대낮에 스리슬쩍 올려보는 행렬 문제.
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문제라기보다, 새로운 수학적 내용을 소개한다는 느낌으로 한번 구성해보았습니다.
재미있을지는 전혀 장담하지 못하겠네요.
[문제 : 행렬의 제곱근] 성분이 모두 실수인 행렬
가 주어져 있을 때, 다음 물음에 답하시오.
1. (난이도 하)
와 
에 대하여, 다음 등식이 성립함을 보이시오.
2. (난이도 중)
가 모두 양수라고 하자. 그리고 행렬 
를
로 두자. 그러면 다음이 성립함을 확인하여라.
따라서 주어진 가정 하에서, A의 제곱근을
로 정의한다.
3. (난이도 상) 행렬
에 대하여, 
인 것을 p > 0 이고 q > 0 인 것으로 정의하자. 그러면 다음을 보여라.
이제 다음 사실을 증명 없이 받아들입시다.
그리고 다음 문제를 풀어보도록 합시다.
재미있을지는 전혀 장담하지 못하겠네요.
[문제 : 행렬의 제곱근] 성분이 모두 실수인 행렬
1. (난이도 하)
2. (난이도 중)
로 두자. 그러면 다음이 성립함을 확인하여라.
(1) 
(2)
(3)
이면 
(2)
(3)
따라서 주어진 가정 하에서, A의 제곱근을
3. (난이도 상) 행렬
(1) 이면 
이고 
이다. 또한 가 역행렬을 가지며, 
이다.
[Hint: 이차방정식
의 두 근이 모두 양수임을 확인하고, 근과 계수의 관계를 떠올립시다.]
[Hint: 이차방정식
이제 다음 사실을 증명 없이 받아들입시다.
Fact. 이면, 다음 조건을 만족시키는 행렬 가 유일하게 존재한다.
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)
그리고 다음 문제를 풀어보도록 합시다.
(2) 이면 
이다.
(3) 이면 
이다.
(3)
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우왕 이거 모범 안도 있으면 좋겠네요
소스님 제가 이런문제를 풀 능력은 안되지만 ..ㅋㅋ논술 준비하고잇는데요
1번 문제 케일리헤밀턴 정리잖아요
저 결과를 안다고 생각하고 증명해도되나요? 즉 제말은
A를 직접 케일리헤밀턴 정리에 대입해서 등식이 성립한다 라고 해도 논리적인 풀이가 될까요?
케일리-헤밀턴 정리도, 그 수학적인 의미를 일단 걷어내고 나면 하나의 항등식에 불과합니다.
즉, 식 자체가 '직접 확인'하기에 전혀 무리가 없는 간단한 식이라는 것입니다.
그러니 제가 보기에는 굳이 교과외 과정을 끌어와서 설명하기보다 '대입해서 직접 계산해보면 참이다' 라는 식으로 설명하는 것이 훨씬 더 낫지 않나 싶네요.
감사합니다 소스님 자료 잘구경하고있어요 물론 풀진못함..ㅋㅋㅋ