수학 칼럼(3)-미분가능성과 연속성

네.

미분가능성과 연속성의 유명한 문장으로 시작해 보겠습니다.

간.미.연-간단히 말해 미분 가능하면 연속이다.

일반적으로 알고 있는 문장입니다.

그런데 주어가 누구냐에 따라 참이 되기도 거짓이 되기도 하는 문장이지요.

우선 미분 가능에 대해 알아보겠습니다.

다음 문제를 보겠습니다.

2013학년도 사관학교 문제입니다.

(당시 시험은 ㄱ.ㄴ.ㄷ 문제를 고르는 문제가 5문제 정도 출제되었습니다. 그 중 한 문제입니다. 지금처럼 모르면 5번이 안 통하던...)

모든 실수 x에 대하여 정의된 함수 f(x)가 x=a에서 연속일 필요충분 조건은

f'(a)의 값이 존재하는 것입니다. 미분계수 f'(a)의 정의는 수식으로...

따라서 다음이 성립합니다. 

따라서 위 사관학교 문제의 정답은 ②번입니다.

여기서 ㄷ.을 눈여겨 볼 필요가 있습니다.

위의 세 번째 조건의 m=n일 같은 경우는 함수 f(x)가 x=a에서 미분 가능과 상관없이 좌,우 극한이 같게 되어 값이 존재하게 됩니다.

m=n=1인 경우를 Thomas Calculus 책을 번역한 대학교재에 중심화 차 몫이라고 번역되어 있습니다.

그래서 편의상 m=n이고 분모의 (m+n)을 제외한 식을 중심화 차 몫 꼴이라 하겠습니다.

참고로  {f(x+h}-f(x)}/h 을 페르마 차 방정식이라 합니다.

중심화 차 몫에 대한 문제는 많이 출제 되어 왔고 샘도 자주 출제했었습니다.

관련 내용 다음에 다룰까 하다 연관되는 내용이라 내용이 길어져도 여기서 바로 다루겠습니다.

다음 문제를 보겠습니다.

함수 f(x)가 x=0, x=-1을 제외한 모든 실수에서 정의되어 있고 a_n의 n이 자연수 이므로 a_n의 우변은 바로 5f'(n)입니다. f(x)가 미분 가능해서...그래서 풀이가 다음과 같습니다.

주의해야 될 점은 역시 미분이 되지 않을 경우입니다.

관련 문제는 Quiz로 아래에 배치해 놓겠습니다.

자. 그럼 지금까지 내용 정리해 보겠습니다.

실수 전체에서 정의된 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 조건과 필요충분 조건은 f'(a)가 존재하는 것이다.

그런데 도함수 f'(x)는 x=a에서 연속일까요?

다음 함수를 보겠습니다.

이 함수는 x=0에서 정의되어 있고 f'(0)이 존재하므로 모든 실수에서 연속이며 미분 가능한 함수입니다.

그런데 도함수는

x=0에서 불연속입니다.

따라서 f(x)가 미분가능하더라도 f'(x)의 연속성은 보장받지 못한다는 얘기가 되는 것이죠. 

처음으로 다시 돌아가 보겠습니다.

간.미.연-간단히 말해 미분 가능하면 연속이다.

f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이다.(참)

f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f'(x)는 x=a에서 연속이다.(거짓)

다음 기출 문항을 보겠습니다.

문장 마지막에 h''(x)가 연속이다.는 조건을 넣은 이유가 여기에 있다고 볼 수 있습니다. 그럼 h''(x)의 x=a의 좌우 극한값과 함숫값이 같다.를 이용하여 간단히 풀 수 있는 문제가 됩니다.

한 가지 더

다르부 정리라고 있습니다.[교과 외]

다르부 정리는 도함수가 사잇값 성질을 갖는다는 정리입니다.

그런데 도함수는 연속성을 보장 받지 못하다는 것을 알았습니다.

그럼 이렇게 정리할 수 있겠네요.

연속함수는 사잇값 정리를 만족한다.(참)

사잇값 정리를 만족하는 함수는 연속함수이다.(거짓)

그래서

실수 전체에서 정의된 연속함수 f(x)의 도함수 f'(x)는 x=a에서 연속이다고는 할 수 없지만 사잇값 정리를 만족한다.

관련 문제들 Quiz 입니다.

1번 중심화 차 몫 관련 문&이과용

2번 중심화 차 몫 관련 이과용

3번 중심화 차 몫 관련 킬러급

4번

이상 랑데뷰 수학 황보백 선생이었습니다.

(아, 저는 성이 황보입니다. 대구 송원학원 소속)