9모로 살펴보는 준킬러 학습법
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*사고 과정 정리하는 방법, 기출 문항 분석법 등의 학습법들도 결국 누군가의 의견에 불과합니다. '공부에 정도(
定道 or 正道)는 없다'는 오래된 말처럼 각자에게 맞는 공부법을 찾아가시기 바랍니다!
현장에서 문제를 처음 확인한 후 자연스레 들 수 있는 생각은 '왜 갑자기 pi/7을 줬지? 내가 이걸 가지고 무엇을 할 수 있지?'라고 생각합니다. 제가 그랬습니다 ㅎㅎ
이어 떠올릴 수 있는 것은 몇 가지 없습니다. 다음의 수식은 항등식이긴 하나 라디안값이 같을 때 성립하고
따라서 우리는 일반적인 사인함수와 코사인함수 사이의 관계를 파악하기 위해 생각을 이어가야함을 느낄 수 있습니다.
처음 삼각함수를 공부할 때 배우는 내용인데, 사인함수를 x축 방향으로 -pi/2만큼 평행이동하면 코사인함수가 됩니다. 위에 있는 그래프를 통해 직관적으로 확인하실 수 있으십니다.
2024학년도 수능 대비 ebs 연계교재 중 하나인 수학1 수능특강 42페이지입니다.
수능특강, 수능완성이 문제의 결 혹은 질 등으로 인해 많은 수험생 분들로부터 거리두기 당하곤 하는데요... 평가원이 감수한 유일한 연계교재인 만큼 적어도 한 번씩은 풀어보시길 권해드립니다.
그리고 개념 복습할 때에도 수능 수학 풀이에 필요한 모든 개념들이 수능특강에 담겨있기 때문에, 수능특강을 기준으로 내가 잊고있던 혹은 평소에 잘 떠올리지 않던 개념이 있는지 복습해보는 것도 학습에 도움이 될 수 있다고 생각합니다!
다시 돌아와서... 그러면 사인함수의 x=pi/7에서의 함숫값과 같은 값을 함숫값으로 갖는 코사인함수의 x값에는 기본적으로 pi/7-pi/2가 존재할 것입니다. 그리고 코사인함수는 y축 대칭이므로 x=-(pi/7-pi/2)도 같은 함숫값을 만들어줄 것입니다. 그리고 코사인함수는 x=pi 대칭이므로 x=-(pi/7-pi/2)와 더해서 2로 나눈 값이 pi가 되도록 하는 어떠한 x값도 같은 함숫값을 만들어줄 것입니다.
그렇게 alpha=-(pi/7-pi/2) 확정 이후 대칭성 2번으로 beta값도 구할 수 있겠습니다.
2022학년도 6월 15번에서 ㄱ의 참 거짓 여부를 판단할 때도 엄밀한 증명을 위해서는 삼각함수 간에 대칭성을 2번 이상 적용하는 것이 필요합니다. 함께 바라봐보시면 학습에 도움이 될 것이라 생각합니다!
일단 원 이야기가 나오면 원의 중심을 설정하거나 그것에 초점을 두는 것이 좋습니다. 원의 정의 자체가 '한 점으로부터 일정 거리만큼 떨어진 점들의 자취'이기 때문에 정의 속 '한 점'에 해당하는 원의 중심이 없으면 원을 논할 수가 없기 때문입니다.
비슷한 맥락에서 일단 접선 이야기가 나오면 접점을 설정하거나 그것에 초점을 두는 것이 좋습니다. 접선의 정의 자체가 '곡선 위 한 점에서의 함숫값과 미분계수가 일치하는 직선'이기 때문에 정의 속 '한 점'에 해당하는 접점이 없으면 접선을 논할 수가 없기 때문입니다.
우선 주어진 두 접점에서의 접선의 방정식을 위와 같이 작성해볼 수 있겠습니다.
'곡선 위의 점 (2,3)'이라는 발문에서 f(2)=3 확인하는 것도 놓치지 마시기 바랍니다!
