나형 고정 100점 칼럼

이 칼럼은 단순히 '생각을 많이 해라' , '문제를 많이 풀어라' , '누구누구 강의를 들어라' , '모의고사 보고 나면 어떻게어떻게 해라' 등 흔해 빠진 말을 하려고 쓴 것이 아닙니다. 정말로 어떻게 구체적으로 사고해야지 어떤 문제가 나오든 맞출수 있는지에 관해 쓰려고 한 것입니다.(평가원 고정 100)

모의고사 풀고 틀리면 그 문제에 해당하는 풀이법외우고(전형적인 뒷북수학), 문제 유형 정리하고, 킬러는 제발 특정 단원에서 나왔으면 하고, 킬러문제보면 뇌정지가 와서 구체적으로 어떻게 사고해야하는지 모르겠고.... 

위의 사항에 해당되면 읽어보시길 권합니다.

다 읽기 귀찮으시거나, 고정 1등급에서 고정 100으로 가고싶은 분은  부분만 읽어도 무방합니다. 그리고 이 글을 보신다면 피드백 남겨주시면 감사하겠습니다.

+ 좋은 글인것같다 싶으면 앞으로도 좋은 글 많이 올릴테니 꾸준히 봐주시길

 킬러를 풀려면 일단 연필을 놓으십시오. 안 풀리는 문제일수록 연필부터 놓아야 합니다. 그리고 문제를 멀리서 응시하세요. 간단하죠? 의심하는 분들도 분명히 있을 겁니다. 하지만 굉장히 사소해 보이는 이 습관이 엄청난 변화를 가져옵니다. 대부분의 학생들은 킬러문제를 보자마자 조건에 적힌 것들을 자기 나름대로 바로 쓰면서 달려듭니다. 그러다가 내가 한 번 끄적여 본 것이 실마리가 된다면 맞히는 것이고, 아니면 40분 동안 죽쓰고.. 이것의 반복아닙니까? 저는 한계에 부딪히는 문제가 오면 즉시 연필을 놓고 ‘손’으로 쓰는 것이 아니라 ‘생각’을 하기 시작합니다. 여러분들이 수학을 풀면서 생각한다고 하는 것은 전부 다 착각입니다. f(f(x))=f(x)를 보고 치환을 한다거나, 삼차함수를 보면 비율관계와 접할 때를 이용한다던가, 다항함수가 주어지면 미분을 하는 등의 행위는 ‘생각’하는 것이 아니라 외운 것을 적용하는 것입니다. 수능수학에서 요구하는 ‘사고’란 이런 것입니다. ‘여기서 이 조건을 왜 제시했을까?’, ‘이 조건과 저 조건을 연결할 수 있는 방법에는 뭐가 있을까?’, ‘왜 이렇게 복잡하지? 이건 출제자의 의도가 아닌 것 같은데?’

또한 이러한 물음을 던졌을 때, 답을 준다는 것이 바로 평가원과 사설의 차이입니다. 제가 수학을 잘한다고 하더라도, 더럽고 아이디어적인 측면을 강조하는 사설문제를 풀라고 하면 못 푸는 문제가 있습니다. 하지만 평가원 문제에 한해서는 고정 100의 실력을 가지고 있습니다. 왜냐하면 저는 항상 이러한 물음들을 던지기 때문이죠. 여기서 끝내면 좋은 칼럼이 아니죠. 이러한 사고를 어떻게 기출에 적용하는지 보여드리겠습니다. 18수능 30번을 풀었을 때 어떠한 사고를 거쳤는지 보여드리죠.(필자는 현장에서 푸는 데 10분 미만 소요). 

