억지로 우겨넣어 만들어 본, 미분계수 관련 허접 문제들...
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누군가 질문한 개념에 답변하다가 떠오른 문제들입니다. 뭔가 창작욕이 막 솟구쳐서 만들어놓긴 했는데, 이것 참 후덜덜하네요.
분명 반응이 9:1 의 비율로 갈려서 9는 욕을 하고 1은 무반응을 보일 것이라 생각됩니다.
[문제 1] 다음은 누군가 미분계수의 개념에 문제제기를 한 내용을 정리한 것이다.
우리는 교과서의 개념 설명을 통하여, '미분계수는 평균기울기의 극한'이라는 문구를 귀에 못이 박히도록 들어왔습니다. 그러나 정작 교과서에 등장하는 극한은
입니다. 여기서 이런 의문이 발생합니다: 과연 이 값만을 평균기울기라고 불러도 되는 것일까요? 예를 들어서, 이 극한 대신
를 고려하면 안되는 걸까요? 혹은 개성적으로
를 고려한다든가, 이것도 아니면 더 특이하게
를 고려하면 안되는 걸까요?
입니다. 여기서 이런 의문이 발생합니다: 과연 이 값만을 평균기울기라고 불러도 되는 것일까요? 예를 들어서, 이 극한 대신
를 고려하면 안되는 걸까요? 혹은 개성적으로
를 고려한다든가, 이것도 아니면 더 특이하게
를 고려하면 안되는 걸까요?
이제 실수 전체에서 정의된 함수 f(x)가 x = a 에서 연속이라고 하자.
(1) f(x)가 x = a 에서 미분 가능하고 그 미분계수가 f'(a) = L 일 필요충분조건은, 함수
가 h = 0 에서 연속인 것임을 확인하여라.
(2) (1)과 동일한 가정과 표기법 하에서, 임의의 두 양수 p, q에 대해 항상 다음 부등식이 성립함을 보여라.
(3) 함수 p(h), q(h)는 h가 양수일 때 항상 양수값을 가지며, h = 0 에서 연속이고 p(0) = q(0) = 0 이라고 하자. 이때 (1)과 동일한 가정과 표기법 하에서, 식
이 h→+0 일 때 f'(a)로 수렴함을 보여라. 그리고 이 사실을 활용하여, 위 문제제기에 대해 짧게 답변해보아라.
[문제 2] 실수 전체에서 정의된 함수 f(x)가 x = a 에서 연속이라고 하자. 그리고 서로 다른 두 실수 p, q가 주어져 있다고 하자. 마지막으로, 극한
이 존재하고 그 값이 L이라고 하자.
다음의 일련의 문제들은, 이러한 가정 하에서 p와 q가 어떤 조건을 만족할 때 f(x)가 x = a 에서 미분가능하게 되는지를 살펴보는 과정이다.
(1) f(x)가 x = a 에서 미분 가능하면, L = f'(a) 임을 보여라.
(2) p나 q 중 하나가 0이면, f(x)가 x = a 에서 미분가능함을 보여라.
(3) p = -q 이면 f(x)가 x = a 에서 미분가능할 필요가 없음을 반례를 통해 확인하여라.
다음은 함수의 연속에 대한 짧은 글이다.
어떤 함수 g(x)가 x = a 에서 연속이라는 것은 무슨 의미일까요? 직관적으로, 이는 x가 a에 한없기 가까워지면 f(x)도 f(a)와 한없이 가까워짐을 뜻합니다. 하지만 이 문장은 너무나 모호하며, 결정적으로 수학적인 언어로 적혀있지 않습니다. 한없이 가까워진다는 것이 무슨 의미인지가 명확하지 않기 때문입니다. 때문에 과거의 학자들은, 뉴튼 시대에 발견되어 수백년동안 극한의 개념 위에 찬란한 꽃을 피워온 미적분학도 언젠가 극한의 개념이 흔들리게 되면 모두 무너지는 것이 아닌가 하는 걱정을 품고 있었습니다.
마침내 19세기에 이르러, 칼 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)라는 독일의 수학자에 의해 극한이 엄밀한 수학적 언어로 재정립되게 됩니다. 그의 극한의 엄밀한 정의는 소위 엡실론-델타 논법(ε-δ argument)이라고 불리는데, 여기서 엡실론(ε)이나 델타(δ)는 그리스 소문자로써 수학에서 전통적으로 작은 양을 가리킬 때 자주 사용하는 문자입니다. 여기서 그 논법의 전부를 소개하기는 힘들지만, 적어도 부분적으로 그 아이디어를 전달하는 것은 가능합니다.
