일반청의미 [447559] · MS 2013

2018-06-22 17:05:45
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기본에 충실한 수학공부법[두유공부법 정리]

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종강 감사합니다. 선생님들 저는 열심히 하겠습니다.


그 기념으로 두유공부법 계속 물어봐서 정리합니다.



이 내용은 전적으로 제가 생각하는 마음가짐을 담았습니다.


즉, 제 주장입니다.


1. 저는 고등학교 때, 그렇게 공부를 잘하지 않았습니다.


2. 재수때 공부를 15시간씩 두유먹으면서 했는데 안됐습니다.


3. 삼반수때 느낀 것을 쓰려고 합니다. 그때는 교과서와 중학개념까지 봤습니다.



잠깐의 두유썰


재수 때, 어떻게 푸는지를 암기합니다.


풀이 전체를 암기하고 암기하는데 시간을 보냅니다.


어떤 얘기인지 모를때도 있습니다. 


그래도 풀 수 있는 문제는 빠르게 풀 수 있었습니다.


모르는 문제가 많아서 그렇죠.



뭐.. 결과는 아시다시피.. 망했습니다. 분명 공부시간은 많았는데 말이죠.



삼반수 때는 그렇게 빡세게 공부하는 것을 안하게됩니다.


재수때보다 빡세게가 안됐거든요. 


그 대신 분명 아는 공식인데 왜 나는 털렸을까 하는 고민을 하게 됩니다.


중학교 교육과정도 많이 봅니다. 그 결과를 정리하자면 다음과 같습니다.



1. 스킬은 개념의 생략에서 나옵니다.

중학교 과정에서 등식의 성질 파트가 있습니다. 내용은 다음과 같습니다.


(1) 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.

a=b이면 a+c=b+c


(2) 등식의 양변에 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.

a=b이면 a-c=b-c


(3) 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.

a=b이면 ac=bc


(4) 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.

a=b이면 a/c=b/c (단, c≠0)


예를들어 이항에서, x-a=b 가 x=a+b 인 이유를 봅시다.


등식의 성질 중 1번. 같은 수 a를 더했기 때문입니다. 이것을 간단하게 한 것이 이항입니다.





이제 생각해봅시다. 분모와 분자의 최고차항의 계수만 따오면 극한값이 계산된다는 스킬은


분모(는 0이아님) 와 분자 모두 수렴해야 극한값을 구할 수 있다는 극한의 계산성질에 따른 것입니다.


스킬은 개념에서 나옵니다. 


2. 우리가 배우는 공식들은 이해해야할 개념을 축약해놓은 것입니다.


요약된 것을 이해하기는 어려운 일입니다. 실제로 저는 그것을 이해하지 못한채로 재수때 공부했습니다.


그때의 저는 열심히 하면 되겠지 하는 막연한 생각을 가졌습니다. 보란듯이 실패하게 되었습니다.



물론, 그 공식들만으로 이해가 되는 학생들도 있는 듯 합니다.


그 공식과 스킬들이 어떤 내용을 함축하고 있는지를 원래, 혹은 배워서 알고 있는 경우인것 같습니다.


원래부터 수학을 잘해왔던 학생들이 주로 이런 학생인 것 같습니다. 


하지만 보통의 경우에는 그 내용을 풀어서 이해해야합니다.


그러므로, 공식 그 자체보다 그 유도과정이 어떤 논리로 이어지는지를 생각해야합니다.


유도과정을 공부하는 것은, 이전 개념이 어떻게 현재의 개념에 연결되어있는지도 보여줍니다.


이 내용은 뒤에 다시 설명하겠습니다. 굉장히 중요합니다.

 

3. 체화라는 것은 본인의 언어로 만드는 작업입니다. 


공식의 유도과정을 이해하라는 이유는, 그것이 어떤 의미인지 유도과정에서 파악하라는 것 같습니다.


공식의 의미를 더 쉽고 더 간단하게 마음속에 기억해야한다는 의미인 것 같습니다.


그렇게 했을 경우, 그 공식을 활용하는 문제에서는 외운 학생과의 속도보다 다소 느린 것 같습니다.


하지만 그 공식의 의미를 묻는 문제의 경우, 정답률과 풀이 속도에서 차이가 있는 것을 직접 경험했습니다.


고난이도 4점 문제를 다룰때, 특히 개념의 의미를 묻는 문제가 자주 나오게 됩니다.


