a<b일 때 0<af(b)<bf(a)이면 f(x)는 위로 볼록?
게시글 주소: https://i.orbi.kr/0005003804
(09년도 대비 9월 평가원 수리 가형 11번입니다. 문제에는 x,y로 조건이 써있는데, a,b로 수정했어요.)
요약
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
이때 f''(x)<=0임을 증명.
-----------------------------------------------------------------
조건
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
보기생략
일반적인 풀이
0<f(b)/b<f(a)/a이므로 '그려보면' 위로 볼록인 개형이 나온다. 따라서 위로 볼록으로 잘 그려서 삼각형 열심히 만들어서 풀면 됩니다.(보기나 뒤쪽 해설같은건 생략할게요. 논지에서 벗어나니)
물론 저렇게 풀면 답이 잘 나옵니다만, 수식으로만 유도해보고 싶은데 잘 안나오네요.
우선 a<b일 때 f(b)/b<f(a)/a이므로 (0,1)에서 f(x)/x는 감소함수입니다. 즉 (f(x)/x)'<=0이고, h(x)=xf'(x)-f(x)로 놓으면 h(x)<=0입니다.
f(0)=0에서 h(0)=0이므로 h(x)의 그래프는 원점을 지납니다.
이제 h(x)가 (0,1)에서 감소함수임을 보이면 h'(x)=xf''(x)<=0이 되고, x>0이므로 f''(x)<=0, 즉 위로 볼록임을 증명할 수 있습니다. 그런데 이게 진짜 잘 안나오네요. 식조작을 어찌하면 좋을까요.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
걍 해설지 읽고있음
-
재종출강을안하시나요뭔10개를하시지
-
대학에서 취급하는 건 일반고 1 = 특목 3 정도인데 나형 1 = 가형 4에...
-
화작 15분걸리고 다맞으면 굳이 언매 안해도 되나? 2
언매화작 1컷 2~4점 차이나는데 어차피 언매 틀리라고 내는문제 틀리면 화작...
-
의협 회장, 수가 1.9% 인상 제안에 "이게 尹이 생각하는 목숨값"(종합) 1
의원 수가협상 결렬 후 인상률 불만 표출…의협 "향후 혼란은 정부 책임"...
-
우리학교 뭔가 혜화문 근처의 예대건물에서 사과관, 혜화관을 거쳐 법학관으로 올라가면...
-
잘있었냐는 인사가 무색할 만큼 괜한 우려였는지 서먹한 내가 되려 어색했을까
-
쉬발꺼 인생 한 번인데 도전한다
-
롤 공부 무한반복하는데도 안 가 통금이라 어디 나가지도 못하고
-
국어는 2입니다. 뭐 학교다닐 때는 대학 갈 생각이 없었어서 그냥 수능도...
-
빈티지를 곁들인
-
지하철에서 24
사람들 시선을 느끼다 온 거여요 하와와
-
어제 5회풀땐 50분좀 넘게 풀고 1틀 오늘 푼 6회는 그냥 100분 풀고...
-
저만 존나 어렵나요?? 진짜 개어려운데%%
-
제발
-
탈르비를 하면 4
그사람이랑 연락했던 쪽지도 사라지는 거구나 처음 알았네
-
다른시험 20번에 비해 쉬웠던건가요? 나 왜 20번 맞혔지...
-
끄아악
-
한마디 해주고가요..
-
난 1.4를 전교에서도 거의 본 적이 없는데 주요교과 1.4도 못 봄
-
사탐런이 이과입시에 부정적 영향을 주는 경우 1.중하위권 과탐선택자가 사탐런...
-
솔직히... 4
남의 사진 가져다가 야한 사진에 합성하고 몰카나 리벤지 ㅍㄹㄴ 보면서 좋아하는...
-
퀴퍼 다녀옴 9
껄껄
-
교과는 대체 어떤 세계인거지 저건 메이저 의대 쓰는 내신인데
-
고작 수학문제 주제 줜나 안풀리네 넌 뒤졌다 스파링 들어와 후.... 안봐준다
-
정확히 말하면 기출 변형 문제입니다. 첫 정답자(이유 포함)에게 2000덕.