그의 엡실론-델타 논법의 주된 아이디어는, 한없이 다가간다는 식의 모호하고 동적인 문장을 정적인 방법으로 풀어 쓰는 것입니다. 그는 기발하게도 '한없이 가깝다'라는 논리를 '가깝다는 것에 대한 어떤 기준값을 도입하더래도, 두 값의 차이가 결국 기준값보다 작게 된다' 라는 논리로 바꿔치기하였습니다. 이는 비유하자면 마치 다음과 같습니다. 우리는 더 작은 물체를 보기 위해서 그만큼 더 배율이 좋은 현미경을 써야 합니다. 하지만 만약 아무리 배율이 좋은 현미경을 써서 어떤 물체를 보려고 해도, 그 물체가 점점 줄어들어 결국 그 현미경으로 볼 수 없을 정도로 작아진다면, 우리는 그 물체가 한없이 작아진다고밖에 이야기할 수 없을 것입니다.
이러한 아이디어에 의하면,
라는 모호한 문장은,
라는 좀 더 수학적인 문장으로 바뀌게 됩니다.
마침내 19세기에 이르러, 칼 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)라는 독일의 수학자에 의해 극한이 엄밀한 수학적 언어로 재정립되게 됩니다. 그의 극한의 엄밀한 정의는 소위 엡실론-델타 논법(ε-δ argument)이라고 불리는데, 여기서 엡실론(ε)이나 델타(δ)는 그리스 소문자로써 수학에서 전통적으로 작은 양을 가리킬 때 자주 사용하는 문자입니다. 여기서 그 논법의 전부를 소개하기는 힘들지만, 적어도 부분적으로 그 아이디어를 전달하는 것은 가능합니다.
그의 엡실론-델타 논법의 주된 아이디어는, 한없이 다가간다는 식의 모호하고 동적인 문장을 정적인 방법으로 풀어 쓰는 것입니다. 그는 기발하게도 '한없이 가깝다'라는 논리를 '가깝다는 것에 대한 어떤 기준값을 도입하더래도, 두 값의 차이가 결국 기준값보다 작게 된다' 라는 논리로 바꿔치기하였습니다. 이는 비유하자면 마치 다음과 같습니다. 우리는 더 작은 물체를 보기 위해서 그만큼 더 배율이 좋은 현미경을 써야 합니다. 하지만 만약 아무리 배율이 좋은 현미경을 써서 어떤 물체를 보려고 해도, 그 물체가 점점 줄어들어 결국 그 현미경으로 볼 수 없을 정도로 작아진다면, 우리는 그 물체가 한없이 작아진다고밖에 이야기할 수 없을 것입니다.
이러한 아이디어에 의하면,
"x가 a에 한없이 가까워지면 f(x)도 f(a)에 한없이 가까워진다."
라는 모호한 문장은,
"두 값이 가깝다는 것에 대한 기준값 ε을 어떤 양수값으로 도입하든간에, x가 a에 한없이 가깝다면 |f(x) - f(a)| < ε 가 성립한다."
라는 좀 더 수학적인 문장으로 바뀌게 됩니다.
이를 참고하여, 나머지 문제들에 답하여라.
(4) 어떤 양수 M에 대하여, 함수 φ(x)가 |x|≤h 일때 항상 |φ(x)|≤ M 을 만족한다고 하자. 그리고 실수 r이 |r| < 1 을 만족한다고 하자.
이때 |x| ≤ h 이면 무한급수
가 항상 수렴하고, 부등식
을 만족함을 보여라.
(5) |p| > |q| > 0 이라고 하자. 이때 함수 φ(h)를
로 두자. 또한 r = q/p 로 두자. 그러면 임의의 h에 대하여 다음 식이 수렴하고, 등호가 성립함을 보여라.
(6) 문제 조건에 주어진 극한 조건은 정확하게 φ(h)가 h = 0 에서 연속이라는 내용이 된다.
문항 (5)의 조건과 표기법을 모두 따를 때, 문항 (4)~(5)와 위의 읽기 자료를 참고하여 다음 사실을 증명하여라:
임의의 ε > 0 에 대하여, h가 한없이 0에 가까우면 
이 성립한다.
그리고 이를 이용하여, 문제 조건 하에서 |p| > |q| > 0 이면 f(x)가 x = a 에서 미분가능함을 설명하여라.
(7) 모든 결과를 종합하여, 문제 조건 하에서 f(x)가 x = a 에서 미분 가능할 필요충분조건이 |p| ≠ |q| 임을 보여라.
만들고 나서도, 이거 고등학생 용으로 만든 게 맞는 건지 참 의심이 가네요.
죄송합니다... 제 능력으론 이 정도가 한계였어요 OTL
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논술고사를 보는 기분이네요. 내공이 후덜덜;;
sos님 죄송한데 수학과 관련해서 몇가지 여쭈고 싶은게 있는데..
