수학 한 문제만 풀어주실분..??
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1시간 푸는데도 14-2를 모르겠어요 ㅜㅜ
알려주시면 오늘 행복가득할꺼에요 :)
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미분가능하다는 조건이 있으면 f(x) 이항하고 양변 y로 나눠서 f'(x)=f'(0) 보일 수 있을 것 같은데
연속조건만 있는 건 어떻게 해결할지 잘 모르겠네요ㅠㅠ
f(x)=f(x-x/n)+f(x/n)
=f(x-2x/n)+2f(x/n)
=f(x-(n-1)x/n)+(n-1)f(x/n)=nf(x/n)
f(x)/n=f(x/n) x=1 대입
f(1)/n=f(1/n)
1/n을 x라 하면
xf(1)=f(x)
맞나모르겠당
f(nx)=nf(x)
f(xn)=xf(n)
f(x)=xf(1)
이거 함수 방정식인데 미분해보시면 절편이 0인 일차함수밖에 안되요
1. 일단 x가 유리수일 때에는 f(x) = xf(1)인건 쉽게 보이실 수 있을거 같습니다.
2. 문제는 실수에서입니다.
x가 실수이면, x로 수렴하는 유리수 수열 x_1, x_2, x_3, ...를 얻을 수 있습니다.
그런데, f는 연속이라고 했으므로, n이 무한으로 증가할 때, f(x_n)은 f(x)으로 수렴해야 합니다.
x_n은 유리수이기 때문에 f(x_n) = x_n f(1) 이고 x_n f(1)은 x f(1)로 수렴합니다.
그러므로 x이 실수일 경우에도 xf(1)임을 알 수 있습니다.
이렇게 접근해야 하지 않나 싶은데, 어디까지 엄밀해야 할지는 모르겠네요.
다들 감사합니다%%^^