수학 칼럼(8)-초월함수의 극한의 근사
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00030553253
우선 저는 근사로 푸는 걸 좋아하지 않습니다.[교과 과정으로 해결하자!]
그런데 워낙 근사에 대한 질문이 많아서 정리해 보도록 하겠습니다.
초월함수를 다항함수로 바꿔서[테일러 급수 중 a=0인 경우인 매클로린 급수] 푸는 걸 근사라고 하기에 저는 그냥 교체해서 풀기, 바꿔치기 등으로 부릅니다.
이럴때 교체가 되고 어떨 때는 이렇게 고친 뒤에 교체해야 되고 저런 경우는 아예 교체가 되지 않는거 아니냐? 등의 질문을 많이 받아 왔습니다.
저의 대답은 이렇습니다.
*질문자가 교체를 잘못 했을 뿐, 또 교체하고 나면 계산이 더 복잡해 질 뿐 교체했는데 함수가 수렴하지 않는 (x->0 일 때, sin(1/x)을 1/x로 교체하면 수렴하지 않음) 경우를 제외하고는 모두 그 상황에서 바로 교체해도 극한을 구할 수 있다. 그런데 고등과정에서 sinx,tanx, e^x-1, ln(1+x)을 x로 1-cosx를 1/2x^2 으로 교체로만으로는 모든것이 해결 안 되고 다음 단계까지 적용시키면 된다.(거의 대부분) *
이왕에 교체로 문제를 볼려면 매클로린 급수의 두단계 까지는 적용하는게 좋겠습니다.
두 단계라 함은 다음과 같습니다.
다음 문제를 보겠습니다.
교육청 기출 문제입니다. 그냥 무난하게 풀어가면 됩니다. 이 문제를 함수 교체(근사)로 풀어 보겠습니다.
식 정리하지 않고 바로 교체하는 풀이로 진행해 보겠습니다.
우선 sinx를 x로 1-cosx=1/2 x^2으로 교체하면
별로 닮지도 않은 것들을 닮았다고 우기는 경우가 되서 답이 안나오는 경우입니다. 그래서 근사로 풀지 않는걸 추천한다고 합니다.
식을 정리하다 보면 닮지 않은게 많이 닮은 경우가 될 수도 있는데 그 때는 교체해도 된다고 합니다.
위의 바른 풀이의 마지막 줄에서는 sinx를 x로 1-cosx=1/2 x^2으로 적용해도 된다는 얘기지요. 그런데 그렇게 정리할거면 굳이...
그럼 sinx를 x-1/6x^3으로 1-cosx=1/2 x^2으로 교체해 보겠습니다.(하나만 두 단계로 다른 하나는 한단계로 교체)
이 경우는 한 놈은 닮은게 맞는데 다른 한 놈은 닳은게 아닌 경우입니다. 그래서 계산이 안되는 경우입니다. 교체를 할려면 같은 단계로 진행해야 합니다. sinx을 두 단계로 진행했기에 1-cosx 도 1/2x^2-1/24x^4으로 교체하면 계산이 됩니다.
그런데 분자, 분모가 다항식으로만 있더라도 계산이 너무 복잡합니다. 계산 결과는 울프람님의 도움으로
안되는게 아니라 되는데 더 복잡할 수도 있습니다.
그런데 확실히 바로 교체하면 간단하게 풓리는 문제가 있습니다.(많죠..)
그래서 이 유혹?에서 벗어나기 힘든거 같습니다.
다음 문제처럼 식 정리가 곱과 나눗셈 행태로 다 정리되어 있는 식은 두 단계로 교체를 하면 쉽긴 합니다.
교육과정으로는 평균값의 정리를 이용해야 됩니다. 상당히 복잡하지만 평균값의 정리로 푸는 그 자체가 수학적 사고력 향상에 도움되기에 꼭 그렇게 풀어보도록 합시다.(식 정리하고 슬쩍 로피탈 넣어도 답은 쉽게 나옵니다.)
그런데 루트식이 있는 극한은 바로 교체하지 말고 유리화 한 후 수렴하는건 수로 바꿔 놓고 교체하는게 계산상 편리합니다. 그렇다고 바로 교체한다고 성립하지 않는거는 아니란거...다음 문제를 보겠습니다.
마지막으로 위에서 언급했듯이 적용안되는 경우입니다.
마지막으로 Quiz 남기고 칼럼 마무리 하겠습니다.
저는 랑데뷰 수학 황보백 선생입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
아니 나만 어려웠음 특히 첫지문
-
수2 21이랑 15중 뭐가 더 어려운가요?
-
서성한 가면 연고 가고싶고 연고 가면 설 가고싶고 11
근데 나는 연고 점프해서 서울대를 가고싶어 서울대 or die
-
바로 나 ㄱㄴㄷ 문제 보면 뇌가 겁을 잔뜩 먹어서 머리가 안돌아감...
-
저는 계속 책에 풀었었는데 다시 풀어보려면 공책에 풀어야 한대서ㅜ 근데 전 다시...
