴지고 훨씬 더 잘해주고...
-
잘까 말까 0
지금 자면 12시에 일어날거같은디
-
과년도 69수능 평가원에서 올려준 해설은 없는건가요? EBS 해설 보면 되나요?
-
열등감폭발하는날 1
살기싫어
-
밑쪽에 청주교대 글 보고 느낀점…
-
ㅇㅅㅇ
-
어느 순간부터 내가 말로 직접 하는것보다 이렇게 글을 써서 대화하는게 더 편하다고...
-
감기몸살왔네 0
새벽에 이게 무슨일이람..
-
물어보길래 대답했더니 끄덕하고 가네요.. 순간 설렜는데ㅠㅠ 모솔을 괴롭히지 말아주세요..
-
진짜로 와보니깐 친한사람 아무도 안생김ㅋㅋ 혼자 보내는 6년이라... 뭔가...
-
폰 중독자인데 폰 안하다가 잘 수 잇는 저한테 적용되는 방법 알려주시는 분께 천덕...
-
지구 정반대에 사는 사람들도 생각하는건 여기랑 비슷하다는 반증같아서 첨봤을때 뭔가 오묘했음
-
님들도 같이 ㄱㄱ
-
ㄹㅇ이
-
잘래! 2
안녕히주무세요!
-
행복해지고싶다 4
근데안되겠죠 인생
-
수학 n제 3
이제 n제 시작할려는데 4규 드릴 이해원 지인선 이정도 풀면 적당할까요
-
최소한 날 싫어하는 여자 동기는 안만들려고 일절 미팅x 밥약x 플러팅x 헌팅x 걍...
-
청주 교육대학교 한학기 거의 다녀본 결과(남자 만학도는 다른길을 찾는게 인생에 도움이 됩니다.) 3
학기 초반에 내가 정신장애인 인데..조현병 있다고 오르비에 쓴글 청주교육대학교...
-
생윤 레건 정리 0
삶의 주체인 동물 > 내재적 가치 지님, 쾌고 감수능력 o 삶의 주체이지 않은 동물...
-
여자친구는 없고 절 싫어하는 여자 동기는 있어요 소리없이 저를 언팔하는 미팅녀도...
-
반수할때 나도 남자친구가 문제 많이 알려줬었는데 저렇게 친절하진않았음…ㅋㅋㅋ...
-
캐니언 므시 먹자
-
개오바겠죠? 문학 언매는 마더텅 한 번 돌리고 다시 사서 또 하고있긴한데......
-
쎈은 내신틱한 문제가 많다고 들어서 쎈대신 시발점 워크북 풀어도 되나요?
-
5일동안 100개 넘어감 왜이리 재밌지 게임 포인트 쌓는거 같아서 재밌음 ㄹㅇ
-
윤루카스 개호감 0
https://youtube.com/shorts/3Kh2PKO5bUw?si=CVdp_...
-
백호 상크스 완강햇는데 유전파트 다시듣는거 비추인가요? 0
복습제대로 안해서 까먹은게 많은데 혹시 인강 유터파트부터 다시듣는거 비추에요?
-
저는 93% Τ인데 부모자식관계에서 슬픈 얘기 들으면 눈시울이 붉어지더라고요......
-
자작시 0
우울우울..
-
자작시 3
부끄럽다
-
확통 실전개념 0
ㅊㅊ좀 현우진강민철호날두굴리트마오카이
-
자작시) 순간 0
우울우울
-
증조 고조 1
5대조 - 현조 6대조 - 열조 7대조 - 태조 8대조 - 원조 9대조 - 비조 라고 합니다
-
국어 매일 나비에스 1강씩, 언매 마더텅 하루치, 기출 1지문씩 수학 시발점 미적...
-
내일 10시반 수업인데..
이게 양서고
예전에 태제대인가 거기간사람임?
네, 현재 태재대학교 혁신기초학부 재학 중입니다!
양서고 친구 국어시험 직전이라길래 시험범위를 봐줬는데
고1인데 수특지문 뭉탱이로 주고 시험내겠다고 한거에서 충격먹음...
자습 시간도 그렇고 쉽지 않은 것 같더라고요... 괜히 대학 잘 보내는 고등학교 중 하나인 것이 아닌 듯합니다
문제도 궁금하네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
공유 하고 싶지만 안됩니다 ㅋㅋㅋㅋ