ln(x)를 정의하는 두 가지 방법
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ln(x)를 정의하는 두 가지 다른 방법을 살펴보기로 하자. 고등학생들이 이해하기에도 크게 어렵지 않은 내용이다.
(1) 지수함수의 역함수로 정의하는 방법
(2) 함수 y=1/x의 정적분으로 정의하는 방법
고등학교에서는 (1)의 방법으로 배우지만, 대학에서는 흔히 (2)의 방법으로 로그함수에 대해 먼저 설명하고 그 역함수로 지수함수를 정의하기도 한다. 두 가지 방식에 대해 간략하게 살펴보기로 한다.
(1) 지수함수의 역함수로 로그함수를 정의하는 방법
고등학교에서 지수함수의 정의역을 확장하는 과정을 다시 한 번 차례대로 살펴보면 다음과 같다. 1이 아닌 양의 실수 a에 대하여
➀ n이 자연수일 때는 a를 n번 곱한 것을 a^n으로 정의하고, ➁ 음의 정수 n에 대해서는 a^n = 1/a^(-n)으로 정의한다. ➂ 그리고 a^0 = 1로 정의하여 모든 정수 m에 대해 a^m을 알게 된다. ➃ 계속하여 거듭제곱근을 이용하여 유리수 m/n에 대해 a^(m/n)을 정의하고, ➄ 실수 x로 수렴하는 유리수수열의 극한을 생각하여 일반적으로 실수 x에 대해 a^x을 정의한다.
이렇게 지수함수를 정의하면 잘 알려진 지수법칙
a^(x+y) = a^x a^y
가 성립한다는 것을 확인할 수 있다. 또한, 지수함수는 애당초 유리수 집합에서 실수 집합으로 정의역을 확장할 때 연속함수가 되게끔 정의했고, a가 1이 아니면 증가 또는 감소하는 함수이며 함숫값이 항상 양수이므로, 양의 실수에서 정의되는 역함수가 존재하는데, 지수함수의 역함수로서 밑이 a인 로그함수를 정의한다.
한편, 극한을 배우면 무리수 e를 알게 된다. n이 무한히 커질 때 수열 (1+1/n)^n이 어떤 실수로 수렴하고 이 수를 e로 정의한다. 이 수열이 수렴한다는 사실은 고등학교에서 자세하게 배우지는 않지만 대학에서는 단조수렴정리를 이용하여 증명한다.
이제 밑이 e인 로그함수를 ln(x)로 정의하고, 이를 자연로그 함수라고 한다. 이렇게 정의된 ln(x)는 연속함수인 지수함수의 역함수이므로 역시 연속함수이고, 잘 알려진 로그의 성질
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
를 만족한다는 것을 쉽게 보일 수 있고, 수학적 귀납법과 연속함수의 성질을 이용하여 임의의 실수 t에 대해
ln(x^t) = t ln(x)
를 만족한다는 것도 알 수 있다. 그리고 도함수의 정의와 실수 e의 정의, 로그함수의 성질을 알고 있으면 ln(x)를 미분하면 1/x가 된다는 것을 보일 수 있다. 즉,
{ ln(x+h) - ln(x) } / h = (1/h) ln(1+ h/x)
이고, 이때 t=h/x로 치환하면 위의 식은
(1/x) ln(1+t)^(1/t)
로 변형할 수 있다. 여기서 t→0일 때의 극한을 생각하면
(1+t)^(1/t) → e
로 수렴하므로 ln(x)의 도함수는 (1/x) ln(e), 즉 1/x임을 알 수 있다.
결국 ln(x)는 도함수가 1/x인 함수이니 에 의해 함수 y=1/t를 구간 [1, x]에서 정적분하면 ln(x)가 된다는 것도 알 수 있다.
(2) 함수 y=1/x의 정적분으로 로그함수를 정의하는 방법
이 방법은 지수함수를 먼저 정의하지 않고 로그함수를 먼저 정의하는 방법이다. 즉, 함수 y=1/t를 구간 [1, x]에서 정적분하면 ln(x)라고 정의한다. 그러면 정적분의 성질을 이용하여
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
가 성립한다는 것을 보일 수 있고, 정적분의 정의에 의해 ln(1)=0인 것은 자명하다. 또한, 위의 관계식에서 y 대신에 1/x을 대입하면 ln(1/x) = - ln(x)가 되는 것도 쉽게 알 수 있고, 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 n에 대해 ln(x^n) = n ln(x)가 성립하는 것도 보일 수 있다.