f(x)는 익숙한 2차함수이지만 g(x)는 낯선 함수로 정의되어 있습니다. 여기서 저는 물음을 던집니다.“낯선 함수이지만 (x-n)이라는 공통부분이 존재하고, 도대체 +x를 왜 제시했을까?”, “g(x)는 n이라는 범위와 x-n으로 보아 평행이동을 이용한 것이겠군”, “그렇다면 f(x)-x라는 함수를 x축 방향으로 1씩 이동시킨 것인데...” (여기서 x의 존재이유를 알아차립니다.) “x를 이항시킨다면 g(x)-x라는 함수는 f(x)-x를 평행이동시켜 나가는 것이겠군”. g(x)를 그 자체로 보지 않고 g(x)-x로 새로운 함수를 설정하면 추후 과정에 있는 h(x)와, lim식도 굉장히 깔끔하게 연결됩니다. 실제로 저는 현장에서 이런 사고를 거쳐서 굉장히 쉽게 풀었습니다. 

 누군가에게는 굉장히 추상적인 이야기일 수 있습니다. 하지만 지금까지 자신이 풀어왔던 방식을 되돌아보십시오. 문제와 대화하려고 노력한 적 있나요?, 조건을 해석하려고 달려드는 것이 아니라 조건의 의미를 이해하려고 하십시오. 그러면 출제자의 의도를 쉽게 파악할 것이고, 내가 푸는 풀이가 곧 필연적인 풀이가 될 것입니다. 

100점>

고정 100점의 영역은 정말로 다가가기 힘듭니다. 실수도 절대 해선 안 되고, 킬러도 다 풀어내야 하고, 그러기 위해서는 비킬러도 굉장히 빨리 풀어야 하고... 이처럼 고정 100은 정말로 성취하기 어려운 수준이기에, 이렇게 텍스트로 설명하기도 굉장히 까다롭습니다. 하지만 최대한 쉽고 명료하게 설명해보도록 하겠습니다. 

<일관성>

첫 번째는 풀이의 일관성이 필요합니다. 그리고 그 일관성은 태도의 일관성과 평가원이 지금껏 보여준 도구의 일관성으로 나뉩니다. 고정적으로 어떤 시험의 모든 문제를 다 맞기 위해 서는 그날의 컨디션, 출제된 개념, 문제 스타일 등 시험에 영향을 주는 모든 요인에도 불구하고 이미 시험치기 전부터 100점임을 확신해야 합니다. 그리고 이 자신감은 일관성으로부터 기인하는 것이죠. 창의적인 풀이에 의존하거나, 몇십분을 한 문제를 잡고 헤매다 갑자기 머릿속에서 떠오른 발상과 갑자기 내가 끄적인 것들에서 영감을 얻는 방식으로 킬러문제를 풀어온 사람들은 절대 고정 100점이 될 수 없다는 말입니다.(물론 극천재는 예외입니다..)

먼저 태도의 일관성은 평가원을 믿는 것을 말합니다. 평가원은 학생들이 문제를 틀리기를 원하는 것이 아니라 제발 맞추기를 원합니다. 하지만 너무나도 낮은 학생들의 수준 때문에 평가원은 문제 속, 발문 속, 숫자 속에서 학생들에게 계속해서 힌트를 주고 있습니다. 그래서 평가원을 믿는 일관된 태도를 가지면 힌트를 얻고 쉽게 문제를 풀 수 있습니다. 

그리고 아래가 바로 그 태도들 중 일부입니다.

1. 의미 없는 조건은 없다!!!!!!

2. 문제가 안 풀릴수록 연필을 놓아라

3. 문제 속에 그래프가 제시된다면 제발 그래프를 이용해서 풀어라

4. 낯선 함수, 낯선 상황이 제시된다면 천천히 숫자들을 대입하면서 관찰해라.

(겁먹을 필요 없다. 문제가 낯설수록 풀이는 익숙하다)

5. 예시를 들어준다면 제발 그 예시로부터 파생시켜라. 

6. ‘정수, 자연수, 하나의, ~에서만, 양수’ 따위의 조건이 주어졌다면 그 이유는 분명히 존재한다(1번의 세부값)

7. ‘연속/역함수/미분가능’ 등 기본적으로 알고 있는 개념을 출제자가 언급한다면 제발 그 정의!!와 특징을 활용해라. 

