합성함수 글(1) (생각 공유해보면 좋겠네요 :)

안녕하세요. 학습자료 탭에 처음으로 글을 써보려니 뭔가 두렵네요...

아는 동생이 합성함수 어렵다고 하길래 설명하기 전에 오르비에 글 올리면서 오르비언들에게 제 생각 평가도 받아보고 더 나은 의견도 들어보고 싶어 글을 쓰게 되었어요

잡설 그만하고 시작하겠습니다.

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합성함수 문제에 대해서 유형별로 분류하면

1. 합성함수의 개형 추론(N축이 이 유형)

2. 합성함수와 역함수(올해 수능 20번(을 제가 그렇게 풀음), 의문사당함 분명 답이 18이었는데)

정도가 4점 정도의 문제에서 주로 만나본 것 같고

그 외에 식을 활용하는 것 정도..있다고 생각합니다.

따라서 1번과 2번에 대해서 어떻게 해결해 나가야 하는지 문제 몇개 예시로 들어서 설명해 보고자 합니다.

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0. 태도

수학 문제 풀 때 우선 문제의 말을 이해하는 과정이 필요한데

저는 문제를 이해하면서 그래프를 그립니다.

24년 5모 22번을 예로 들겠습니다.

이건 문제 읽으면서 그래프 활용하면서 가는 것

현장에서 서로 다른 세 극값을 못읽어서 여기까지 15분 태웠던 기억이

문제 풀 때 그래프를 같이 쓰면서 가기 때문에 제 풀이들을 돌이켜 보면 식으로 풀 수 있었어도 그래프로 푸는 경우가 좀 많았습니다. 그래서 합성함수도 (사실 다른 것도 그렇지만) 그래프를 많이 이용했습니다.

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1. 합성함수의 그래프 추론(->개형 그리기)

    (1)그래프에 방향성 부여하기

우리가 그래프를 그려볼 겁니다.

x축, y축, 원점을 표시하고.....그래프를 그렸습니다.

(이해를 돕기 위한 그래프)

이 그래프 위에, 어떤 점이 있다고 생각해 봅시다.

그리고 이 점은 x좌표가 작은 쪽에서 -> 큰 쪽으로 이동합니다.(아래에서 이 점을 동점 1이라고 할게요!)

이렇게 함으로써, 그래프 상에서 "방향성"이 부여될 겁니다.

(이건 삼각함수 그래프에서도 (제가) 사용하는 방법입니다)

(화살표로 "방향성"을 표시했습니다.)

    (2) 그리기.

합성함수 f o g (x) = f(g(x))에서 개형을 구할 때 이 동점이 움직이는 모양을 통해 합성함수를 구합니다.

이건 말로 설명하기 어려우니 예시를 들어 보겠습니다.

예시 1)

 g(x) 위의 동점1이 -inf에서 inf로 이동하면서 g(x)의 값은 -inf에서 1/4까지 올라왔다가 다시 떨어지네요.

아까 동점1은 x좌표가 -inf에서 inf로 이동하는 점이었죠?

이번에는 동점2를 f(x)에 올려 줄 겁니다.

동점1 과 동점2 의 큰 차이점은

동점 1은 -inf ~ inf 인데

동점 2는 g(x)의 값이 변화함에 따라 x좌표가 변화한다는 것입니다.

이것을 설명하는 방법 중에 유명한 게 N축이라고 듣긴 했는데, 대충 비슷한 것 같고

저는 그래프를 그리는 방법은 점을 찍고 부드럽게 잇는 것이다 라는 말을 중학교 쌤한테 들었어서 이 방법을 쓰고 있네요.(근데 진짜 같거나 비슷할 겁니다 이해는 N축이 더 쉬울 듯 하네요..)

예시 2) 211130을 예로 들겠습니다.

이런식으로 삼차함수의 모양을 크게 2가지(세부적으로 3가지) 가정한 후, 각각 합성을 통해서 한가지 경우가 모순임을 밝히면서, 극대와 극소가 포함되는 유무를 가정하며 합성을 하며 풀어주었습니다. (가정에 가정에 가정)

    (3) 약간의 디테일 보충.

예시1) 에서 느끼셨을 수도 있는데, g(x)=1/4인, 표시한 지점의 미분계수는 0입니다.

그 이유를 직관) 이성) 2개로 나눠서 설명해 보겠습니다.

직관) g(x)가 꺾이는 지점에서 동점 1의 y축 방향 속력은 0이 되는데, 다시 말하면 동점 2의 x축 방향 속력이 0이 된다는 소리입니다.

동점2의 속도가 느려지면서...이동하면....매끄럽습니다....!

근데 이렇게 얘기하면 욕먹으니깐

이성) f(g(x))를 미분하면 g'(x)f'(g(x)) 이고, g'(x)가 0이므로 미분계수가 0이 된다

로 디테일을 보충해 주시면 될 것 같습니다.(예시 2에서 마구잡이로 나옴)

합성함수에서 극대 극소를 많이 물어봤기에 유용하다고 판단해서 잠깐 저의 이미지(?)를 설명해 봤습니다.

======================(이건 추가했어요)

1-1. 그래프를 (내가) 그리는 방식

위에 제가 쓴 거 보면서, 그래프 그리는 방법에 대해서 보충 설명할 필요를 느껴서 짧게 씁니다.

그래프를 그려서 풀어라, 라고 하면 좌표평면 위에 그리려다 너무 가능한 경우의 수가 많아져서 좀 주저하는)?)경우를 봤는데,

정말 제시된 조건들로만 그래프를 프리스타일로 그렸습니다.

최대한 간략화되게 그렸는데, 축은 정보가 없으면 그리지 않았고, 축이 없다 보니 각 지점에 x좌표는 l 표시 후 쓰고, y좌표는 ㅡ 표시 후 쓰네요. 점의 좌표가 주어지면 순서쌍으로 표시해줍니다.

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오늘은 여기까지 적고 다음에 역함수와 합성함수 쪽을 이번 수능 20번 다시 생각해 보면서 적어보겠습니다.

저의 생각이 어떤지(이해하기 쉬운가? 적용하기 쉬운가? 논리적 비약 같은 게 있는가? (너무 N축하고 같은 소리인가?)등)와

설명의 서순이 어떠한가?(생각나는 대로 적게 되어서 목차를 적어가면서 써도 좀 난잡한 느낌이 드네요..)

평가해 주시면 좋을 것 같습니다.

나중에 과외같은 것 해보고 싶은데(수학), 그렇게 하려면 어떤 부분이 필요할까(이건 포괄적으로 다 입니다.)

또한 궁금합니다..ㅎㅎ