왜 두 점을 잇는 최단 거리의 곡선은 직선인가
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00067964512
당연한 명제지만 이를 증명해 본 적이 있는가?
당연히 없을 것이다. 왜냐하면 이를 증명하기는 생각보다 꽤 어렵기 때문이다. (미적분 개념을 알고 있으면 좋다.)
먼저, 두 점
를 가져와 보자.
이 두 직선을 잇는 아무 곡선 y(x)를 생각해보자.
곡선의 길이를 측정하는 함수 L(y)에 대해서,
L(y)의 극값, 즉 극솟값이 최단 길이가 될 것이다.
L의 극값을 구하기 위해 y를 살짝 변형해보자.
이때, y_0(x)는 우리가 구하고자 하는 최단 거리의 곡선이고
αη(x)는 그 곡선으로부터 얼마나 변형되었는지를 나타내는 추가 함수이다. 당연히 시작점과 끝점은 같아야 하기 때문에
이 된다. 이때, 최단거리 곡선은 y_0이므로, α가 0일때, L이 최소가 될 것이다. 그러면, L의 α 에 대한 편미분
이 되도록 하는 α 가 0이라는 뜻이다.
그런데 L은 우리가 미적분에서 배웠듯이
가 된다. 이때,
이므로
적분식의 첫번째에서 두번째 식으로 가는건 연쇄법칙을 이용한 결과이다.
이를 부분적분해주면
이때, 우변의 두번째 항은 η의 양 끝값이 0이므로, 0이 된다.
그렇다면,
이렇게 된다. 임의의 η에 대해 항상 α=0일때 저 식이 성립하려면
이어야 하고, 그러면
가 됩니다. 결과적으로 y_0'는 상수가 되고 y_0는 직선이 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
관리팀은 6
아직 출근을 안한걸까 이제는 못 막겠구나 생각 중일까
-
ㅈㄱㄴ
-
팬 될 듯
-
https://www.instagram.com/reel/C7GSCJWBnMZ/?igs...
-
ㄹㅇㅋㅋ
-
수업이아직안끝나셨나
-
이정후..."내 인생 가장 행복했던 6주, 이렇게 끝날지 몰랐다“ 2
이정후..."내 인생 가장 행복했던 6주, 이렇게 끝날지 몰랐다“...
-
대성패스 잇음
-
본인 해설 영상 없으면 너무 힘들어서 해설 있는거만 풀려고함… 드릴도 워크북 멀고...
-
기술적으로 문제풀이기술 팍팍 연구해가는
-
굿모닝 4
너무늦게잔듯.. 피곤해
-
※배포할 모고의 약한 스포가 있습니다※ 이거 가독성 많이 떨어지려나요 여러분의 의견이 궁금합니다
-
근데 지금 2끼도 힘들다... .
-
주변에 권사, 목사라는 사람들도 서강대 재단인 예수회를 만악의 근원으로 취급하면서,...
-
평가원 기출은 풀었다는 가정 하에
-
작수 2등급인데 언매를 거의 반정도틀려서 올해는 화작으로 했음 어제 이감 3-2...
-
으앙아
-
아니...ㅋㅋㅋ 1
-
'의대 증원' 최종확정 임박…학원가 "반수의 시대 열렸다" 1
다니던 상위권대 휴학하고, 대기업 그만두고 '반수반' 합류 지방 의대생도 '더 좋은...
-
없던데....
-
ㅇㅇ
-
참고로 여친있음 심지어아이돌임
-
오르비가 혼란하구먼 13
애니나 보러가야지
-
선착 1명 천덕 4
-
얼버기 0
-
내심장이
-
6모 끝나고 2
지구과학 시작할건데 대략 7월 초에 개념 끝날 듯 너무 늦나요 ㅜㅡㅜ 목표 2임!...
-
얼버기 1
-
ㅋㅋㅋㄱㅋㅋㅋ ㄹㅇ 실종임?
-
"정부 '의료현장 차질없다' 거짓말…의사 상처입었단 말 기막혀" 1
김성주 중증질환연합회 대표 "정부 손놓고 있다"·"의사 상처, 암환자보다 큰가"...
-
선택과목등등 입시전략 상담받고싶은데 컨설팅 해주시는 분들을 어디서 찾을 수 있을까요?
-
본인은 운이 읍서서 1.8억대가 최대인듯...
-
61점인데 ㅈ된 거겠지..? 작수 4등급에 대학교 때려치고 5월부터 수강해서 올오카...
-
들고 있던 사람이 탈퇴했나
-
나도랩싓앨범들으면서 느끼고싶은데 멜로디라인은 묻어있어야 플리에 담을 맛이 나네...
-
개념 적고 쉬워서 변별을 어케 하지 다른 과목처럼 신유형 추론으로 승부 보나?
-
하루에 3시간 이상 공부하면 죽는 병이라도 걸렸나 하 오늘은 무조건 넘긴다..
-
이럴수가..
-
괜히 어디 나가야 되는 날만 밤 새다가 오르비 재밌는 거 없나 하고 슬금슬금...
-
7ㅐ추를 벅벅
-
쉿이랑 나띠 솔로곡인 슈가코트
-
읽지도 않는 책 무작정 사 모으는 거 자제하고 있었는데 0
연초에 이런 딜을 봤거든요 대충 흥미는 있는데 할인폭이 아주 크지는 않았던 걸로...
-
나그만따돌려
-
너랑 같이 공부 할 생각에 벌써부터 손에서 물이 나온다
-
얼버기 6
(뒤로돌아가기)
헉
이거보고수학과포기하기로했다
이거는 진짜 개쉬운건데...
글고 수학 아니고 물리에요
이건 변분법을 이용한 증명인데 실제로는 미분가능하지 않은 곡선도 있기 때문에 엄밀함을 추구하는 수학에서는 사용할 수 없는 증명이에요
이거보고물리학과포기하기로했다
천천히 읽어보시면 그렇게 어려운 내용은 아니에요 ㅎㅎ
그냥 고등학교 적분규칙정도만 잘 알고 있어도 이해 가능티비
이거보고 유미q 직선으로 날리기로 함
그거는 트롤로 가는 직선 경로
이거보고 케인코 미분했다
근데 왜 시간이 갈 수록 코 크기가 안 줄어드나요
기울기는 -3000이지만 이미 코 크기가 26.7Gpc이라 작아지는게 안보이는 나