9평 수학b 영역을 위하여

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안녕하세요 작년까지 수험생이었던 한 사람으로
여러분들께 도움이 되고자 이 글을 쓰게 되었습니다.
사실상 수학b형을 준비하면서 실력 차이는 개인에 의한 것이지만
시험에 나오는 주제에 대한 익숙함만이
2등급과 3등급에서 벗어날 수 있는 길이라고 생각합니다.

실제로 수학에 대한 실력과 경험이 많았음에도 불구하고
5등급이 나오던 제가 1년만에 수능 수학b영역에서 1등급을 받았을 당시
세웠던 전략도 바로 시험에 대한 익숙함이었습니다.
그것의 연장선상으로 이번 9평의 주제에 대해서도 자료를 가볍게나마 준비하였으니
9평치기전에 읽으신 분들은 시험에서 좋은 득점의 계기가,
9평 이후에 읽으신 분들에게는 반성과 또다른 공부의 기회가 되시길 바랍니다.

수학b에서 고득점을 위한 주제는 결국 뻔합니다.
미적분과 관련된 문제, 기하와 벡터에서 삼각함수의 극한 및 공간 도형과 벡터입니다.
그 이외의 부분에서는 차차 시간을 두고 업로드를 할 예정이니 기대해주시기 바랍니다.

1. 미적분
미분과 적분의 최종목적은 (교과내용안에서 만큼은) 결국 그래프의 개형에 대한 문제입니다.
그러한 그래프의 개형에 결정적인 요소들은 극점, 대칭, 변곡, 점근선 정도가 시험에서 사용됩니다.
제대로 된 공부를 하였던 학생이라면 낯선 함수들에 대해서도 일련의 계산과정을 통한다면
구체적이지는 않더라도 개략적인 형태까지는 잡아내실 수 있을 것입니다.

그러한 이유로 시험에서는 변별력을 주기 위한 여러가지 장치를 하게 됩니다.
예를 들어 첫번째로 합성함수입니다.
절대값으로 이루어지는 함수가 가장 대표적으로 볼 수 있는데 절대값이 포함된 함수에서는
어느 순간 꺾이는 지점( 명확한 용어는 아니지만 그래프의 개형을 그리는데 있어서)이 생기게 됩니다.
그러한 꺾이는 지점에서 미분 가능성 여부를 알아보는 문제들이 과거에 많이 출제되었으나
최근에는 그리 많이 보이지는 않다고 생각합니다.
2010 6월 가형 14번
2010 6월 가형 24번
2011 수능 가형 24번
2012 6월 가형 21번

두번째로는 새로운 변수를 도입하는 것입니다.
f(x)를 문제에서 제시를 한 후 그래프 위의 한 점의 x좌표로 t를 주는 등의 새로운 문자를 도입하여
새로운 변수와 함께 새로운 함수 ( 이름하여 g(t) )를 분석해내는 문제들입니다.
이와 관련하여 적분으로 정의된 함수를 이용하기도, 또는 넓이와 접선을 이용한 문제들이 있기도 하였습니다.
그동안 최근 기출문제를 충분히 공부하였던 학생들이라면 한글로 되어있는 제 설명을 보더라도
어떠한 문제들이었는데 생각이 나리라고 믿습니다.
2011 9월 가형 16번
2011 9월 가형 21번
2012 수능 가형 19번

이제 이러한 장치를을 이용한 문제들은 충분히 많이 사용되었고 이제 새로운 장치가 최근에 보인다고 저는 생각합니다.
바로 ' 구간에 따라 달라지는 함수' 입니다.

사실상 이제까지의 문제들은 함수값 즉 세로에 대한 관점으로 접근을 했다면
앞으로의 문제들은 함수의 정의역 즉 가로에 대한 관점의 접근을 시작하지 않을까하는 생각이 듭니다.