이런 문제를 해결하려면, 본인이 스스로 공식의 의미를 해석하고 기억해야합니다.


그것도 본인의 언어로 말입니다.


4. 다른 개념과 연결지어 공부해야합니다.


예를 들어, 함수의 극한과 연속이 미분계수의 해석에 어떻게 영향을 주는지,


미분과 적분의 관계는 무엇인지, 경우의 수와 확률의 관계는 무엇인지를 정리해야합니다.


그것을 위한 목차 공부법은 효과가 있는 것 같습니다.


개념 사이의 관계를 정리해두면, 나중에 개념을 꺼내기가 굉장히 쉽습니다. 


백지복습법은 꽤 유용합니다. 개념을 잘 꺼낼 수 있도록 합니다.


백지에 목차를 쓰고, 그 단원의 의미를 간단하게 정리해보도록 하세요.


어디에 문제가 있는지를 본인 스스로 알아내보세요.


그렇게 개념을 기억하고 결국 쓸 수 있게 됩니다.


개념을 문제 풀 때마다 꺼내 쓸 수 있다면, 1등급 수준으로 가기 어렵지는 않습니다.


+왜 공식 그자체가 아니라 유도과정까지 공부해야 할까요? 



미분 가능하다는 말은, 미분계수가 존재한다는 것입니다. 


즉 미분계수의 정의에 따른 극한값이 존재한다는 말이지요.


함수의 극한값 개념을 모른다면, 미분계수의 존재를 알 수 있을까요?



예를 더 들어봅시다.


왜 미분이 필요할까요? 


교과서 목차를 보면, 크게 접선의 기울기를 구하고 그래프를 그리는 것에 쓰입니다.


그렇다면, 그 전에는 어떻게 그래프를 그려왔었나요?


그전에는 미분이 없어도 그래프를 그릴 수 있지 않았나요?


그때와는 차이점이 무엇일까요?



개념을 이해하기 위해서는, 이전의 개념을 끌어 써야합니다.


쉬운 언어로 바꿔서 해석하라는 말은 이것입니다. 기존 개념으로 해석하라는 뜻입니다.


또한, 목차를 이용한 공부법이 중요한 것도 기존개념으로 해석하기 쉬워서입니다.


5. 문제에 적용을 반드시 해야합니다. 


개념을 고민한 그 내용의 의미를 이해한 후 문제풀이에서는 생략해야합니다.


굳이 문제풀 때 증명할 필요는 없습니다. 


다만, 단순하게 공식을 외우는 것이 아닌, 증명과정을 머릿속에 스치듯이 생략하시면 됩니다.


개념의 의미를 이해하고 생략하는 풀이를 쓰면, 정확성이 확실히 높아지는 것 같습니다. 


문제에 적용을 하는 이유는 논리로 문제를 풀어나가기엔 시간이 많이 걸립니다.


논리로 문제를 계속 풀어보고 익숙하고 충분히 아는 부분을 생략하기 위한 것 같습니다.



6. 이해할 수 있는 개념을 써야합니다.


가능하다면 다양한 공식들과 활용 가능한 수학적 지식을 알아두는 것도 나쁘지 않습니다.


다만 두가지 전제조건이 필요합니다.


첫째로 그 개념이 기존 개념에 혼란을 줄 가능성이 없어야합니다.


둘째로 그 개념을 학생이 이해해야합니다. 



만약 이 두가지가 안된다면 공식보다는 교과개념을 더 공부하는 것이 좋습니다.



+가능하다면 다양한 공식들과 교과개념 사이의 연결을 해보면 더 효과적일 수 있을 것 같습니다.


이것이 가능하다면, 다양한 공식들도 충분한 훈련을 통해서 수능에 쓸 수 있을 것 같습니다.


어디까지나, 학생의 수준에서 이해가 가능할때의 이야기입니다.



★ 결론 : 암기보다는 이해 후 생략

아무리 공부를 해도, 본인이 충분히 왜 써야하는지를 모르면 답이없어요.


왜 써야하는지를 이해하고, 유도과정의 의미를 해석하세요.


그리고 문제풀 때, 생략하세요.


굳이 문제풀 때 공식 유도할 필요는 없습니다.


곱의 미분법, 합성함수의 미분법 유도 안하셔도 됩니다.


다만, 스쳐지나갈 정도로 순식간에 머릿속에 써내려가면 돼요.



그런 수준에 도달한다면, 충분히 어려운 수학을 극복할 수 있을거에요.


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