여담이지만 다항함수 결정 문항은 결국 다음과 같은 꼴에서
미지수 a, b, c, d의 값을 결정하는 과정과 같습니다. 그래프를 그려 기하적으로 접근하든 수식으로 접근하든...
두 직선이 점 (1, 3)에서 만난다는 조건에 의해 위의 등식을 세울 수 있을 것이고
이와 같이 정리해볼 수 있겠습니다.
f'(2)=0이라는 조건이 상당히 강력합니다! 삼차함수는 극값이 최대 2개밖에 존재하지 않기 때문에 순간변화율이 0인 지점은 극대 아님 극소입니다. 따라서 f'(2)=0이라는 조건으로부터 함수 f(x)가 x=2에서 극대이냐 극소이냐, 두 가지 경우를 나누어주시면 문항을 해결해보실 수 있으실 거예요!
이후는 그래프를 그려 두 가지 경우를 고민해보셔도 괜찮고... 혹은 f(x)-3=(x-2)^2(x-k) 정도로 수식 잡고 3f'(2)+f(-2)=3 이용해보셔도 좋습니다. 아니면 그래프 슥 그려본 다음에 f(x)-(p(x-1)+3)=(x-1)(x+2)^2로 잡고 뭐 해보는 것도 괜찮겠죠! 상남자식으로 ax^3+bx^2+cx+d 잡고 a, b, c, d 구해보기도 한 번쯤 해보시길 권해드립니다 ㅋㅋㅋㅋ 서로 다른 네 가지 정보가 주어져야 네 가지 미지수 a, b, c, d를 결정할 수 있는데 어떤 조건들이 어떻게 기능하여 총 네 가지를 채우는지 관찰해보는 것 재밌습니다.
적당한 접선의 방정식 문항은 꾸준히 출제되고 있으니 수식으로 밀어붙이는 것과 그래프 그려 기하적으로 상황 정리하는 것 모두 연습해두시기 바랍니다!
괜히 교육과정에서 접선에 관한 세 가지 상황을 분류하여 다루는 것이 아니니 한 번씩 복습 권장드립니다! 물론 수학적 재능이 뛰어나거나 두뇌가 발달하신 분들은 이러한 생각들이 머릿속으로 자연스레 돌아가기 때문에 '저걸 굳이 복습해야하나?'라는 생각이 드실 수 있습니다만... 저를 비롯한 대부분의 수학적 재능이 결여된 분들은 이렇게 하나 하나 정리하고 복습하는 것이 쌓여야 원래부터 수학을 잘하는 분들과 조금이나마 비슷한 사고의 흐름을 만들어낼 수 있다고 느꼈습니다. 제가 한완수를 수능 수학 학습 자료로 적극 추천하는 이유이기도 합니다.
구간 별로 다른 함수식으로 정의된 함수는 일단 구간 별로 정보를 파악해보는 것이 도움이 될 수 있습니다.
확인해보시면 f(x)는 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수이기 때문에 구간 별로 도함수를 작성하여 증감에 대한 이야기를 하기가 문제 없다는 것을 확인하실 수 있으십니다.
원래 구간 별로 도함수 식을 작성할 때는 x=0과 같은 그 경계에서의 미분가능성이 조사되지 않은 때가 많아 부등식에서 등호 빼두는 것이 안전합니다! 다만 지금은 f(x)가 x=0에서 미분가능함을 확인할 수 있기 때문에 편하신 쪽에 등호 포함해도 괜찮습니다. 저는 습관적으로 일단 빼두고 생각하는 편입니다!
구간 별로 도함수 식을 작성한 후에는 각 구간 모두 x=-a에서 대칭인 이차함수가 도함수로 존재하고 있음을 확인하실 수 있습니다. 따라서 원활한 상황 정리를 위해... f'(x)는 x=0에서 함수식이 전환되고 각 구간의 함수는 x=-a에 대칭이므로 -a와 0의 대소 관계를 비교해봅시다.
x<-1에서는 주어진 미분가능한 함수 f(x)가 감소하고 x>-1에서는 증가한다는 것은 다음이 성립함을 의미할 것입니다.
