행렬 문제 풀어주세요!
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Q. 두 이차정사각행렬 A,B가 A(B+E)=E, AB-BA=A+B를 만족시킨다. 물음에 답하시오.
(1) (B+2E)^-1 = pA+qE 일 때, p,q의 값을 구하시오.
(2) (AB)^2 = nA 일 때, n의 값을 구하시오.
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오늘 저희학교 중간고사 문제였는데요..맞은애가 없네요 ㅋㅋ
이과반이고, 전교권에서 든다는 아이들도 손도 못댄 문제라는 ㅋㅋ
(아무래도 시간 제한이 있으니..)
ㅠㅠ 독동분들 중에 풀어주실분 계신가요..?
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A+B=O 이용하면 쉽게 풀릴꺼 같은데...
p=q=1/3
n=-1
1번 1/3,1/3 ?
2번은 -1 ?
AB-BA=A+B
AB=BA
A+B=O
B=-A
A(B+E)=E
A(-A+E)=E
-A^2+A=E
-> A^2-A+E=O
-> A^2=A-E
(1) (B+2E)^-1 = pA+qE 일 때, p,q의 값을 구하시오.
(B+2E)^-1 = (-A+2E)^-1
A^2-A+E=(-A+2E)(-A-E)+3E=O
(-A+2E)(-A-E)+3E=O
=>(-A+2E)(1/3A+1/3E)=E
(2) (AB)^2 = nA 일 때, n의 값을 구하시오.
(AB)^2=A*-A*A*-A=A^4
A^4=(A-E)(A-E)
=A^2-2A+E
=>-A
1/3,1/3, -1?
1번 문제입니다.
사실 1번 문제의 표기를 제가 파악하지 못했습니다!
저는 여기서 (B+2E)^-1 을 (B+2E)^2-E로 해석하고, 문제 풀이에 들어가도록 하겟습니다!
문제 조건을 확인해봅시다. A(B+E)=E를 통해. A와 B+E는 역행렬 관계, 따라서 A(B+E)=(B+E)A=E. 즉
교환 법칙이 성립합니다!
아하! AB=BA구나!
두번째 조건을 확인해봅시다. AB-BA=A+B라는 조건입니다. 앞 조건에서 AB=BA임을 확인하엿고.
따라서 A+B=O임을 확인했습니다. 오호~A=-B이구나!
(B+2E)^2-E=B^2+4B+3E입니다.
위에서 A(B+E)=E에서 A를 -B로 치환합시다. 호오~ -B^2-B=E. 즉 B^2+B+E=0이구나!
방금 연산으로 B^2=-B-E임을 확인. 자 위 식에 대입해볼까요!
계산해보면. 3B+2E입니다. 위에서 구한 조건에서 B=-A인것은 확인하셧는지요.
다시 B행렬을 -A로 바꿉시다. 그렇다면 -3A+2E가 나옵니다.
따라서 p=-3. q=2가 나옵니다. 제 풀이가 맞는지요?
감사합니다,
님 박승동T 아니죠
당연히 아니죠
이미 말하고 합니다
닉 바꾸기까지 17일 남았습니다
기다려주세요 ㅠㅠ
두번째 문제 풀이 들어가겠습니다. 첫번째 조건을 파악하였다면 상당히 쉽습니다!
(AB)^2 = nA
를 구하는 문제입니다.
직접 써보시면 됩니다. 간단합니다!
일반적인 행렬은 교환법칙이 성립하지 않습니다. ABAB=A^4가 나옵니다.
A^4에 관한 식을 만들어볼까요? 역시 위에서 A(B+E)=E를 이용합니다. B에다가 -A로 행렬식으로 바꾸면
-A^2+A=E입니다. 양쪽에 A^2을 곱해봅시다. -A^4+A^3=A^2입니다.
따라서 A^4=-A^2+A^3입니다.
자 그럼 방금 구한 행렬식을 같은 방법으로 바꿉시다!. A^3은 A^2-A이므로.역시 A^3의 행렬식을 바꾸면
A^4=-A가 나옵니다.
따라서 n은 -1입니다. 제 풀이가 맞는지요?
감사합니다,
지금에서야 봤는데..승동神님 하고 위에 비밀글 달아주신 분들하고 답이 다르네요..
2번은 -1이 맞는데 1번이 1/3인지, -3 /2 인지 모르겠네요..지금 답지가 없어서..ㅠㅠ
확인되는대로 다시 올릴께요~
으..모두들 감사합니다..ㅠㅠ
그럼 제가 틀렷을껍니다 ㅠㅠㅠ
실제 승동신에 반도 못미치는 양민입니다 ㅠㅠㅠㅠ
혹시 제 풀이 다시 검토해보시고
문제 있다면 다른 분들 풀이가 맞을껍니다
그리고 윗글 비추 상쇄좀 ㅠㅠㅠ
근데 승동神님 말투로 설명해주시니까 이해가 잘되네요 ㅋㅋㅋ 왠지