각 과목(미기확)마다 피지컬 기르는 법(기하)
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안녕하세요 오르비 닉 Evolved Slave II 입니다. 이번에는 지난번 미적분 편에 이어 수학 피지컬 자체에 관심이 있는 분들이 6평 이후로 드러난 약점을 바탕으로 기하 실력을 강화시킬 수 있는 방법에 대해 얘기해볼까 합니다. 공통 과목의 경우에는 반응이 좋다면 나중에 의견을 종합해서 올려볼 예정입니다. (확통은 내일 올라올 예정)
해당 공부법이 절대적으로 최적인 공부법이 아닐 수 있으니 무조건 대입해 보지 마시고 개인의 학습 역량에 맞춰 선택적으로 하셨으면 합니다. 이 정도를 개인의 역량에 맞춰 선택하는 것 자체가 하나의 공부입니다.
(2) 기하: 공통 과목까지 공부하셨으면 수능 과목 치곤 느낌이 다르다는 생각이 드는 과목입니다. 그동안은 그냥 수식으로 이것저것 써서 딱딱 맞아떨어지는 걸 풀었는데....갑자기 그림을 그려서 최대 최소를 구하고, 길이와 넓이를 구하라 합니다. 그렇다고 따로 특이하게 배우는 발상은 머릿속에 잘 안 남습니다. 그냥 풀이를 봐도 '음 그렇지. 그렇지....어라? 답 나오네? 근데 이걸 왜 생각 못했지?'의 연속입니다.
이 당연한 것들의 모임이 풀이라는 특징 자체가 피지컬의 핵심이 중학교 도형이라는 걸 보여줍니다. 이전 교육과정인 기하와 벡터와 비교해서 벡터의 관점이 2D로 한정되었습니다. 다르게 말하면 '선분'과 '벡터'와의 가장 큰 차이점이었던 '기하학적인 상황의 수식적 접근'이 약화된 겁니다. 즉, 우리는 우리 눈에 당장 보이는 물체의 특징을 가장 기본적인 공리에 가까운 정리를 통해 확장하여 풀이를 만들어낼 수 있어야 합니다. 이를 잘 보여주는 예시와 함께 설명해보죠. 2011학년도 9월 평가원 25번 문제입니다.
보통 이 문제를 한 번이라도 풀어본 학생이라면 삼수선의 정리를 써야 함을 알 겁니다. 근데 처음 본 입장이라 가정하고 생각해봅시다. 삼수선이 바로 보입니까? 무슨 근거로? 직관에 의해서는 당연히 이면각을 구해야 하니 수선을 내려야 한다는 결론을 도출할 수 있지만, 가장 기본적인 도형의 성질에서 출발해보겠습니다.
우선, 직선 l,m,n이 서로 평행하고 같은 평면 위에 있지 않다고 합니다. 근데 우린 두 직선이 서로 평행하면 유일한 평면 하나를 만들어냄을 알고 있습니다.(개인적으로는 이 성질을 '증명'하려는 시도를 평소 공부할 때 하는 게 옳다고 보지만 간략하게 언급만 하고 이를 증명해보려는 건 독자들에게 맡기겠습니다.)
그럼 총 3개의 평면이 만들어지겠네요. 어라? 3D가 2D 3개로 쪼개졌습니다! 근데, 주어진 길이와 수직 관계를 보니 각 평면 안에서 도형에 대한 정보가 1개 이상 제공되었네요? 근데 삼각형 ACD을 포함하는 평면은 이 3가지 평면 그 어디에도 속하지 않는 새로운 평면입니다.
평행하지 않은 두 평면이 만났습니다! 그럼 교선이 생기겠네요? 그 교선이 뭐죠? 직선 CD이겠네요! 아, 근데 두 평면 간의 이면각을 구하고 싶은데 점 A가 '붕 떠' 있어서 불편합니다. 어떻게 해야 할까요?
직선 l을 통째로 직선 m,n이 만드는 평면으로 최단거리로 평행이동시킵시다! 그럼 위에서 위치 관계에서 거리 관계를 구할 때 얻은 길이를 통해 그 최단거리가 4임을 알 수 있고, 점 A가 직선 m,n으로 만들어진 평면 위에 '안착'된 한 점으로 표현됩니다. 즉, 이제 모든 점이 한 평면 안에서 나타남을 확인했으니 우리가 그토록 잘 하는 피타고라스의 정리로 직선 BC와 새로운 점 A'까지의 거리를 구합시다.
