확률분포에서 평균의 개념...
게시글 주소: https://i.orbi.kr/0001286626
확률변수 X와 대응되는 확률 P(X=x) 의 대응관계를 나타낸게 확률분포잖아요
근데 확률변수 X의 평균 E(X)라는 개념이 너무 추상적이어서요..
대체 뭐에 대한 평균이라는건지요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
팜하니나 보고 가라
-
얼버기 기상완뇨 0
-
ㅎㅎ 오늘 많이 늦게왔는데 그래도 1등이네요 !!!! 토요일이라 많이들 지치시죠?...
-
얼버기 1
-
인증 0
흠냐
-
초간장 찍어서 만두피 바삭바삭한 거 느끼면서 먹고 싶다
-
아무도없군 11
이제부터 여기는
-
사설 기출 포함해서 지금까지 풀어본 문제 중 가장 아름다운 문제 였다고 생각함...
-
어떤 분께서 24학년도 6월 추천해 주셔서 한 번 풀어봤습니다. 체감상으로 계산이...
-
국어 장클 1주차 예습 수학 무불개 확통 1강 영어 막장모의고사 1강 스피드보카...
-
한국사 8점 4
지금 시작하려는데 인강 추천좀 해주세요.. 정말 백지 아무것도 몰라요
-
2주간 공부놓음 6모 44344 9모 33144 영어 찍맞 제외 3 멘탈이란것은...
-
대단한힘을그만느끼고싶다
-
제목이 좀 이상한데 아까 쓴 글에서 제가 고민하는 문제집 질문하니깐 어떤 이용자께서...
-
4시에 자야겠다
-
내년 수능볼건데 지금 뭐 공부해야됨? 성적은 6모 44423? 9모 36432 그냥...
-
우리 엄마는 할머니랑 악연이 깊으셔서 한동안 안 만났거든. 나랑 동생이랑 아빠는...
-
내가 수험생활 하는 중에 갑자기 돌아가심 부모님도 예상도 못하게. 원래 약간 심장...
-
오르비옵티무스 공부잘하는 커뮤니티 어떤 상남자분이 여자친구 사별 후 각성하는 썰...
-
새벽 공부 끝 0
운동선수는 훈련 때문에 실공부 시간이 부족한 관계로 개념이라도 복습했다 후
-
ㅇㅈ 4
-
불면증인데 ㅈ됨 7
3일째 잠을 못자고 있노 마치 뇌가 잠 자는 법을 까먹은 것 처럼..
-
막판 인증(ㄹㅇ) 12
어 형이야 펑
-
아 12시 출근 1
12 to 9 죽고싶네
-
질투는 나의 힘 2
아주 오랜 세월이 흐른 뒤에 힘없는 책갈피는 이 종이를 떨어뜨리리 그때 내 마음은...
-
기억하도록
-
현재 약 30시간 깨있는 중
-
주간지는 한개 통째로 쭉 풀어도 페이스 잘 안쳐지던데 뭔차이지..
-
일주일 전에 할머니 돌아가셔서 장례 치렀는데 집 오니까 엄마가 당뇨 때문에...
-
ㅇㅈ 메타 오랜만이네 13
내얼굴은 이제 아는 사람 없을듯 ㅋㅋ
-
인생을 날로 먹고 싶다 아무것도 하지 않고 남들의 노력을 물거품으로 모두에게 상대적...
-
올해 2월부터 중간에 한 두 달 공부하다가 번아웃?비슷하게 와서 공부를 안한 것...
-
여르비 ㅇㅈ 7
.
-
오늘 공부한 시간 - 3시간 22분 오늘 한 공부 국어 - 강기본 3강 - 2번...
-
병호T 현강생입니다. 토탈리콜 궁금증 해소해드리겠습니다. 1. 토탈리콜이란?...
-
알리에서 직구했어요
-
안녕하세요~ 0
2025 인문계 수석입니다~ 질문받아오~
-
국어 실모 0
지금 주2회면 적당한가요?
-
자러갈게요 9
잘생긴 남자 꿈꿔요
-
확통이고 6모는 백97 9모는 쉽긴했어도 50분컷하긴 함 백99목표인데...
