평행이동 해설 & 어떻게 곡선 위의 점의 접선은 한 점으로 정의될까?
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안녕하세요. 일반청의미입니다.
이 칼럼은 이 글에 담긴 생각을 바탕으로 쓰게 되었습니다.
공부의 양은 어떻게 정할까? : http://orbi.kr/0008692499
공부의 양은 생각의 양과 같고, 생각과 고민은 질문에서 나옵니다!
공신 방송 다녀온 후기 & 수학 칼럼 연재합니다. http://orbi.kr/00010768917
가장 쉬운 방식으로 개념을 이해해야해요 : http://orbi.kr/00010794675
저번주의 칼럼은 바로 이거였어요!
이차방정식의 해법 해설 + 평행이동할때 왜 점은 +a인데 그래프는 -a일까? : http://orbi.kr/00010789384
그렇다면 오늘도 저번주의 정답을 먼저 말씀드릴게요.
저번주에 댓글이 엄청나서... 그리고 모든 분들이 옳은 답을 적어주셔서.. 뒷북일수도 있어요!
정답 갑니다!
분명 점을 x축으로 평행이동 하면 x값이 늘어나는게 맞아요.
하지만 그래프의 모든 점의 x값이 늘어났는데 함수식의 x값은 왜 빼지는걸까요?
평행이동 : 도형 F 위의 점 P(x, y)를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한 점을 P'(x', y')이라고 하면 x'=x+a, y'=y 이므로 x=x'-a, y=y' 이다.
이것을 f(x, y)=0에 대입하면 f(x'-a, y')=0 이 성립한다.
따라서 점 P'(x', y')은 방정식 f(x-a, y)=0을 만족한다.
즉, f(x-a, y)=0는 도형 F를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한 도형 F'의 방정식이다.
[M사 수학 1 교과서 189p]
사전적 정의로써 평행이동은 좌표평면 위의 도형을 좌표축에 나란하게 이동시키는 것을 말합니다.
만약 x축의 방향으로 a만큼 평행이동 했다면, x축을 따라서 움직이겠죠!
그 말은, x값이 a만큼 변한다는 것입니다. 다른말로는 x축 평행이동만 할때는
y값이 변하지 않는다는 뜻입니다!
즉 변화된 x값을 대입해도 y값은 변하지 않아야해요.
그러므로 y=f(x)를 x축으로 m만큼 평행이동 했을 때,
모든 점의 x값이 m만큼 늘어남에도 불구하고 함숫값이 같아야하기 때문에
y=f(x-m)이 될 수 밖에 없는 것입니다.
이것을 생각하면 y축 평행이동도 똑같이 생각할 수 있습니다.
y값은 바뀌지만 x값은 변하지 않아야해요!
그렇다면 어떻게 해야할까요?
y=f(x)그래프가 y축으로 n만큼 평행이동 되었다고 합시다.
y=f(x) 위의 점 (a,b)가 (a,b+n)이 되겠죠. 여기서도 마찬가지로 x값은 변함없습니다.
그렇다면 y에 b+n을 대입해도 x값은 a가 되어야합니다.
y-n=f(x)가 평행이동한 함수의 식이 되겠죠.
즉, x축과 y축 동시에 평행이동 한다면, x축 먼저 이동한 후 y축을 이동하면 됩니다.
사실 되게 간단한거에요. x축 평행이동인데 왜 y값이 변해요. 안변하니까! 그리고 f(x)는 함숫값이니까!
그렇습니다.
그렇다면 이번주 주제를 한번 적어볼게요!
직선은 두 점을 잇는 것으로 정의되는데,
어떻게 곡선 위의 점의 접선은 한 점으로 정의될까?
교육과정에서는 중학교 때 원의 접선을 처음 배웁니다.
접선의 정의는 ‘원이나 곡선의 한 점에서만 만나는 직선’입니다.
하지만 우리는 [두 점을 지나서 직선을 그을 수 있으며, 그 직선은 오직 하나만이 존재한다.]는 사실을 알고 있고,
[두 점을 지나는 직선은 오직 한 개만을 그릴 수 있지만 한 점을 지나는 직선은 무수히 많이 그릴 수 있다.]는 사실 또한 알고 있습니다.
그렇다면 접선은 어떻게 그어질 수 있을까요? 한점만 지나는데 말이죠!
물론 제 답이 완벽한 정답은 아닐 수 있어요. 하지만 꽤 설득력 있을거라 생각합니다.
극한이 뭘까요? 한없이 극한값에 가까워지는 거죠.
가까워진다는 것을 조금 더 고민하면 좀더 좋은 아이디어가 나오지 않을까요?
많은 의견 댓글로 달아주셔요! 답은 언제나 그렇듯! 다음 칼럼에 올리도록 하겠습니다.
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근데 뭔상황이죠?
