단위원과 삼각함수

일단 저는 지방에 사는 멈충이로 단위원에 대한 수업은 들어본 적 없습니다,

다른 학생들이 배운 어둠의 스킬이 뭔지도 잘 모릅니다;; 그냥 이에 대한 제 생각을 쭉 나열할 뿐이고요.

더 심화된 내용이 있다면 누가 올려줬으면 합니다 ㅎ 저도 알고 싶어요..

이에 대해 개인적인 생각은 아래에 있음

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일단 단위원에 대해 봐봅시다.

학습한 바로는 반지름의 길이가 1인 단위원을 설정했을 때

사인, 코사인, 탄젠트 값은 그림과 같습니다.

x=cos theta

y=sin theta

원점 기울기= tan theta

삼각함수처럼 볼 때 유의할 점은 정의역 세타가 x축 위에 있지 않다는 것입니다. 

저희가 보통 함수로 나타낼 때 x축 위에 정의역을, y축 위에 치역을 둬 나타내지만 

지금 단위원의 경우 정의역에 속하는 theta값이 원의 동경 상에 있습니다. 낯설 수 있으니 의식적으로 각인합시다.   

이를 함수로 나타낼 때 정의역 theta를 x축으로 그려낸 것이 삼각함수입니다.  

둘은 사실상 "표현 방식"이 시각적으로 다를 뿐 다루고 있는 내용은 같습니다.

예를 들어 삼각방정식을 풀어봅시다. (범위는 0 2pi로)

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(1)사인함수

보통은 삼각함수를 통해 theta값을 구할 것입니다. 왜냐면 x축이 그대로 theta거든요. 

한편, 다르게 생각할 수도 있습니다.

단위원에서 y값이 사인값임을 유념할 때, 그리고 이때 이루는 동경이 theta임을 고려할 때 저 각들을 구하면 근을 구할 수 있습니다.

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(2) 코사인 함수

삼각함수를 이용하면 x축 값이 그대로 근이기 때문에 교점의 x좌표를 구하면 됩니다.

한편 단위원의 경우 x좌표가 코사인값이라는 것을 유념하고, 동경이 theta를 나타냄을 고려하면 저 각을 구하면 됩니다. 

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(3) 탄젠트 함수

삼각함수를 이용하면 x축이 그대로 theta고 근이기에 교점의 x좌표를 구하면 됩니다.

한편, 단위원을 이용하면 기울기가 탄젠트 값임을 유념하고, 동경이 theta임을 고려하면 저 각을 통해 근을 구할 수 있습니다.

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어느 쪽으로 푸나 별문제는 없습니다. 다루고 있는 내용이 다르진 않거든요. 

여기서 주목할 점은 "표현 방식이 다르다"인데요 이차함수를 일반형으로 나타내는 지 특수형으로 나타내는 지 정도의 차이라고 생각합니다. 근본적으로 다를 것은 없습니다. 만약 축의 좌표를 알고 싶다면 특수형으로 나타내는 것이고 y절편을 알고 싶다면 일반형으로 나타내는 것입니다. 목적에 따라 두 개를 달리 쓰면 편의를 얻을 수 있다는 거죠. 

제가 생각하기에 삼각함수 그래프의 문제는 "그리기"입니다. 구간이 길어지면 너무 많은 주기를 그려야하고 그림도 곡선이다 보니 그리 엄밀하지 못합니다. 또 각을 n배 하면 그리기가 더 어려워집니다.

이에 반해 단위원은 단순한 '방정식'에 대해 생각의 부하를 덜 수 있게 되죠. 

원을 빙글빙글 돌면 되니 그래프를 계속 그릴 필요가 없어요. 이상한 구불구불한 함수도 안 그려도 되고

+) sinx+cosx=sqrt2를 삼각함수를 그려서 푼다고 해봅시다... 둘다 1/sqrt2 일 때가 있겠다고 생각할 순 있는데 다른 근의 여부는? 그래프를 그리자니 머리가 복잡해집니다.

단위원 방식으로 가면 sin theta =y cos theta =x 그리고 두 개 제곱이 1임을 원의 방정식처럼 생각해 (단위원)

근이 한 개 밖에 없음을 확인할 수 있습니다.(일반각에 대하여)

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근데 사실 수1 단원이 "삼각함수" 이기에 단위원만을 이용해 풀 수 있는 문제는 나오지 않을 것 같고 필수 사항도 아니라 생각합니다. 삼각함수의 주된 특징인 [대칭성과 주기& 이에 대한 점대칭성, 선대칭성]에 집중하면 어느 문제든 개념이 부족해 틀리는 일은 없을 겁니다. '삼각방정식'을 풀 때 한 번쯤 고려해볼만 요소?지 않을까 싶습니다.