점 A'에서 직선 CD에 내린 수선의 발을 점 H라 하면, 정의에 의해, A'H와 CD가 수직 관계이고, AA'와 A'H도 수직 관계입니다. 어? 뭐가 떠오르죠? 삼수선 정리의 조건이 완벽하게 성립합니다. 즉, A'H도 CD에 수직 관계이므로 우리는 삼각형 AA'H을 통해 두 평면의 이면각이 정해짐을 보일 수 있습니다.
어때요? 단계 하나하나는 너무나도 '당연'하지 않나요? 근데 문제로 만나면 왜 이리 힘들까요? 그냥 머리가 딸려서? 아닙니다. 평소에 이런 도형의 가장 기본적인 성질에 대해 다 따져보지 않아서 정리 그 하나 말고는 확장을 못 하는 상황이어서 그렇습니다.
정리 하나를 만들기 위해 필요한 전제가 무엇이 있는지를 고민해보세요. 어떤 게 수직이어야만 하나? 아님 일반적인 각도일 때 무조건 성립하는가? 두 직선이 만나서 생기는 정리인가 아니면 한 직선과 그 밖의 두 점이 특수한 위치에 있을 때만 성립하는 정리인가? 이런 식으로 가장 기초가 되는 과정에 대해 의문을 품으면서 성립하지 않는 상황에 대해 빠르게 지워나갈 수 있고, 결국 답이 되는 상황 하나로 빠르게 좁혀나갈 수 있는 입지를 마련할 수 있습니다.
이를 증명함을 통해 연습할 수 있는 게 중학교 도형 지식입니다. 이런 당연한 내용들이 하나의 정리로 만들어질 때 중학교 도형에서 자주 쓰이는 닮음, 합동, 평행조건, 수직조건 등이 자주 등장할 겁니다. 이를 자유자재로 사용할 수 있어야 기하의 관점이 넓어집니다. 이런 정리를 하나하나 보이면서 어떤 성질을 사용하는지에 대해 기록해보세요. 의외로 몇 안 되는 지식으로 여러 가지 정리가 도출됩니다. 그리고 이것이 도형이 정말 무서운 이유 중에 하나죠. 당연해 보이는 걸 직접 손으로 증명해 보일 수 있음을 확신하기 전에는 끝까지 의심하고 고민하세요. '~인 것 같다.' 만큼 막연하고 답 없는 게 기하에서 없습니다.
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올려
확통 ㅇㄷ? ㅠㅡㅠ
내일 올라오구나 기다릴게요
이문제 오랜만에 본다..
올라가랏!
피지컬이라는게 뭘 말하시는지 알려주실수있나요?
기본으로 갖고 있는 지식을 바탕으로 더 넓은 관점을 포괄할 수 있고 그 관점을 바탕으로 문제를 단순명료하게 표현할 수 있는 걸 추상적으로 표현한 겁니다.
안녕하세요 기하선택자입니다! 제가 시발점 뉴런까지 끝내고 그래도 개념은 안다고는 생각하는데 정말 문제만 보면 쉬운문제도 안풀립니다..(가형 16번 이상급..? 부터) 어떤 부분이 문제이고 어떤 공부를 해야할까요..? 이번 6평 세개틀렸습니다 기하 ㅠㅜ
그게 기하의 특징입니다. 단순히 개념을 아는 것과 이를 보이는 것에 차이가 매우 큽니다. 임의의 두 직선이 만들 수 있는 상황에 대해 다 파악할 수 있나요? 점과 직선이 몇 개가 있어야 유일한 평면이 결정되나요? 이런 것에 대한 고민 없이 문제만 풀었다면 그냥 그 상황을 외워서 푸는 거에 지나지 않을 겁니다.
상황을 외워서 푼거라는 말씀이 너무 공감이되네요 ㅠㅜ 그런 근본적인 개념을 좀더 공부해볼까요..??
네
정말 감사합니다!!!