8. 따져야 할 경우가 너무 많고, 계산이 예쁘지 않으면서 복잡해지기 시작하면 그 풀이는 잘못된 풀이다.(계산에는 예쁘면서 복잡한 것이 있고, 더러우면서 복잡한 것이 있다. 이 경우는 더러우면서 복잡한 것이다)

9. 문제의 결론부에 주목해라(예를 들면, a+b+c를 구하라고 해도 되는데 굳이 a+2b+c를 구하라고 한다면 분명히 그 이유가 존재)

이러한 것들이 대표적인 태도의 일관성입니다. 이 외에도 수많은 필요한 태도들이 있습니다. 

다음으로는 도구의 일관성입니다. 

(사실 도구들을 많이 가지는 것이 뒷북수학이 될수도 있습니다. 그래서 도구들을 많이 외우는 것이 절대 주가 되어서는 안됩니다.) 

수학 풀이에 필요한 도구는 정해져 있지 않습니다.(저의 도구를 원한다면 알려드릴 수 있습니다) 그렇기때문에 문제를 풀면서 막혔던 순간이 나올 때마다 필요했던 도구들을 따로 정리해두면서 자신만의 도구 노트를 만들어야 합니다. 

다음의 것들이 스스로 정리한 도구들의 일부분입니다

1. 최대,최소와 관련된 문제가 나왔을 때 막힌다면, 특이점(미분) 또는 새로운 식을 설정하기 두 가지 방법을 떠올려라

2. 하나의 미지수를 몰라도된다면 임의로 특정시켜라.(WLOG)

3. 여러 함수가 복합적으로 제시된다면 함수의 차를 이용해서 간단하게 표현하려고 해봐라

4. 문제 풀이의 시작을 어떻게 해야 할지 모르겠을 때는 주어진 조건 간의 관계를 관찰해봐라

5. 부등식은 등식이 기준

6. 문제 속에 공통부분, 겹치는 부분-> 의도가 뻔하다 

이 외에도 30개 정도의 저만의 도구가 더 있습니다. 이렇게 자신만의 도구를 확립해나가고 이 도구들을 일관되게 다른 문제에도 적용하면서 도구의 일관성을 체화하면 됩니다.

<필연성>

필연성은 반드시 그렇게 되어야만 하는 것으로서, 비단 수학뿐만 아니라 모든 수능과목에도 적용되는 특징입니다. 그리고 그중에서도 가장 객관적이고 체계적인 학문인 수학에서는 ‘결국 수능 수학은 필연성’이라고 할 수 있을 정도로 필연성이 중요합니다. 그러면 도대체 필연성이라고 하는 것이 구체적으로 뭘 의미하냐? 결론부터 쉽게 풀어서 얘기하자면, “여기서 이렇게 풀어야 하는 무조건적이고 절대적인 이유가 있다”입니다. 아직도 어려운가요. 역시 예시를 들어보죠. 17수능 30번 문제를 봅시다. 

1. 저는 방정식은 인수분해 또는 그래프(교점)의 관점으로 접근한다는 도구를 가지고 있습니다. 그런데 이 문제에서 주어진 방정식을 보면 f(x)와 그 역함수가 같이 제시되어 있습니다. 게다가 같이 제시된 방식은 합성이죠. 우리는 저 방정식을 그래프로 절대 나타낼 수 없습니다(적어도 나형에서는). 그렇기 때문에 방정식의 실근을 구하기 위해서는 인수분해를 해야한다는 필연성을 얻습니다. 

2. f’(x)의 식은 알고 있기 때문에, 문제 속의 방정식을 x와 g(x)에 관한 방정식으로 표현합니다. 여기서 우리는 g(x)를 절대 x에 관한 식으로 나타낼 수 없습니다. 그러므로 g(x)자체를 하나의 덩어리로 보고 인수분해를 진행해야하는 필연성을 얻습니다.