그럼 다음의 상황을 생각해볼 때
다음을 논리적으로 구하실 수 있습니다.
과하게 엄밀하지 않느냐 말씀하실 수도 있지만, 개인적으로 이렇게 하나 하나 직접 엄밀하게 따져가며 풀이 과정을 정리해가는 것이 적은 문제 풀이로도 수능 원점수 100점 수렴을 향해갈 수 있는 방법 중 하나라고 생각하고 있습니다!
뒷부분은 a와 0 대소비교 경우 나누기와 f'(-1)=0으로 a, b에 대한 관계식 하나 확보로부터 이어나가 보시고... 이러한 엄밀한 분석과 관련해 잠시 이야기를 더 이어가보겠습니다.
2022학년도 9월 22번에 주어졌던 함수 g(x)의 저 복잡한 부분을 엄밀히 해석해보십시다.
우선 극한식을 가만히 보고 있으면 미분계수의 정의와 닮았다는 생각이 드실 수 있습니다.
만약 들지 않는다면... 미분계수 파트 복습 외에는 따로 도움이 될 만한 학습법이 현재로선 떠오르지 않습니다.
혹은 직관적인 추측으로 주어진 극한식이 의미하는 것이, 극한이 수렴할 때 함수 ㅣf(x)ㅣ의 미분계수의 2배임을 발견하실 수도 있겠습니다. 그런데 이게 더 어려운 것 같으니 넘어가겠습니다.
(첨언하자면 수학2에 대한 보다 깊이있는 이해를 쌓고 싶으신 분들은 현 교육과정 상의 고등학교 미적분을, 미적분에 대한 보다 깊이있는 이해를 쌓고 싶으신 분들은 '스튜어트 미적분학'과 같은 책 한 권 사서 읽어보시길 권해드립니다! 당연히 수능 수학을 향한 효율적인 공부는 아니고 수학에 대한 전반의 이해를 높이기 위한 학습법이라 생각합니다)
위의 생각에서 이어가 다음과 같은 식 변형을 이루어보시면..
변수와 특정 상수값과의 차이를 명확하기 위해 x=a 정도를 대입해봤을 때
함수 p(x)의 x=a에서의 평균변화율의 우극한과 좌극한의 합, 다시 말해 x=a에서의 우미분계수와 좌미분계수의 합을 주어진 극한이 의미하고 있었음을 확인하실 수 있으십니다.
이후는 f(x)에 관한 정보도 아무것도 주어져있지 않기 때문에 적당한 그래프를 그려보고..
그에 따른 k(x)의 형태를 살펴보시면 좋겠습니다! 그 다음에 (가) 조건으로 상황 정리하고 (나) 조건으로 수치 결정해서 f(x) 확정 지으시면 되겠습니다.
2024학년도 6월 21번의 경우 주어진 등차수열의 7번째 항이 13의 배수라는 데에서 순서쌍 몇 가지, 등차수열의 합이라는 새로운 수열을 7번째 항까지 더한 값이 644라는 점에서 순서쌍 몇 가지를 구해 둘 모두를 동시에 만족하는 순서쌍을 구해주시면 되는 문항이었습니다!
이와 같이 등차수열이 n에 관한 일차함수이고 등차수열의 첫째항부터 n번째 항까지의 합이 원점을 지나는 n에 관한 이차함수라는 점을 이용하여 식 세워 상황을 정리해보셔도 좋고
교과서에서 소개하고 있는 등차수열의 합 공식을 직접적으로 활용하셔도 좋습니다! 결과는 같습니다.
혹은 시그마의 정통 사고법을 따라서.. 직접 다 나열해본 다음에 다시 정리해보는 방법도 있지만 어차피 이렇게 해도 k에 대한 이차식에 시그마를 적용해야하기 때문에 노동 강도에의 차이는 없다고 느꼈습니다.
