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일반청의미 [447559] · MS 2013 · 쪽지

2019-04-07 22:34:35
조회수 3,083

짧은 수학 교과서 공부칼럼

게시글 주소: https://i.orbi.kr/00022244184

많은 학생들이 저지르는 실수는 많이 보면 무조건 실력이 는다는 생각입니다.

이것은, 특별히 제가 저질렀던 실수 중 가장 큰 것이었습니다.


물론, 많이 보면 실력이 향상될 확률은 분명 높습니다. 하지만 어디까지나 확률일 뿐입니다.


경악스럽게도 수학 교과서 공부에도 무작정 다독을 적용하는 학생들이 많습니다.

그런 학생들에게 교과서 공부를 왜하냐고 물어보면, 대체로 대답을 잘 못합니다.


심지어 많은 학생들이 그 과목의 목적이 무엇인지조차 모를 때가 많습니다.

마찬가지로 어떠한 책이나 강의가 왜 만들어졌는지에 대해서도 모를 때가 많아요.

이런 상태에서 남들이 하는 것을 따라할 때 실패할 가능성도 높아집니다.


목적을 정확하게 알고, 자신의 상태를 정확하게 알아야 공부의 방향이 나오지요.

시점도 종점도 없이 어떻게 방향을 설정하겠습니까.


일전에 국어와 영어의 목적에 대해서 서술한 적이 있습니다.

https://orbi.kr/00019584790 

간단하게 요약하면, 국어 과목의 목적은 [이 글을 저자가 왜 썼을까?]에 대한 답을 묻습니다.

영어 과목의 목적은 [단어와 문법의 차이를 이해하여 지문을 번역할 수 있는가]에 있습니다.


어떠한 책이나 강의가 이 질문에 대한 답으로 이끌어주는지를 확인하고 공부하고 있나요?

만약 확인하지 않았다면, 정확한 방향이 아닐 가능성도 있습니다. 확인해야합니다.



이제, 수학 공부에서 교과서(기본 개념서)가 차지하는 역할에 대해서 서술하겠습니다.

교과서는 교육과정의 범위를 담습니다. 교과서 본문과 예제는 교육과정을 서술하고 있습니다.


여러분께서 해야할 것은, 교과서의 본문과 예제를 반복적으로 보는 것이 아닙니다.

[교과서의 본문과 예제의 풀이가 왜? 그렇게 되어있는지 답할 수 있어야]합니다.


여러분이 교과서에서 할 것은, [왜 이 개념을 교과서에서 알려줄까? 이 개념이 어디에 쓰일까?] 와 같은 질문입니다. 

교과서를 외우는 것이 아니라는 것입니다.


이 질문에 대한 답을 이끌어내기 위해서, 이전의 개념도 떠올릴 필요가 있습니다.

예를 들어, [왜 공간좌표 이전에 공간도형을 먼저 배울까? 그냥 z축 추가하면 되는걸!]

혹은, [왜 무게중심 증명에서 꼭 중점끼리 이어야할까?]와 같은 질문들에 대한 답을 개념에 입각해서 하셔야한다는 뜻입니다.



이해라는 단어는, 자신의 언어로 해석한다는 뜻을 가지고 있습니다.

즉, 여러 가지 현상에 대한 이해는 사람마다 다를 수 밖에 없으나, 수학은 그 답이 같아야합니다.

반드시 쉬운 언어로 복잡한 언어를 해석하는 과정이 필요하며, 이 때 필요한 것이 이전의 쉬운 개념입니다.

오히려 질문하지 않는 수학공부는 굉장히 어렵고 반복적일 수 밖에 없습니다.


교과서 증명 또한 무조건 달달 외워야하는 것은 없습니다.

산술기하 평균의 증명은 실수의 기본 성질에서 이끌어진 개념이며 (그 때문에 양수라는 조건이 붙는 것입니다.) 

함수의 극한에 대한 기본 성질은 연속의 성질과, 미분가능성과 연속성, 그리고 여러 가지 미분법에 쓰이는 것을 여러분께서는 이미 여러 칼럼으로 아셨을 겁니다. 

이러한 간단한 개념이 나중에 적용되는 모습을 당연히 많이 관찰하셨어야하며, 

이것으로 교과서의 내용을 정리하셔야 합니다.