3. 인수분해를 하고 난 뒤 g(x)=2x 또는 g(x)=-2x+2의 실근이 닫힌 구간 [0,1]에서 존재해야한다는 것까지 알게 되었습니다. (여기서 문제는 크게 식으로 푸는 풀이와 그래프로 푸는 풀이가 있지만 저는 그래프로 푸는 풀이가 필연성의 측면에서 비교적 바람직하다고 보기 때문에 그래프로 풀겠습니다.)

계속해서 언급하지만 우리는 역함수인 g(x)를 가지고 문제를 풀 수가 없습니다. 왜냐하면 g(x)의 함수식을 절대로 직접 구할 수 없기 때문이죠. 그런데도 평가원은 저 방정식의 해의 범위에 관해서 묻고 있습니다. 

여기서 아주 중요한 하나의 필연적 사고가 요구됩니다. 평가원이 f(x)라는 함수의 함수식을 완전히 제시해주었는데, 절대로 직접 식을 구할 수 없는 g(x)가 풀이의 과정에서 나타났습니다. 그러므로 당연히 f(x)로 문제를 풀어야 하는 당위성을 얻게 됩니다. 

이제 우리가 이용해야 하는 것은 y=2x, y=-2x+2, f(x) 3개의 함수입니다. 그런데 g(x)대신 f(x)를 이용했으므로, 나머지 두 개의 함수도 똑같이 역함수를 이용해야 하는 필연성을 얻게 됩니다. (역함수를 이용해야 하는 또 다른 필연성은 ‘의미없는 조건은 없다’입니다. 지금까지 풀이를 하면서 역함수를 이용한 적은 없었습니다. 그런데 평가원이 이용하지도 않을 조건을 낼리는 만무하죠)

그리고 ‘g(x)와 f(x)는 역함수 관계이므로 g(x)와 2x, -2x+2의 교점은 f(x)와 저 두 함수의 역함수의 교점을 y=x대칭 한거겠군’ 이라고 사고가 자연스러우면서도 필연적으로 흘러갑니다. (이 개념이 이해가 안된다면 역함수의 기본부터 다시 공부)

4. 저기까지 생각이 닿았다면 문제는 다 푼것입니다. 정의역과 치역을 반대로 설정해주는 것만 실수하지 않는다면요. (물론 이것도 좌표평면위에 그래프를 직접 그려놓고 하면 실수할 확률이 급격히 떨어집니다)

결국 저는 이 문제를 푸는 궁극적인 해법은 역함수의 개념을 알거나 인수분해를 할 줄 아는 것이 아니라 g(x)는 활용할 수 없음을 확신하고 f(x)를 문제 풀이에 직접적으로 써먹어야겠다는 필연적인 생각이라고 봅니다. 

예시는 17수능 30번을 들었지만, 저는 이러한 필연적 사고를 현 교육과정 내의 모든 기출에 하나도 빠짐없이 적용하며 공부했습니다. (원한다면 다른 기출문제도 어떻게 필연적으로 풀었는지 알려드리겠습니다) 

그 결과 어떠한 새로운 문제가 나오든 문제가 제시하는 필연적 사고만 따라가면 문제가 쉽게 풀리기 때문에 저는 고정 100점의 영역에 다다른 것이죠. 게다가 필연성을 얻게 된다면 이미 시험 전부터 100점을 맞으리라고 확신할 수 있습니다. 왜냐하면 평가원 문제는 절대 아이디어를 요구하지 않기 때문이죠. 아이디어를 요구하지 않기 때문에 그 어떤 문제가 나와도 나는 그 자리에서 바로 문제가 요구하는 사고만 하면 풀 수 있다는 100퍼센트의 자신감을 얻게 됩니다.

