미적분문제입니다
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스캔0008.pdf
풀이가 계속 이상하게 길어지고 꼬이는 느낌이들어 문의드립니다
아시는분 풀이와 답 부탁드립니다
문제는 파일첨부합니다
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문제에 적혀있지는 않지만, 일단 각 COD의 이등분선과 각 AOB의 이등분선이 일치한다고, 즉 각 COD가 각 AOB 내에서 기울어지지 않고 대칭적으로 놓여져 있다고 가정하겠습니다.
우선 CD의 길이는 간단한 삼각함수의 활용으로부터 2sinx 임을 알 수 있습니다. 따라서 AD의 길이만 구하면 됩니다.
이를 위해 CD에 평행하고 O를 지나는 직선 ℓ을 생각하고, AD를 연장한 직선이 ℓ과 교차하는 지점을 E라고 하겠습니다. (물론 E는 A의 ℓ에 내린 수선의 발이기도 합니다.) 그러면 AD의 길이는 DE의 길이에서 AE의 길이를 뺀 것이 됩니다. 그런데 DE = cosx 임을 쉽게 알 수 있으며, AE의 길이는 직선 OA와 직선 AD에 대한 직선의 방정식을 세워 계산해보면 간단하게 sinx/tan(2θ) 가 됨을 알 수 있습니다. 따라서
S(x)
= 2sinx · (cosx - sinx/tan2θ)
= 2sinx cosx - 2sin²x / tan2θ
= sin2x + (cos2x - 1) / tan2θ
= sin2x + cos2x / tan2θ - 1 / tan2θ
= (sin2θ sin2x + cos2θ cos2x) / sin2θ - 1 / tan2θ
= cos2(θ-x) / sin2θ - 1 / tan2θ
여기서 0 < x < 2θ 이므로, S(x)의 최대값은 θ-x = 0 일 때 얻어집니다. 따라서 x = θ 를 S(θ)에 대입하면
S(θ)
= 1 / sin2θ - 1 / tan2θ
= (1 - cos2θ) / sin2θ
= (2 sin²θ) / (2sinθcosθ)
= tanθ
입니다.
sos440님 풀이에 감사드립니다
명쾌하게 풀어주시니까 이해가 빨리갑니다