-
졸업생 강남 일반고 5점대면 무조건 cc 일까요…? 생기부는 괜찮은데 제2외국어...
-
그냥 어디든 자전공대 가서 취업이나하자였는데 설정외 고정외가 너무 멋져보이기 시작해버림…
-
ln(n!)=nln(n)-n으로 스털링 근사해도 감점 없을까요..?
-
…
-
딱 한번만 ㅇㅈ본것처럼 댓글 달아줄수있슴…..?
-
제발 3
언제쯤 내 이상형을 볼수잇을까 왜 대학가도 없냐고
-
지구1 유자분 지금 들어가면 늦음? 9모 45고 개념기출만함 실문풀이랑 병행하려고...
-
군대갔다오면 24살이라 울었어 ㅜㅜ
-
왜 자꾸 ㄱㅅ이 닿는 걸까.. 흐흐... 이정도면 거의 서비스 아닌지? 추나요법...
-
남르비 주목!! 13
나도 쪽지 줘
이렇게 생각하세요. (주: 편의상 실수값을 갖는 확률변수만 생각하겠습니다.) 확률변수가 주어지는 시점에서 이미 확률분포는 주어지는 것이나 마찬가지입니다. 그래서 기대값을 논할 수 있지요. 그 자세한 이유는 아래 이론적인 설명으로 따로 달아두었습니다:
■ 확률공간이란?
확률변수 X가 정의되기 위해서는 우선 확률공간(probability space)이 정의되어야 합니다. 확률공간은 다음과 같은 세 가지 구성요소로 이루어져 있지요:
1. 가능한 모든 결과(outcome)들을 모아놓은 집합인 샘플공간(sample space) Ω.
2. 가능한 모든 사건(event)들의 집합 F. 여기서 하나의 사건은 여러개의 결과들을 포함할 수 있습니다.
3. 각각의 사건마다 0과 1 사이의 확률값을 부여하는 함수 p : F → [0, 1], 즉 확률 측도(probability measure). 물론, 한 사건이 여러개의 사건으로 이루어져 있으면 각각의 사건의 확률값의 합과 원래 사건의 확률이 같아야 합니다.
말이 좀 어려운데, 예를 보면 이해하기 쉬울 겁니다.
공정한 동전 한 개를 던지는 경우를 생각해봅시다. 그러면 샘플공간은 Ω = {앞, 뒤}로 적을 수 있지요?
이때 가능한 모든 사건들은 Ø, {앞}, {뒤}, {앞, 뒤} 가 되며, 사건들의 집합 F는 이 네 개의 집합을 원소로 갖는 집합이 됩니다. 어째서 {앞, 뒤}가 들어있냐고 물으실 수 있는데, 이 경우는 '앞 또는 뒤가 나오는 경우'으로 이해하시면 됩니다. 즉, 사건이라는 것은 쉽게 말하면 우리가 그 확률을 논하고 싶은 어떤 '가능한 경우'를 나타낸다고 보시면 됩니다. 다른 예로 만약 우리가 공정한 주사위에 대하여 확률공간을 고려한다면, '눈이 1 또는 2 또는 5가 나오는 경우' 혹은 {눈1, 눈2, 눈5}도 하나의 사건이 될 수 있겠지요.
마지막으로 확률측도 P는 p(Ø) = 0, p({앞}) = 1/2, p({뒤}) = 1/2, p({앞, 뒤}) = 1 로 정의되는 함수 P가 됩니다. 보시다시피 p({앞}) + p({뒤}) = p({앞, 뒤}) 가 성립합니다. 즉, (배반)사건들의 확률의 합은 사건들의 합집합의 확률과 같습니다. 즉, 말 그대로 각 사건들마다 우리가 '확률'이라고 부를 수 있는 값들을 주는 함수라고 보시면 됩니다.
■ 확률변수란?
이제 확률변수가 뭔지 살펴봅시다. 확률변수(random variable)는 주어진 확률공간에서 각각의 결과마다 어떤 실수값을 부여하는 함수입니다. 이것의 의미를 이해하기 위하여 위의 공정한 동전의 예를 들어봅시다.