분명 더 아름다운 풀이가 있을테지만 저는 수학적 재능이 뛰어난 사람이 아니라 수학을 못하던 고등학생에서 100점 수렴에 성공한 사례이기 때문에... 먼 미래에 떠올려보겠습니다 ㅋㅋㅋㅋ
순서쌍 잡아 일일이 확인해본다는 점에서 2022학년도 9월 13번이 떠올랐었습니다. 함께 살펴보시면 좋겠습니다!
이렇게 한 가지 시험지를 갖고도, 그리고 통합 수능 이후의 평가원 시험지들만을 갖고도 문항 간 공통점과 차이점을 재밌게(?) 분석해볼 수 있음을 글로 작성해봤습니다!
제가 질의응답이나 수업 진행으로 수험생 분들께 도움을 드리는 방식과 상당 부분 일치하니 저와 직접적인 접점이 없는 분들도 이 글을 통해 학습에 도움 받아가셨으면 좋겠습니다.
새로운 관점과 다른 의견, 피드백 환영입니다! 감사드립니다
p.s. 과외생 분 전달해드리려 작성하다가.. 오랜만에 글이 조금 써지는 것 같아서 공개적인 공간에도 공유해둡니다!
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나님 등장 2
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글 잘 읽었습니다.
근디 혹시 태재대 재학 후기같은 칼럼은 올릴생각없나요?
비꼬려는 의도는 아니고
어떤식으로 돌아가고 수업은 진행되는지 궁금하네여
저도 궁금해요!!읽어주셔서 감사드립니다!
아직 개강한 지 일주일밖에 되지 않아 제가 파악할 수 있는 정보들이, 나눌 수 있는 경험들이 많지 않습니다. 한 학기, 적어도 두 달 정도는 다녀보고 기회가 된다면 드는 생각들을 글로 기록해보도록 하겠습니다.
일주일 동안의 경험에 따르면... 정규 수업은 월~목 오전 9시~오후 1시에 진행되며 수업 전까지 각 시간에 필요한 pre readings 자료를 공부해갑니다. 수업 시간 동안에는 교수님의 설명과 학생들 간의 토론, 주제에 대한 학생들의 발언이 약 5:5 or 6:4의 비율로 진행됩니다. 수업이 끝난 이후에는 post readings 자료들을 공부하고 공부한 내용들을 바탕으로 1000자 에세이를 써서 제출해 평가받습니다. 정확한 주기나 앞으로의 학습량과의 비교는 아직 어려울 것 같습니다.
읽기 자료로 다루는 글들은 주로 인문학, 사회과학과 관련된 논문, 기사, 에세이들이라고 느꼈습니다. 저는 인문학, 사회과학보다는 자연과학에 흥미를 갖는 편인데 그래서 아직까지는 큰 흥미를 느끼고 있지 못한 것 같습니다. 또한 모든 수업과 행정 등이 한글이 아닌 영어로 이루어지기 때문에 모국어가 아닌 언어를 일상 속에 사용하는 데에 있어 어려움과 어색함이 있습니다.
지금 더 궁금하신 점 있으시면 여쭤봐주세요! 추가적인 정보들은 학교 생활 해가며 추후에 작성해보겠습니다, 감사드립니다
게시글쓰려다가 책참님께 여쭙고싶어 질문드려봅니다..고2 9월 20번같은 식에 거의 의존하지않고 그래프만으로 해석하는건 어떻게연습해야할까요?? 방식이나 컨텐츠가있을까요?
제가 수학에 대한 이해도가 깊진 않지만, 수식으로 표현할 수 있다면 기하적으로도 이해해볼 수 있고 기하적으로 이해할 수 있다면 수식으로도 표현할 수 있는 것이 수학 문제 풀이의 원리 중 하나라고 알고 있습니다.
모든 상황을 다루는 것이 그렇지만 결국엔 반복 학습과 그를 통한 깨달음 축적이 해법이 될 수 있을 것이라 생각합니다. 그래프를 그려 상황을 정리해보는 문항을 300문항 정도 접해본다 생각해보세요! 홀로 고민해가며 상황을 하나 하나 정리해가다 보시면 어느 순간 직관이 늘어있는 스스로의 모습을 확인할 수 있으시지 않을까 생각합니다.