괜찮나요?ㅠㅠ
물론이죠 -ㅁ- 단, 수학 공부법을 물어보신다면 저는 뭐랄까 할 말이 별로 없어요;;;
아 공부법 말구요.. 대학교 수학과요.
제가 지금 수시 때 수학과를 쓸까 생각하고 있거든요..
근데 제가 의대를 생각하다가 수학과를 쓴다고 하니까 부모님께서 적잖이 당황하시네요;; 아무래도 보장된 학과에서 갑자기 순수학문쪽으로 간다니까 놀라신듯한데..
수학과를 갔을 때 전망이나 진로는 어떤가요?;;
응용쪽으로 빠진다면 생각보다 갈 길은 많다고 생각합니다만, 순수쪽은 역시 힘들긴 하죠. 수학이야 다른 이공계 분야처럼 랩실에 목매달아야 하는 처지는 아니지만, 그래도 지도교수의 역량이나 개인의 퍼텐셜, 공부량, 그리고 심지어 운에 의해서도 크게 좌우되니까요.
음........
지금 쓸데없는 걱정이긴 하지만,
제가 일반고학생이라.. 설수통하면 과고생들 중에서도 수학 잘하는 학생이 오는 곳이어서..
만약 합격한다하더라도 좀 걱정이 생기는데요.. 이게 극복할 수 있겠죠? -_-;
개인적으로 공부를 해 보면서 느낀 건데, 만약 학문에 뜻이 있다면 남들과 경쟁해서 이기는 걸 생각할 필요가 없습니다. 정말 자기가 즐기고 또 노력하면 됩니다. 뭔가 비현실적이고 일반론적인 답변같지만, 정말로 제가 배우면서 느낀 겁니다. 남들과 자신의 격차에 신경을 쓰기 시작하는 순간, 학문을 하면서 얻는 행복보다 더 큰 불행함이 자신을 덮어버리거든요. 그런 마인드 하에서 행복을 느낄 수는 없지요. 결국 한 번 사는 인생을 즐겁고 자신을 바라보며 살아야 할 텐데, 만약 그런 즐거움을 학문에서 찾기로 결심했다면 정말로 남들은 신경쓸 필요가 없습니다.
물론, 최종적인 목표가 학문이 아닌 다른 곳에 있으며 수학을 이용하려는 것이라면 또 이야기가 달라지지요. 음, 그런 방향으로의 현실적인 이야기 - 즉 학점 - 에 대해 말씀 드리자면, 확실히 경시를 준비했거나 특목고/영재고/과고/민사고같은 곳에서 온 친구들이 대체적으로 앞서고, 또 그 hierarchy가 쉽게 뒤집히지 않습니다. 이런 친구들, 그리고 특히 IMO를 준비해봤던 사람들은 이미 수학적인 마인드에 익숙한 것도 있고, 또한 공부를 함에 있어 깡이 있고 진득하게 붙잡고 두들겨 패서 결국 원하는 바를 이뤄내는 데 숙련되있으니까요. 적어도 교육과정 상에서는 뭔가 하나를 이해하기 위해서 짧게는 몇 시간, 길게는 며칠에서 한 주를 넘겨서가면서까지 붙들고 고민하거나 할 수 있는 경험을 할 수 있는 기회가 전무하다시피 하니까요. 그런 차이를 극복하는 것이 쉽지는 않을 겁니다.
뭐 하지만 저같은 굼뱅이도 어떻게든 팔딱팔딱거리고 있으니, 결국 결론은 가 봐야 알지 않을까 하네요. =ㅁ=b
그럼 소스님도 응용쪽을 생각하시는건가요?
사실 교수직이 보장만 된다면 순수쪽으로도 가보고싶은데 그게 아니니까요..
아 저는 순수쪽 - 하지만 세부분야 자체는 응용에 가까운 그런 쪽 - 을 생각하고 있습니다. 제 성격에 기업같은 데 들어가기는 좀 무리라...
음.. 그렇군요
이거 참 어렵네요..
그냥 대학수학 중간고사 문제같네요ㅋ 고등학생이 자세히 생각하기엔 시간이 좀 걸릴듯해요 ㅎㅎ
으아 진짜 논술고사문제같네요 저 개념에서부터 극핝ㅇ의까지 ㅜㅜ 풀수있을진 미지수지만 풀고싶네요
4,5번이 너무 어렵네요 급수의 수렴판정법 써야 증명할수있는거아닌가요?
고딩문젠데 그런 대학교 기법을 쓸리가 있나요 ㅋㅋ 초심으로 돌아가셔야 할듯..
텔레스코핑을 이용해서 |p|와 |q|가 다르면 f(a+ph)-f(a+qh)/(p-q)h의 h->0일 때 극한값이 존재하면 미분가능함을 보인 거네요. 잘 읽었습니다.