만약 우리가 동전의 앞면이 나오면 백원을 주고 뒷면이 나오면 아무것도 안 주는 게임을 진행한다고 생각합시다. 그러면 X(앞) = 100, X(뒤) = 0 으로 정의된 함수는 확률변수가 되며, 앞면과 뒷면이라는 각각의 결과에 '100원을 얻는 경우'와 '0원을 받는 경우'라는 결과를 대응시켜줍니다. 즉, 확률변수는 쉽게 말하면 어느 한 쪽의 사건들과 다른 쪽의 사건들을 연결해주는 역할을 하지요.
그러면 무슨 이야기를 할 수 있을까요? 네, 한 쪽의 확률 측도를 이 확률변수를 이용하여 다른 쪽으로 보낼 수 있습니다. 바로 위의 예를 이용하자면, p('앞이 나오는 사건의 확률') = p({앞}) = 1/2 라고 이야기하는 대신에 P('100원을 딸 확률') = 1/2 라고 이야기할 수 있다는 것입니다. 우리는 이것을 편의상 P(X=100) = 1/2 와 같이 단순하게 적을 수도 있지요. 물론 마찬가지로 P(X=0) = 1/2 로 적을 수도 있습니다. 그리고 물론 P(X≤50) = 1/2 와 같은 표기도 가능한데, 짐작하셨겠지만 이 표기는 사건 A = {x∈Ω : X(x) ≤ 50} 에 대한 확률 측도 p의 값을 의미합니다. 이 경우 A = {뒤}이므로, 결국 P(X≤50) = p({뒤}) = 1/2 가 되지요.
바로 이렇게 해서 얻어진 다른 쪽의 확률측도 P가 바로 확률분포(probability distribution)입니다.
즉, 우리가 주어진 상황에 해당하는 확률공간을 암묵적으로 깔고 들어간다면, 사실상 주어진 상황의 모든 정보는 확률변수에 담겨있습니다. 반대로 우리는 배경이 되는 확률공간을 잊어버리고 확률변수와 그에 대응되는 확률분포만 알고 있어도 됩니다. 어차피 확률변수 X가 정의되기 위해서는 그 배경이 되는 확률공간 (Ω, F, p)가 있어야 되고, 그 말은 확률변수가 주어진 시점에서 이미 이런 것들을 암묵적으로 깔고 들어간다는 이야기와 다를 바 없거든요.
즉, 중요한 점은 이것입니다. 우리가 확률변수를 이야기하는 시점에서 이미 확률측도나 확률분포는 주어져 있다는 것이지요. 그래서 우리는 확률변수의 기대값이라는 개념을 말할 수 있습니다.
■ 평균 혹은 기대값이란?
평균(mean) 혹은 기대값(expectation value)란 '주어진 확률변수가 평균적으로 취할 수 있는 값'으로 이해할 수 있는 값입니다. X가 확률변수이고 p가 확률측도일 때, X의 기대값은 다음과 같이 정의됩니다:
E(X) = ∫ X dp
뭔가 그럴듯해보이는데, 또 한편으론 뭔가 이상하죠? 아마 지금쯤 '어라, 그럼 동전이나 주사위같은 이산적인 경우에는요?' 라고 물으실 지 모릅니다. 네, 사실 위 식은 그러한 모든 경우를 포함합니다. 아니, 그렇게 되도록 적분의 정의를 확장할 수 있습니다. 하지만 유한한 케이스에서는 굳이 저렇게 적을 필요는 없고, 다음과 같이 바꿔 적을 수도 있지요: Ω = {1, ..., n}이라고 할 때,
E(X) = X(1)p({1}) + X(2)p({2}) + ... + X(n)p({n}).
그런데 우리는 확률변수의 개념을 통해서 위 식을 다음과 같이 바꿔 적을 수 있습니다.
E(X) = X(1)P(X=X(1)) + ... + X(n)P(X=X(n))
이 식이 더 눈에 익숙하지요? 이제 왜 우리가 확률변수만 주어져도 기대값을 이야기할 수 있는지 이해하실 수 있다고 믿습니다. -ㅁ-;;