현 교육과정 미적분의 경우 초월함수의 그래프를 그리는 것을 직접 도함수, 이계도함수 작성하여 그리지 않고 직관적으로 그리는 법에 대한 컨텐츠가 존재하는 것으로 알고 있으나 수학2 수준에서는 다항함수 (그것도 4차함수 정도) 까지이기 때문에... 여러 문항을 분석해보는 것이 확실한 방법이 될 수 있지 않을까 조심스레 예상합니다!
2023학년도 고2 9월 20번의 경우 (가) 조건은 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속임을 의미하고... (나) 조건은 x<3에서 f(x)가 x축에 만나냐 그렇지 않느냐에 따라 생각을 달리해야하므로 경우를 나누어 생각하는 것이 편하겠다 생각하실 수 있습니다!
만약 k<3이라면 3-a가 k 이상이어야 (나) 조건을 만족할 것이고... k>3이라면 3-a가 k 이하여야 (나) 조건을 만족할 것입니다. k=3이라면 a=0이어야 (가) 조건을 만족하는데 그럼 a>0에 모순이므로 k는 3이 될 수 없음을 확인하실 수 있습니다.
이후 ㄱ에서 특정 상황 예시 들어 상황 이해해보고 각 경우에 대해 ㄴ, ㄷ 생각해보면 될 것 같은데... 한 번 다시 고민해보시고 도움 필요하시면 말씀해주세요! 도움 필요하시면 내일이나 모레 중으로 끝까지 풀어보겠습니다
감사삽니다...항상 이런글 남겨주셔서 감사합니다 많은 도움이되네요 ㅎㅎ
책참은 개추지!!ㅋㅋㅋㅋㅋ 감사합니다!
그래서 준킬러 학습법이 기존 기출아이디어와 엮어서 공부하기인가요??
본문의 내용을 정리하면 아래와 같습니다!
1. 수능특강 등에 제시되어 있는 각 단원의 개념을 꼼꼼하게 기억해두고 이것들을 문제 풀이에 직접적으로 활용해보는 경험을 쌓자
2. (말씀하신 바와 같이) 비슷한 평가원 기출 문항들 혹은 본인이 학습했던 문항들을 묶어 한꺼번에 정리해두자, 비슷한 상황을 맞이했을 때 바로 접근할 수 있도록
ㄴ 2.의 경우 세세한 상황들까지 모두 정리해두라는 뜻이 아니라 문제 풀이 및 상황 해결에 핵심이 되는 몇 가지 생각들을 정리해두는 것이 도움이 될 수 있다는 뜻입니다. 그리고 이러한 것들이 주로 우리가 처음 학습하는 개념들에 직접적으로 연관되어 있는 경우가 많으므로.. 기억에 잘 남지 않는다면 반복 학습을 통한 '암기'도 저는 도움이 될 수 있다고 생각합니다.
3. 문제 풀이에 핵심이 되는 사고 과정들을 정리해두고 이것들에 기반하여 문제 풀이를 이어갈 수 있도록 해보자 (e.g. 원이 나오면 원의 중심에서 생각을 이어가보자, 접선이 나오면 접점에서 생각을 이어가보자)
4. 직관적으로 해결할 수 있는 부분들을 수식으로 엄밀하게 증명해보자. 수식으로 엄밀하게 증명할 수 있는 부분들을 직관적으로 이해해보자.
5. (1.과 비슷한 맥락인데) 어려운 상황을 만나면 보다 쉬운 상황으로 바라보아 접근해보자. 이후 상황의 핵심을 파악했다면 다시 상황을 있는 그대로 바라봐보자.
6. 하나의 풀이만 익히기보다 다양한 풀이를 찾아보길 즐기자! 그리고 각 풀이에 대한 이해도를 조금씩 길러두자