고1 문제 도저히 모르겟네요ㅜㅜ
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양수 a,b,c
a + b + c = 2 일 때
( a + 1/a )^2 + ( b + 1/b )^2 + ( c + 1/c )^2 의 최솟값을 구하시오
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(준식) = (a^2 + b^2 + c^2) + (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) + 3*2에서
코시슈바르츠부등식에의해(a^2 + b^2 + c^2)*(1^2 + 1^2 + 1^2) ≥ (a*1 + b*1 + c*1)^2 (단, 등호는 a*1=b*1=c*1일 때 성립)
마찬가지방법으로(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)*3 ≥ (1/a+1/b+1/c)^2 (등호는 1/a=1/b=1/c일때 성립. 즉, a=b=c일때 성립)
결국 a=b=c일 때
최소값으로 {(a+b+c)^2}/3 + {(1/a+1/b+1/c)^2}/3 +6의 값을 갖음
(준식) ≥ (2^2)/3 + {(3/2+3/2+3/2)^2}/3 + 6 = 169/12