과거 기출문제에 구간별로 다른 함수를 주어지고 적분에 관한 응용을 한 문제가 있었습니다
2011 수능 가형 17번
2011 수능 가형 29번
2014 예비 평가원 수학 a 21번
2015 6월 수학 30번

구간이 끊기게 되는 상황에 대하여 우리가 배워온 교과과정은
불연속과 미분가능성에 대한 개념이 있습니다.
이제까지는 적분과 관하여 많이 결합되었다면 이제는 미분가능성을 좀 더 중점적으로
봐야 하지 않을까 생각합니다.
사실상 6월에 출제된 문제는 바로 그 미분가능성에 초점을 맞추었기 때문에 저는 제 생각에 대한 확신을 가집니다.

+ 올해 역함수의 적분에 대하여 조금 걱정이 됩니다.
그동안 출제가 빈번하지 않았았던 매개변수 음함수 미분법이 작년 9월, 6월에 출제되 었던 것으로 기억합니다.
많이 다루어 지지는 않았지만 꼭 확인하도록 합시다.
종로 8월 30번과 ebs 수능특가에 기재된 사인의 역함수의 적분에 관한 문제가 좋지 않을까 생각합니다.
종로 8월 30번 같은 경우 기존의 부분적분에서 많이 쓰이지 않는 꼴이 나오기도 하니 한번 봐두시면 좋을 듯 합니다.

2. 기하와 벡터
(1) 이차곡선
이차곡선에 관한 주제는 크게 세가지로 나눌 수 있습니다.
이차곡선의 정의( 3점 혹은 쉬운 4점 )
두개 이상의 도형의 혼합 ( 포 + 포 , 포 + 타 , 타 + 쌍, 타 + 원 등 )
이차곡선과 직선 ( 접선 또는 초점을 지나는 직선 )

그동안의 기출을 보면 주로 정의 또는 두개 이상의 도형의 혼합이 많이 있습니다.
에비 평가 모의고사와 작년의 문제들을 돌이켜 보면 점점 더 도형적인 특징보다는
방정식의 계산을 통한 해결책을 요구하고 있다고 생각합니다.
저는 한석원 선생님의 팬이자 강의를 수강하였는데 그 관점이 옳다고 생각합니다.
접선과 방정식과의 연관성은 굳이 설명하지 않아도 당연하다고 생각합니다.
접선의 방정식의 유도하는 과정 자체에 중근의 성질을 이용하였기 때문입니다.

그렇다면 초점을 지나는 직선과 이차곡선에서는 어떠한 점을 주목해야하나
특별한 경우를 제외하고는 (사실상 시험에서는 거의 통용되는) 초점을 지나는 직선은
이차곡선과 두 개의 교점을 갖게 됩니다.
그리고 그 두 개의 교점의 x 좌표를 서로 다른 근으로 가지는 이차방정식을 구할 수 있게 됩니다.
그러한 다면 그러한 이차방정식에 대하여 우리 교과과정을 무엇을 요구하고 있나
바로 근과 게수의 관계입니다.
합 또는 곱. 이를 통해서 차에 관한 식도 만들어 낼 수 있으니 합 차 곱 세가지를 알 수 있게됩니다.
두가지 이상의 변수를 도입하더라도 계산이 가능하다는 의미가 되겠지요.
또한 벡터와의 연계성을 생각했을 때 합을 통한 중점벡터의 의미를 살리는 것도 가능합니다.
과거 수험생들은 이차곡선은 깔끔하게 풀리며 정의를 이용해서 풀리는 기출문제를 풀어 왔습니다.
그러나 이제, 소수이기는 하지만 방정식의 계산을 통한 해결을 요구하는 평가원 기출문제가 생겼습니다.
초점을 지나는 직선과 이차곡선.
때때로 좋은 발상을 하기보다 우직하게 계산으로도 해결가능한 수험생이 되시길 바랍니다.

(2) 공간도형과 벡터
공부하는 과정에서는 공간도형과 벡터를 단원을 구분하여 배우지만
시험에 임하는 수험생은 하나의 단원이라고 생각했으면 좋겠습니다.
벡터라는 단원은 공간의 의미를 담지 않았을 때는 행렬처럼 계산으로 밖에 사용할 수 없습니다.
일차변환이라는 의미를 행렬이 가지듯이 벡터는 공간과 도형에 결합됨으로 의미를 갖는다고 생각합니다.

