미적분학 수렴성 질문이요

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여기에 대학과정 올려도 되는지 모르겠네요

질문은 시그마 n=1 부터 무한대까지 i^n/n 이 수렴 하나요? (i는 허수)

비판정법으로는 판정불가고 답에는 조건부수렴(conditionally converge)라고만 적혀있어서 잘 모르겠네요

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11/09/21 22:15 공수 문제 하나 질문이요

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콘실크 · 309984 · 11/08/04 13:30 · MS 2009

고등학교 과정에서도 그렇지만, (-1)^n 꼴은 차라리 -1, 1로 분류하는편이 좋습니다. 그렇게 분류하면 교대급수꼴이 나오겠죠.

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sos440 · 104180 · 11/08/04 14:14 · MS 2005

콘실크 님 말씀처럼, 부분합의 실수부와 허수부를 살펴보면 양쪽 모두 교대급수 판정법을 적용할 수 있는 구조로 되어 있습니다.

아니면 디리클레 판정법같은 해석학적인 판정법을 때려박아도 나오긴 합니다. 디리클레 판정법은 교대급수 판정법의 일반화이지요. 자세한 건 http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test 를 참조하세요.

궁금해하실지는 모르겠지만, 참고로 저 무한급수의 값은

-(1/2)ln2 + iπ/4

입니다. 좀 더 일반적으로, 복소수 z가 |z| ≤ 1 이고 z ≠ 1 이면

-log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + …

가 성립합니다. 위 식에 z = i 를 대입해보면 위의 결과가 나오는 것을 확인할 수 있습니다. (1 - i = √2 e^{-iπ/4} 니까요)

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dasfsdafsdf · 330585 · 11/08/04 16:36 · MS 2010

답변감사합니다. -ln(1-z)의 테일러급수 였군요 ㅋㅋ

그런데 링크된 곳에 3번째 조건 서메이션bn 의 절대값이 M 보다 작다를 경계가 존재한다 정도로 해석하면 되나요?

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dasfsdafsdf · 330585 · 11/08/04 16:41 · MS 2010

그런데 제가 헷깔렸던건 교대급수로 해보긴 해봤는데 그걸로 하려면 짝수항, 홀수항을 분리해서 계산 해야되더라구요. 그런데 절대수렴해야지만 그렇게 분리할수 있다고 해서 혼동이 됐습니다.

근데 어짜피 분리해서 각각이 수렴하니 원급수도 수렴한다고 볼 수 있겠네요... ( 물론 분리했을때 어느 한쪽이 발산하면 판정할수 없겠지만.)

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sos440 · 104180 · 11/08/04 17:46 · MS 2005

그렇지요.

그리고 사실 교대급수도, 인접한 항끼리만 순서를 바꾸면 수렴성이나 수렴값은 바뀌지 않습니다. 점점 더 멀리 있는 항들끼리 순서를 바꿔나갈 때 문제가 일어나지요.

무슨 소리냐 하면, a(n)의 순서를 바꾸는 것을 우리는 자연수 N에서 자연수 N으로 가는 어떤 일대일 대응 σ : N → N 을 생각하여 a(σ(n)) 을 고려하는 것으로 이해할 수 있는데, 이때 n 과 σ(n) 의 차이가 일정한 범위 내에서 유지된다면 (즉, 어떤 양수 m이 있어서 |n - σ(n)| ≤ m 이 항상 성립한다면) ∑ a(n) = ∑ a(σ(n)) 이 됩니다. (증명도 의외로 간단합니다.)

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