a<b일 때 0<af(b)<bf(a)이면 f(x)는 위로 볼록?
게시글 주소: https://i.orbi.kr/0005003804
(09년도 대비 9월 평가원 수리 가형 11번입니다. 문제에는 x,y로 조건이 써있는데, a,b로 수정했어요.)
요약
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
이때 f''(x)<=0임을 증명.
-----------------------------------------------------------------
조건
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
보기생략
일반적인 풀이
0<f(b)/b<f(a)/a이므로 '그려보면' 위로 볼록인 개형이 나온다. 따라서 위로 볼록으로 잘 그려서 삼각형 열심히 만들어서 풀면 됩니다.(보기나 뒤쪽 해설같은건 생략할게요. 논지에서 벗어나니)
물론 저렇게 풀면 답이 잘 나옵니다만, 수식으로만 유도해보고 싶은데 잘 안나오네요.
우선 a<b일 때 f(b)/b<f(a)/a이므로 (0,1)에서 f(x)/x는 감소함수입니다. 즉 (f(x)/x)'<=0이고, h(x)=xf'(x)-f(x)로 놓으면 h(x)<=0입니다.
f(0)=0에서 h(0)=0이므로 h(x)의 그래프는 원점을 지납니다.
이제 h(x)가 (0,1)에서 감소함수임을 보이면 h'(x)=xf''(x)<=0이 되고, x>0이므로 f''(x)<=0, 즉 위로 볼록임을 증명할 수 있습니다. 그런데 이게 진짜 잘 안나오네요. 식조작을 어찌하면 좋을까요.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
뀨뀨 0
뀨우
-
음. 다른사람들은 잘생긴사진 잘만찍던데 버근가
-
반갑습니다. 1
-
뭣 1
6시간 후 기상이라고? 얼른자야지..
-
딴짓 하다가 다 놓쳤군
-
미미미누가되... 어라
-
어디가 더 심하게 괴롭힌다생각함? 여자왕따? 남자왕따?
-
시발
-
같이 긁었는데 여드름이 시원하게 긁혀오면 기분째짐
-
종건 4
인증좀 남겨봐.
-
좇목질이 대인관계의 끝이라고생각 모든 친목질은 좇목질인데 상대가 그걸 수용할수있는지...
-
전 실물파임 6
사진으론 못 담음 그래서 ㅇㅈ을 못하는 거임 그런 거임 ㅇㅇ
-
꽈배기먹고싶다 2
설탕에굴려서
-
내가 생각하던 거랑 거의 똑같이 가나다군 잡아주네... 다군은 좀 달랐지만 당연히...
-
두시됏으니잠 14
빠빠뇨
-
근데 팔로우분들 5
인증 왜하시지 원래 하시던 분들이 아니었던거같은데
-
잠이 안옴 4
밤샐게~
-
예나 6
잘자..
-
ㄹㅇ.ㅋㅋ 코로나끝난지엔년지남 미안요내가좀꼬임
-
학종 열심히 챙기고 선택과목 물화생. 전체 내신 1.7정도 나오는데 저번 중간고사...
-
흔들어라 흔들어라
-
동기들 몇명이랑 엠티갔다가 잠깐 루즈해진 타이밍에 물통들고있던애가 참참참...
-
수능끝났고 하고싶었음
-
빨리 내 옯스타 디엠으로 인증한 사진 보내놔라. 이상.
-
ㅇㅈ 2
-
ㅇ....ㅈ 10
이사진 5조 5억년만에 꺼내는느낌
-
너무 많이 한듯? ㅇㅈ?
-
이게머노
-
아니 왜 나만 5
은따당하고 잇엇뇨
-
ㅇㅈ 6
처음으로 봤는데 존잘이라서 기분 좋네여
-
나만 보면 헛구역질함 ㅇㅇ
-
걍 죽을게
-
왼쪽눈 충혈됨
-
네
-
1시 54분이다 빨리 이불덮고 들어가자라 나는 좀 더 있을게
-
잔다 4
-
왜클릭
-
감상적이게 되네 좀
-
ㅇㅈ 23
다섯번째 재탕이지만 그냥 보십쇼……….
-
시간의흐름이
-
이러면 여자드리 조아하겠지
-
잔다 4
피곤해
-
올만에 모아보기에다 인증했네
-
진짜 싫다 ㅅㅂㅅㅂ 가나다군 폐지 좀 해줘 누가
-
오랜만에 뻘글 ㅈㄴ 썼네
-
중독성있음
-
ㅇㅈ 8
이거저임..
애초에 명제를 생각해낸 논리부터 고려하셔야 될 거 같아요. ' 00에서 0보다 클 때, f(a)/a>f(b)/b이면 f(x)는 위로 볼록이다'라는 명제를 수식으로 증명하려고 할 수 있지만, 역으로 반례를 찾으면 거짓이 됩니다. 아마 대강의 그림을 그려보시면 반례를 찾으실 수 있을 겁니다. 아니면 적당한 삼차함수를 잡으시고 기울기를 관찰하셔도 됩니다. 즉, 수식으로 참임을 증명할 수 없습니다.
조건이 af(b)/b뿐이라면 반례가 존재합니다. 그런데 실제 저 문제를 풀때 명시된 조건을 가지고 위로 볼록으로 판단해서 푸는 해설말고 다른 해설을 본적이 없어서 질문올린거에요 ㅎㅎ ㅠㅠㅠ물론 여기서 위로 볼록은 (0,1)에서의 위로볼록입니다.
저도 완전한 풀이 올리고 싶은데 수험생인지라 시간이 너무 오래 걸릴 거 같네요 ㅜㅜ(어려운 문제긴 해요 ㅋㅋ), 대신에 포카칩님이 쓰신 '수학영역의 비밀'이라는 책에 이문제에 대한 논리적인 풀이가 있습니다. 아마 해답지 말고 본문 속에 있을 거에요. 주변에 친구 책이나 아니면 서점 가셔서 한번 찾아보시길!!
오오 그렇군요 한번 찾아봐야겠네요 ㅇㅂㅇ
명시된 조건은
다항함수 f(x), f(0)=0 0