-
적어도 FP보단 적을거 같은데 대충 그럼ㅋㅋ
-
영어 2인데 한번 1로 넣어봤더니 치대 불가능에서 의대도 가능으로 바뀌는데 이거 ㄹㅇ인가ㄷㄷ
-
예 제가 수능 약 100일 전 삼반수를 결심했습니다…. 작년에 재수를 해본 바 혼자...
-
문과가 너무 좋아서 명문대가면 괜찮을거란 생각으로 계속 있었는데 요즘은 ky상경도...
-
지구 퀴즈 1
북반구에서 태풍은 북상하므로 태풍은 지난적이 있는 해수 위를 다시 지날 수 없다. (O, X)
-
서코 전리품 4
알찼다
-
내용을 입력하세요.
-
오늘 한 것. 11:00 공부. 개념의 나비효과 문학파트를 내일 까지하면 마무리 될...
-
공통은 쉬운데 미적 존나게 어렵네
-
sky라는 대학이 따로 있는건줄 앎 ㅋㅋ 알고보니 서울대 연세대 고려대.. 나만...
-
언확쌍사인데 6모 백분위 99 91 2 99 99이고 서울대식으로 406.3...
-
국어 전체적으로 평균 3-4 왔다갔다하는 학생입니다 수시 끝나고 본격적으로 국어...
-
저만 그런가요 실모는 개쉽고 일반 문제가 훨씬어렵네요
-
라유 투자 은행 4
1, 10만덕 저축 연이율 5% 2, 투자한 덕코의 1.5% 만큼 라유가 복권 1등...
-
지금부터 수학만 한다고 해도 높2가 한계일 것 같은데..
-
나만 4
사설컨이랑 평가원이랑 괴리감이 이렇게 큰가 평가원 수학 보면 그래도 공통에서...
-
2학기 수행평가 지금 먼저 한다는데 안내도 될까요?
-
언매가 어느정도 나와야하느요..!! 교차지원 생각도 있어요 과는 상관없고 연대에...
-
전자 버스타야함 후자 도보5분 님들이면 어디감
-
시냅스 너무 안풀리는데 13
뉴런을 계속 복습하는게 좋을까요? 수능 이제 얼마 안남았는데 이제 뉴런수1 끝냈어요...
-
나도 풀어보고싶어
-
김뭉먕 <<< goat
-
한수 페이지에 팔던게 할까마ㅏㄹ까 고민중인데 어떰?
-
경유야… 페이커가 우스워…?
-
공통을 잘하면 미적분도 잘한다 는 항상 성립하지 않으므로 거짓 미적분만 해야겠...
-
상위권 교차 이런걸로 문과도 영향 갈 수 있나요…? 물론 제가 최상위권 지망은...
-
닥후임??
-
어 ㅅㅂ 포에서 조금 바이럴 햇다가 너도나도 이매진 푸는 분위기 됨 ㅈ됨 나만 풀거였는데
-
갠적으로 강대x는 너무 어려웠어요…
-
저 같은 학생따가리 입장에선 문학 자작 문제가 비문학보다 만들기 쉬운듯
-
수능 100일의 전사 드가자~ 2주만 더 놀고 공부해야지
-
현역이고ㅠ내친구 현강 듣는거같은데 숨기는 심리는 뭐임?
-
오래된 문젠데 계산은 그리 복잡하지 않았던 걸로 기억함 답은 있는데 해설이...
-
천동설 ㄷㄷ
-
사문-개념3회독(불후의 명강,스피드버전,최적 스피드) 도표(엠스킬)2회독+ 기출...
-
꿀맛
-
뭐 어떻게 공부해야하죠 ㅅㅂ ㅈ됐다 규조토니 애추니 뭐니 모르겠는데
-
대성아니면 해설 잘되어있는 책으로 낮2 중3 왔다갔다함 피지컬n제 n제게임 4규s1...
-
김기현 아이디어에서 배우는것들 말고도 기출생각집이나 커넥션 같은 강의에서 새로 배우는거 많나요?
-
고영근 교수의 표준중세국어문법론으로 입문하면 좋습니다 다만 돈이 좀 아깝다면...
-
국어 연계 0
이매진 8호까지 문학만 풀고 강민철 이비에스 독서랑 앱스키마로 하면 연계충분할까요?...
-
똑바로 안읽어서 틀린 문제엔 주의할 점 + 정신차리라고 욕도 가끔 써놨는데...
-
이매진 0
이매진 8호까지 문학만 풀고 강민철 이비에스 독서랑 앱스키마로 하면 연계충분할까요?...
교과 과정으로 해결하자 동의^^합니다
아
선생님
감사합니다~~
누추한? 글에 댓글을 남겨주시고ㅎ
선생님 글 잘보고 있습니다. 예전부터 랑데뷰 선생님으로 알고 있는데 혹시 쪽지로 연락드려도될까요? 쪽지 드렸습니다 ㅎㅎ
네~
감사합니다.
그런데 쪽지는 어디서 확인하나요...
확인하려다 폰이 다운되더니 다시 확인이 안되네요.
메세지 이모티콘 누르시면 보실수잇을꺼에요.