번외) 비킬러 문항, 양치기

1. 비킬러 

최상위권들이 비킬러 문항을 푸는 속도는 여러분들의 상상을 초월합니다. 저같은 경우는 28문제를 먼저 풀고 21, 30번을 푸는 데 보통 28문제를 30분도 안되서 푸는 것 같습니다.(쉬운 시험이면 20분 정도, 비킬러가 정말 어려운 시험이라면 40분정도) 비킬러 문항에서 고민을 한다는 것 자체는 기본적인 개념과 수능에서 계속 다뤄왔었던 유형부터 공부해야 함을 의미합니다. 비킬러 문항은 문제를 보는 순간 동시에 풀이의 과정이 한 방에 떠올라야 합니다. 그 정도는 되어야 고정 100점에 다다를 수 있습니다. 비킬러 문항을 공부하는 데에 1순위는 당연히 평가원입니다. 그리고 질 좋은 모의고사의 개념을 숨겨놓은 문항. 여기서 개념을 숨겨놓은 문항이라 함은 처음 봤을 때 어떤 개념이 쓰였는지, 어떻게 시작해야 할지 감이 안 오지만, ‘특정 개념’, ‘규칙’을 발견한다면 바로 풀 수 있는 문항을 의미합니다. 이 두 가지 좋은 문제들을 풀면서 이해는 물론이거니와 문제를 보자마자 어느 개념이 쓰였고 왜 그렇게 풀 수밖에 없는지 필연적인 이유를 떠오릴 수 있을 때까지 자기 것으로 만들어야 합니다.( 개념을 숨겨놓은 문항은 발상적 풀이의 측면도 존재하기 때문에 훨씬 중요한건 당연히 평가원 문항)

2. 양치기

양치기 100점 맞는 데 필요 없습니다. 그러나 150점의 실력을 가지기 위해선 필요합니다. 그럼 이게 도대체 무슨 말이냐? 수능 시험장에서 100분 동안 모든 문제를 풀기 위해서는 양치기는 중요하지 않습니다. 1000개의 n제보다, 정말 좋은 킬러 문제 하나를 가지고 10시간고민하는 게 킬러문제를 맞추기 위해서 더욱 중요합니다. 하지만 우리가 원하는 것은 ‘검토할 시간도 없이 힘겹게 모든 문제를 다 풀었는데 가채점해보니 실수 2개를 했더라..’ 이런 스토리는 아니잖습니까? (양치기는 기본적으로 30문제를 다 풀 수 있을 때 시작하는 것입니다. 생각의 힘도 없으면서 양치기같은 거 할 생각마세요)(물론 나는 1등급만 맞아도 된다. 킬러 버린다 이런 분들은 해도 됨..)양치기를 많이 하다보면 비킬러의 풀이 속도가 현저하게 빨라지고, 스스로 시간을 컨트롤할 수 있게 됩니다. 말 그대로 시험이 얼마나 어렵게 나오든, 문항 배치가 어떠하든, 어떤 유형이 나오든 안정된 검토 시간을 확보하고, 긴장하지 않기 위해서는 양치기가 필요하다는 말이죠. 그러다보면 자연스레 ‘이 문제에서 쓰인 아이디어 저번에 한 번 봤던 거네.’, ‘여기서 필요한 태도가 저번에 풀었던 문제에서도 필요했었지’ 따위의 기억이 남게 되고, 실력은 상승합니다. 수능장에서 100점 맞고 싶으면, 50점 정도의 실수를 해도 100점이 나올 수 있게 150점으로 준비해 가십시오.

칼럼이기 때문에 태도와 관련된 부분을 집중적으로 서술하였습니다. 물론 내용을 많이 아는 것도 당연히 중요하지만 내용, 유형, 공식만 알아서는 100점을 받을 수는 없습니다. 저는 제가 주장하는 태도와 습관들이 ‘왕도’라고 확신합니다. 여러분들도 올바른 태도를 정립하여 꼭 100점 받길 바랍니다.