저도 수능형은 아니지만 자작문제 투척ㅋㅋ
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작년 7월달에 만들었던거에요
조건 추가: E(X)=1입니다
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CLT (central limit theorem) 혹은 큰 수의 법칙에 의해 불연속이요. (단, 0
아 문제에 조건이 좀 빠졋네요 E(X)=1 추가!
제가 문제를 잘 이해 못 했는지 X~B(n,p) 라는 뜻 아닌가요? 그럼 평균이 np인데 1이 될 수 있는지.. (p 고정 n만 변화한다면)
n, p 모두 변하면서 np=1이라는 뜻이였는데... 혹시 잘못된 부분이 있나요...?
아니에요ㅎㅎ 문제 느낌상 p가 고정된 어떤 값인 거 같은 느낌이 들어서 그랬네요.
답은 f(0) = 1/e , f(h) = 1 (h=0아닐 때)이라서 불연속.
p = 1/n 이니까, |X-1|<=n|h| 일 확률을 구해서 n->무한대 보낸 게 f(h).
h=0 이면 X=1일 확률이니까 ((n-1)/n)^n-1 이고 극한은 1/e.
h=0 아니면 X=1 근처 충분한(?) 구간을 포함하니까 CLT에 의해 n->무한대 일 때 극한은 1.
혹은 CLT 안 쓰고 증명하려면, 임의의 자연수m 을 잡고, m < n|h| 가 되게 충분히 큰 n을 잡은 후, 이 n에 대해
(0<= X <= 1+ n|h|일 확률) >= (X=0,1, ... , m일 확률) > ((n-1)/n)^n (1+ 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/m! ) ((n-m)/n) ^m
이고 양변 극한 취하면 f(h) >= 1/e * e * 1 = 1. f(h)<=1 이기도 하니까, f(h) =1.
만약 정확한 값 (h!=0에 대해 f(h)=1 )이 필요하지 않다면 더 쉽게 증명 가능합니다. 고정된 h에 대해 n이 1/|h| 이상이면, |X-1|<=n|h| 가 X=0,1,2 는 적어도 포함하는데, 이 세 확률만 더해서 극한 보내도 이미 1/e (1+1+1/2) = 5/(2e) 라서 그 극한 lim_{h->} f(h) 도 5/(2e) 이상이라 f(0) = 1/e와 같은 값이 될 수 없으므로 불연속.
오 매번 제가 생각지 못했던 풀이를 보여주셔서 감사합니다ㅎㅎ
아닙니다^^ 저야말로 칸타타님 매번 좋은 문제 고마워요. 다시 읽다보니 약간 말을 빠뜨렸는데, 마지막 전 문단에서 n->무한대 극한 후, m->무한대 극한도 취한 거에요~