-
기본적인 개념들은 이미 내신이나 강의로 공부를 했다고 하고 개념 정리가 잘 되어...
-
노래 왜이리 좋지 재능이 그냥 다른거 같은데
-
오늘 저녁은 뭐 해 먹냐 집안일도 다 귀찮고 방구석은 그냥 개어질러져있고 언제 치우냐
-
드릴 워크북 0
드릴 워크북 한단원 끝나면 푸는거에요 드릴 아얘 끝내고 푸는거에요?
-
정시뿐만 아니라 수시도 .. 화공 1.44 중솦 1.47 AI 1.50 공대...
-
흠... 0
6평대비 국어 모의 좀 푸려는데 빠르게 배송오는 사설 아시는 분 ㅠ 추천 부탁드립니다!
-
뒤늦게 3모 1
올해 3모 국어 풀어봤는데 화작 기준 88점이면 백분위가 어떻게 되나요??
-
백혈병 걸리셨다 만점 받은 행님
-
미적 30틀 x=-4 에서 극대인걸로 찍어 풀었는데 왜 안되는지 모르겠음 22번이...
-
삼반수 하는데 척추측만때매 3급받았고 공부하는 와중에도 간헐적으로 등이랑 허리...
-
송도 소신발언 3
캠 자체가 아담해서 좋긴한데 교통편>>>>송도임
-
바뀐닉으로 불린적이 거의 없음..
-
첨부터 육수 1그릇 더 줌ㅋㅋ
-
=개병신짓 내가그러다가 운영ㅈ박고 백분위 93 입갤함.
-
논란이 생기면 4
항상 나타나는 오프사 저렙 당연히 이전 글 없음, 댓글 없음 특정 소재의...
-
평소처럼 중간맛에 밥 추가해달라고 했는데 어제 한 밥이라고 그냥 주셨음 안 말하고...
-
2025 모의논술 일정 #2 (연/성/덕/서/광/가) 0
2025 모의논술 일정 총정리 #2입니다. 지난 #1에서 성대, 중앙대, 가천대,...
-
법정 질문. 3
사실혼에서 아빠가 자식을 인지하면 친자로 처리되는거임? 아니면 특수 형태에 있는거임?
-
ㅇㅇ?
-
내가 쓴 풀이가 조잡하고 난잡하네 오늘 킬캠도 초반에 풀이 크게크게 정갈하게 썼더니...
-
흠...
-
올해첫실모인데 기 다 죽음....ㅋㅋㅋㅋ
애초에 명제를 생각해낸 논리부터 고려하셔야 될 거 같아요. ' 00에서 0보다 클 때, f(a)/a>f(b)/b이면 f(x)는 위로 볼록이다'라는 명제를 수식으로 증명하려고 할 수 있지만, 역으로 반례를 찾으면 거짓이 됩니다. 아마 대강의 그림을 그려보시면 반례를 찾으실 수 있을 겁니다. 아니면 적당한 삼차함수를 잡으시고 기울기를 관찰하셔도 됩니다. 즉, 수식으로 참임을 증명할 수 없습니다.
조건이 af(b)/b뿐이라면 반례가 존재합니다. 그런데 실제 저 문제를 풀때 명시된 조건을 가지고 위로 볼록으로 판단해서 푸는 해설말고 다른 해설을 본적이 없어서 질문올린거에요 ㅎㅎ ㅠㅠㅠ물론 여기서 위로 볼록은 (0,1)에서의 위로볼록입니다.
저도 완전한 풀이 올리고 싶은데 수험생인지라 시간이 너무 오래 걸릴 거 같네요 ㅜㅜ(어려운 문제긴 해요 ㅋㅋ), 대신에 포카칩님이 쓰신 '수학영역의 비밀'이라는 책에 이문제에 대한 논리적인 풀이가 있습니다. 아마 해답지 말고 본문 속에 있을 거에요. 주변에 친구 책이나 아니면 서점 가셔서 한번 찾아보시길!!
오오 그렇군요 한번 찾아봐야겠네요 ㅇㅂㅇ
명시된 조건은
다항함수 f(x), f(0)=0 0