-쉬운 유형
열심히 풉니다.
평면의 방정식, 직선의 방정식 등의 유도과정을 꼭 확인하시기 바랍니다.
문제풀어나가는 과정자체가 증명에 사용되는 여러가지 과정이기도 합니다.

-어려운 유형
4점 공간벡터와 관한 문제만큼에 대한 저의 생각은 그렇습니다.
3점 문제가 4가지 혹은 5가지가 결합되어있다.
보자마자 직관적으로 답을 찾아내는 훌륭한 친구들과 다르게
공간벡터를 눈에 의존해서 풀려고만 하는 학생들이 있습니다.
계산결과와 우리가 배워왔던 정리가 때때로 우리의 판단보다 중요하다고 생각합니다.
그러한 정리의 사용을 확인하기 위해 시험이 존재하니까요
교과서 예제와 같은 쉬운 상황 여러가지를 한문제에 담겨져 있으니 처음에는 문제의 시작을
어떻게 해야할지 막막하기도 합니다.

그럴 때 우리는 지켜야할 원칙을 새우도록 합니다

- 점과 평면 ; 평면 밖의 점에서 수선의 발이 찍히는(?) 위치를 파악한다.
- 점과 직선 ; 직선 밖의 점에서 수선의 발이 찍히는 위치를 파악한다.
- 점과 구 ; 구 밖의 점에서 구의 중심까지의 거리를 확인하고 구 밖에서 그을 수 있는 접선을 파악한다.
- 직선과 평면 ; 평면의 법선벡터와 직선의 방향 벡터가 이루는 각을 파악한다.
- 직선과 직선 ; 평행은 3점 꼬이면 4점

여기까지는 사실 어려운 4점 ( 1등급을 결정짓는 ) 주제의 과정에 지나지 않습니다.
충분히 많은 예제와 기출을 참고해주시기 바랍니다

ㅡ정말 어려운 4점 ; 평면과 평면
특목을 준비하는 학생들에게 벡터와
공간좌표를 제외한 위의 문제들을
제시하였을 때 대부분이 풀어냅니다
그들이 뛰어나서가 아니라 중학 수준의
수학적도구만으로 해결이 가능하기
때문입니다
하지만 이 주제만큼은 불가합니다
평면과 평면이 이루는 각
즉 이면각에 대하여는 오직 고교과정에서
배운 도구들이 필요하기 때문입니다
그 도구는 이면각의 정의, 정사영, 법선벡터입니다.

저 세가지의 공통점은 수직과 수선의 발입니다
일명 직각님이십니다
직각님을 찾아내는 과정에서
훌륭한 감각과 경험을 활용하기도 하지만
저와 같은 평민은 배운것만을 사용합니다.

1.접선
2.원
3.이등변삼각형
4.직사각형
5.삼수선정리

제가 20년 기출문제를 풀면서
저것들 이외의 도구는 사용한적이 없습니다
직각을 찾을 수 있는 소중한 도구입니다

공간벡터는 어렵다기보다는 익숙함이
문제입니다
삼수선의 정리를 사용하지 않는 문제들도
잘 맞추시지 못한다면
A급 수학 중학 2-2 또는 3-2 문제지를
권장합니다

ㅠ.ㅠ 정리를 한다고 했는데도 막상 글을 쓰다보니 흩어지는 느낌이 강합니다
구체적인 내용도 많이 담지도 못하였기에
양해 부탁드립니다
읽어주셔서 감사합니다~
질문은 댓글로 부탁드리겠습니다

수능 기적이 아닌 결과만 있기를 기원합니다

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Although · 388083 · 14/09/02 23:02 · MS 2017

다음부터는 게시글에 문제를 포함하도록 하겠습니다

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올해유럽여행간다 · 410085 · 14/09/02 23:46

공도벡터킬러는 결국 직각찾기싸움

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D.Hoon · 496151 · 14/09/04 00:22 · MS 2014

잘읽고갑니다 묻히기아까운글이네요 연재기다릴게요!

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아리아리lಌ · 401090 · 14/09/10 23:13 · MS 2012

잘읽고갑니다

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