어떤 임의의행렬 A와 단위행렬 E로만 이루어진 방정식에서요.
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A랑 E로만 이루어져도 영인자가 존재하나요?
예를들어서 (A-E)(A^2+3E)=0에서
A=E, or A^2=-3E라고 말하면안되는건가요?
원래 AB=0 이라고해서 A=0 or B=0 라는게 영인자의 정의잖아요...
단위행렬과의 방정식은 곱셈법칙 다 성립하는거 아닌가요.?
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적절한 예가 될지는 모르겠습니다만
A^2-2A+E=O 라는 식에서 님이주장하는건
A=E아니냐 라는거같은데요
A=(1101)ㅡ 차례대로 원소 1,1 , 1,2, 2,1 , 2,2 인 행렬입니다.
A^2-2A+E=O을 만족하죠?
AB=O이라고해서 A=O or B=O은 아니지만 (A-E)(A^2+3E)=O이면 A=E, or A^2=-3E이다 <------ 요건 맞는 명제입니다
여담입니다만, 만약 성분을 복소수까지 허용한다면 틀린명제가 되겠죠. (1 0 0 3i)가 대표적인 반례일테구요.
다만 고등학교과정까지는 실수성분만 허용하는것으로 알고있으니 아마 참일겁니다.
라고 글을 쓰고보니 소스님이 잘 정리해주셨군요..;;
사실 일반적인 수학에서도 행렬에 대한 다항식은 매우 까다로운 문제입니다. 왜냐하면 A랑 E만으로 이루어져도 영인자가 존재하긴 합니다만, 매우 조건이 제한되기 때문입니다. 그래서 그 선이 어디까지인지를 아는 것은 쉽지 않지요.
하지만 이차 정사각행렬에서는 그나마 이야기가 좀 쉬워집니다.
구체적으로, 다음이 성립합니다:
[정리] A가 2차 정사각행렬이고, A의 원소들이 모두 정수(혹은 유리수, 혹은 실수, 혹은 복소수)라고 하자.
이때 계수가 모두 정수(혹은 유리수, 혹은 실수, 혹은 복소수)인 어떤 다항식 p(x)에 대하여 p(A) = O 이면,
p(x)를 나누는 어떤 2차 이하의 계수가 모두 정수(혹은 유리수, 혹은 실수, 혹은 복소수)인 다항식 q(x)가 존재하여 q(A) = O 이다.
증명은 사실상 케일리-헤밀턴 정리와 약간의 대수적 지식의 결합으로 이루어지기 때문에, 여기서 소개하기는 조금 힘듭니다. 그리고 물론 교과과정에서 한 250만광년 정도 떨어져 있지요. 그러므로 굳이 아실 필요는 없습니다. 단지 이런 것도 있구나 하고 한번만 음미해보세요.
위 정리는, 요약하자면, A가 고차식을 만족하는 것처럼 보여도 사실은 그 고차식의 2차 이하의 인수 중 하나가 O이 된다는 것입니다.
대표적인 예가 바로 다음 문제입니다:
A가 원소가 모두 실수이고 (A - E)(A² + A + E) = O 이 성립하면, A = E 혹은 A² + A + E = O 인가?
이 문제의 답은 "그렇다" 입니다. 물론 케일리-헤밀턴 정리를 쳐박아서 이리저리 굴려도 나오긴 하지만, 위와 같은 일반적인 사실을 알고 있으면 x³ - 1 의 실수 범위에서의 인수분해가 (x - 1)(x² + x + 1) 이라는 사실로부터 바로 따라나오지요.
혹은, 교과과정 문제라고 할 수는 없지만, 만약 A의 모든 원소가 정수이고 A^5 + 10A^3 + A = O 이면, A = O 임이 따라나옵니다. (왜냐하면 x^4 + 10x^2 + 1 은 정수 범위에서 인수분해되지 않기 때문이지요.)
감사합니다ㅎㅎ