칼럼 다 읽었어요 잘 읽었습니다~
으어어어엉
저도 잘 읽고 갑니다.
항상 외우는 버릇이 있어서 식을 평행이동 시키는 것도 공식처럼 외웠는데 이제야 이해가 되네요.
다음 칼럼 주제 답도 고민해야겠네요ㅎㅎ
흐어.. 감사합니다.
http://orbi.kr/00010980265
곡선 위의 한 점이 다른 한 점으로 한없이 가까워질 때 그 두 점을 지나는 직선도 어떤 직선으로 한없이 가까워지는데 이 어떤 직선이 접선입니다
근데 접선은 한 점을 스치듯 지나가는거잖아요.
한점 지나는건가요 두점지나는건가요?
접점이 직선 위에 있지 않고 뾰족점이 아니라고 하면,
접점을 포함하는 아주 작은 구간에 움직이는 점이 있다고 합시다. 접선이 이 구간 안의 접점을 포함한 두 점을 지난다고 하면 두 점 사이의 한 점을 잡을 수 있는데 이 점은 구간에 속하면서 접점에 더 가깝습니다. 이 때 움직이는 점이 접점에 가까울 수록 더 점을 지나는 직선이 접선에 가까워진다고 할 수 없으므로 모순이 되므로 (구간 안에서) 두 점을 지나지 않고 오직 접점만을 지납니다.
으어어어.... 쩔었당..ㄷㄷ
음.. 이 논리는 괜찮은것 같아요. 다만 넘나 어렵..
좋은의견이에요!!
이내용맞나요?
접선이 접점을포함한 근방에서 접점과 다른점 A를지난다가정, A가 접점에무한히가까워지므로 A는 정점이아닌 동점임.
접선과곡선은 정해져있으므로 교점들은 정점이어야함
따라서 A가동점이므로 모순, 가정이틀림.
즉 접선은 접점을포함한 근방에서 다른점A를지나지않음, 오직 근방ㅈ에서 접점하나만지남
음근데 접선정의가 이차함수와접선에서 한점에서만난다고 되어있고, 판별식사용도하는데..
극한관점으로보니 좀새롭네요
되게 새로운것같아요. 진짜 신박..ㄷㄷ
하지만 그러면 그곳에 닿는건가요?
가까워지는건가요 닿는건가요?
극한의 정의는 가까워지는 것으로 교과서에선 배우는데..
http://orbi.kr/00010980265
대강읽어서..이거혹시말씀하셨는지모르겠는데
접선이한점으로정해지는이유는 방향벡터가있기때문인것같아요
직선이결정될때는 두점이거나, 한점+기울기가있을때인데 접선이라면 미분계수가기울기이고, 접점이그한점이라서!
음.. 우리가 직선 정의할때는 기하학 공리를 이용해요.
직선이 결정될 때는 두점일때입니다. 두점일때 기울기가 확정됩니다.
또한 미분계수가 왜 접선의 기울기인가요?
그 식을 좀더 해석해보시면 좀더 좋은 설명이 나오지않을까요?
흠.. 미1에서 접선의기울기가 미분계수라는걸 설명했는데, 수학적으로엄밀하다곤볼수없죠. 직관적으로 점점그점에다가가니 접선의기울기라고만할뿐.. 이부분증명은 엡실론ㅡ델타로 엄밀히가능할거예요 평변ㅡ순변 극한사용해서
정리하면 x=a에서 접선이생긴다면 a=/=b에대해 a와 b가만드는직선이생기고, b->a일때 그직선이 x=a에서의접선에 한없이가까워지겠네요
이때 기울기 f(b)-f(a) / b-a =f'(a) 이고,(미분계수정의) 접선에한없이가까운직선의 기울기이므로 접선의기울기라해도무방하죠
간단히생각해봤는데! 고등수학만으로는 어떻게서술할지잘모르겠어요..ㅎㅎㅠ 기하학공리가 두점이정해질때 직선이정해진다는것이라면
두점이정해짐<=>기울기가정해지고, 두점이존재함.
으로생각해요
정말 좋은 설명이에요. 고민을 많이하신것같아 감사합니다.
고등수학 극한에서는 한없이 가까이 가는 것으로 정의합니다.
극한값은 그 한없이 가까이 가는 목표구요.
이것만으로 설명하기는 어렵긴한데.. 최대한 다음칼럼에서 해보려구요
지금 써주신건 제 생각과 거의 일치하셔요 ㅋㅋ
미분계수의 정의는 두점사이의 기울기니까요.
마지막말은약간?아닌것같아요 평균변화율이 두점사이의 기울기고 순간변화율=미분계수는 그접점에서의기울기입니다 한점이요~
두점이면서 한점일지도 모르죠!
제해석상으로는 두점이면서 한점이에요!
http://orbi.kr/00010980265