이제 가 중요한 역할을 할 차례인데, 이렇게 정의된 함수 ln(x)는 미적분학의 기본 정리에 의해 미분가능하고 도함수가 1/x이 된다는 것을 쉽게 알 수 있고, 미분가능하므로 역시 연속함수이다. 또한, 도함수가 항상 0보다 크므로 증가하는 함수인 것도 알 수 있다.
한편, 조화급수가 발산한다는 사실을 비교판정법을 통해 알 수 있는데, 구간 [k-1, k]에서 정적분 넓이를 비교하면
ln(k) - ln(k-1) > 1/k
이므로 k=2, 3, ..., n에 대해 더하면
ln(n) > 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
임을 알 수 있다. 이제 또한 임의의 1보다 큰 양의 실수 x에 대해 n≤x
ln(x) ≥ ln(n) > 1/2 + ... + 1/n
이 된다. 이제 x가 무한히 커지면 n도 무한히 커지므로 ln(x)는 무한히 커진다.
또는 조화급수를 이용하지 않고 같은 결과를 설명하겠다면, 임의의 2보다 큰 양의 실수 x에 대해 2^n ≤ x < 2^(n+1)을 만족하는 자연수 n이 존재하므로
ln(x) ≥ ln(2^n) = 2^n ln(2)
임을 알 수 있어서 x가 무한히 커지면 n도 무한히 커지고 결국 ln(x)도 무한히 커진다는 것을 알 수 있다.
또한, ln(x) = - ln(1/x) 이므로 x가 0에 가까워질 때 ln(x)가 음의 무한대로 발산한다. 이로써 ln(x)의 치역이 실수 전체인 것도 알 수 있다.
이제 ln(x)가 증가하는 연속함수이고 실수 전체가 치역이므로 실수 전체에서 정의되고 치역이 양의 실수 전체인 역함수가 존재하고, 이 함수를 exp(x)라 정의한다. exp(x)는 연속함수의 역함수이므로 역시 연속이다. 그리고 무엇보다도 잘 알려진 지수 법칙
exp(x+y) = exp(x) exp(y)
이 성립한다는 것을 함수 ln(x)의 역함수라는 사실로부터 간단하게 보일 수 있고,
exp(x) = {exp(1)}^x
를 만족한다는 것도 설명할 수 있다.
이때, exp(1)은 어떤 수일까? 로그함수의 정의로부터 자연수 n에 대해 구간 [n, n+1]에서 정적분 넓이를 비교하면
1/(n+1) < ln(n+1) - ln(n) < 1/n
이고, 이때 각 변에 n을 곱하면
n{ ln(n+1) - ln(n) } = n ln(1+1/n) = ln(1+1/n)^n
이므로
n/(n+1) < ln(1+1/n)^n < 1
이 된다. 그리고 ln(x)가 증가함수이므로 역함수인 exp(x)도 증가함수이다. 따라서
exp( n/(n+1) ) < (1+1/n)^n < exp(1)
이 된다. 이제 exp(x)가 연속함수라는 사실과 샌드위치 정리를 이용하면 수열 (1+1/n)^n이 exp(1)로 수렴한다는 결론을 얻을 수 있다. 그러므로 exp(1)=e라고 하면 이 수가 바로 우리가 알고 있는 무리수 e이고
exp(x) = e^x
와 같게 된다. 또한, ln(e)=1이므로 정적분으로 정의된 로그함수 ln(x)가 방법 (1)에서 알아낸 밑이 e인 로그함수와 같은 함수임을 알 수 있다.
(p.s. 1)
그 외에 테일러 급수를 이용해 정의하는 방법도 있지만 이건 고등학생들이 이해하기에는 적당하지 않아서 생략한다.
(p.s. 2)
사실 역사적으로는 로그함수를 지수함수보다 더 먼저 알게 되었다고 한다. 미적분학 초기 역사에서 여러 수학자들의 노력으로 x^n의 역도함수(원시함수, 부정적분)가 n≠-1일 때는
∫(x^n)dx = x^(n+1) / (n+1) + C
라는 것이 알려졌지만, 계속 알아내기 힘들었던 게 바로 1/x의 적분이었다고 한다. 계산의 편의를 위해 로그를 이용하게 된 게 먼저이고, 1/x를 적분하면 로그의 성질을 갖게 된다는 발견이 그 다음에 이어졌고 지수함수는 나중에 정의되었다고 한다.
(p.s. 3)
1. John Napier가 로그 개념 발표한 것이 1614년.
2. Alphonse Antonio de Sarasa가 1/x 적분이 로그와 같은 성질을 갖는다고 발표한 것이 1649년.
3. 현대적 역함수로 로그를 나타낸 것은 Euler로 1748년.
https://www.facebook.com/100000109816754/posts/2595654003781568?sfns=mo
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