교과서의 개념을 배웠다면, 그 이전 개념을 기억하는 것은 당연합니다.

또한, 그 다음 개념에도 배운 개념을 당연히 적용하셔야 합니다.

이렇게 교육과정의 목차대로 모든 개념을 머릿속에 연결 짓고 정리하시는게 교과서 개념공부의 기본입니다.


그 기본은 생각과 고민, 그리고 질문에서 나옵니다!


여러분이 교과서를 몇 시간동안 얼마나 보았냐는 중요하지 않습니다.

어느정도까지 깊이있는 질문을 교과서에서 하였는가가 중요합니다.

또한, 기출문제나 사설문제에서 떠오른 질문을 얼마나 교과서로 해결하였는가도 중요합니다.


즉, 생각과 질문이 본질이 되는 과목이 수학입니다. 그 이후에는 계속된 훈련이겠지요.



이제, 기출문제 분석에 대해 말씀드리겠습니다. 

제대로 공부했다면, [교과서에 입각한 해설정도는 간략하게라도 쓸 수 있어야]합니다.

그것도 최대한 논리적으로 말입니다.


그리고, 왜 이렇게 풀어야하는지 계속해서 자문하고 토론할 수 있어야합니다.

혹시 이 문제를 왜 이렇게 풀어야하는지 모르겠다면, 해설지를 보면서 토론할 수 있어야합니다.

[왜 이렇게 해설했을까?] [내 방법은 틀렸을까?] 

[만약 틀렸다면 어떤 부분에서 틀렸는가?] [이 방법은 왜 맞을까?]


이러한 질문 하나 없이 수학을 정복한다는 것은 욕심입니다. 천재가 아닌 이상 그럴 수 없습니다.


이제, 수학 공부의 본질에 대해 말씀드리겠습니다.

수학공부의 본질은 끊임없는 질문을 통한 개념의 이해와 활용입니다.


사실, 끊임없는 질문과 토론이 수학의 거의 전부라고 해도 과언이 아닙니다.

(나머지 전부는 계산의 속도와 정확도..)


그러므로, 여러분께서 확인하실 것은


하루에 질문을 몇 개나 하셨는지, 토론을 얼마나 하셨는지 체크를 하시라는 것입니다.

고민과 생각이 아니고서야 수학을 극복할 방법은 없습니다.

수학에는 왕도가 없습니다. 노력한 만큼 점수로 돌아오는 것이 수학입니다.

그 노력은 노가다가 아닙니다. 생각과 고민으로써의 노력이지요. 


교과서 공부하실 때, 그저 N회독을 목표로 하신다면 생각을 달리하시길 바랍니다.

특히 교과서는 문제의 양도, 페이지 수도 극히 적습니다. 

공부하는 기분만 내고 하나도 이룬 것이 없는 상태가 될 수 있습니다.


제가 분량 계획 혹은 시간 계획 모두 부적절하다고 말하는 이유는 

질문을 통한 깊은 고민이 없이는 절대 나아지지 않는 과목이 수학이기 때문입니다.


올바르게 공부하는지를 체크하시려면, 하루에 얼마나 질문하고 고민하는지를 보십시오.

그 정도가 공부의 양입니다. 그것 없이는 수학 아무리 해도 늘지 않습니다.




p.s.) 요즘은 많이 바쁩니다. 여러분에게 여러가지 칼럼을 쓴 덕에 쪽지 연락이 자주 옵니다.

그 중에 하나가 이러한 교과서 개념 공부겠지요. 특히, 과외를 받지 못하는 형편인 경우가 많이 연락이 왔습니다.

말의 책임이 있음에도 불구하고 여러분을 위한 글 하나 잘 적지 못하여서 미안하게 생각하고 있습니다.


저번주에 실습 수업일정이 시험일정으로 잠시 중단되었으며, 그 짬에 이렇게 글을 씁니다.

저희 학교의 비전인 [철학 있는 치과의사]라는 말에 걸맞게 최대한 학업이후 남은 시간을 모두를 위해 쓰겠습니다.

오늘은 실제의 예시를 넣지는 않았는데, 혹시라도 요청이 있다면, 전달하도록 할게요.


화이팅 하십시오. 응원합니다.

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