[미적 자작 문제] 정확한 값을 구할 수 없을 때의 크기 비교, 곡선과 직선의 교점의 개수

함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수입니다! (수정했습니다)

+제가 올리는 자작 문제의 경우 풀이를 원하시는 분이 있으시다면 댓글 남겨주세요, 확인하는 대로 작성하여 댓글 혹은 새 글로 올려두겠습니다.

13인가용

아닙니다!

까비스

13 맞습니다 ㅜ k(t) 생각할 때 g(t)=0이 될 때가 없어 h(t)를 생각할 때와 달리 g(t)=0일 때를 고려하지 않는다는 점을 살리고 싶었는데 f(t)=0이 되는 t=-2, t=1, t=3에서도 각각 좌극한과 우극한이 존재하지만 다른 값이고 함숫값이 정의되지 않기에 불연속임을 확인할 수 있네요. 제 실수 ㅋㅋㅋㅜ

이번 문제의 출제 의도는

1. 다항함수x지수함수 꼴의 함수는 자주 접할 수 있지만 지수함수/다항함수 꼴의 정의역이 끊기는? 경우는 잘 접할 수 없는 것 같아서 그 경우를 소개해보려 했습니다 ㅎㅎ

2. 보통은 '도함수의 부호로 원함수의 증감'을 파악해 개형을 그릴 때 도함수=0인 순간의 x값들을 1, 2, 3 이런 식으로 적을 수 있는데 이 문제는 인수분해 하기가 쉽지 않을 겁니다. 대신 도함수=0인 순간의 x값들을 alpha, beta, gamma라고 한다면 g(alpha)<g(어떤 정수) 와 같은 식으로 극값의 크기 비교를 통해 그래프를 작성하실 수 있습니다. 이후는 기출에서 빈번히 볼 수 있는 곡선=직선의 교점 개수입니다~

수능에 대해 이런 저런 말들을 다들 하지만,
공부머리가 있는 사람들을 골라내는 역할은 참 잘 해내는 것 같아요.
이런 문제가 기형적이라고 욕을 먹을지언정, 풀어냈다면 수학적 사고력이 있다는 걸 보여주니까요.
전에 쓰신 글 읽고 생각 좀 해봤습니다. ㅎㅎ

이 문제를 푸는 것과 수학적 사고력은 무관하다고 생각합니다. 왜냐하면 이 문제는 수학적으로 중요한 발상을 요구하는 문제가 아닌 평가원 기출 문제로부터 학습할 수 있는 '그래프 그리기'와 '방정식 f(x)=t의 실근의 개수'로 이루어진 복잡해보이지만 복잡하지 않은 문제이기 때문입니다. 심지어 'g(alpha)<g(어떤 정수) 와 같은 식으로 극값의 크기 비교'를 하는 부분도 기출 문제에 있는 부분이기 때문에 이 문제는 수학적 사고력이 좋은 친구들보다는 평가원 기출 문제를 제대로 공부한 친구들이 풀기에 유리한 문제입니다.

공부 머리가 있는 사람들은 어떤 시험을 주더라도 잘 해냅니다. 수능은 그 역할을 제대로 해내지는 못하는 것 같아요. 오히려 수학적 사고력이 있는 분들은 '논술 수학'에서 비교도 안될 정도로 문제를 잘 풀어낸다고 생각합니다. 올림피아드에 나가거나 영재고를 졸업하여 논술로 대학에 온 분들처럼요!

흥미롭군요. 올림피아드는 사실 입시에 반영이 안 되고, 논술 전형은 ‘사교육을 유발한다’는 명분으로 점점 문이 좁아지고 있는 것으로 알고 있는데 말씀대로라면 과연 무엇이 가장 적절한 평가 방식인지 논란이 있을 수 있겠네요. 대학 입장에서 본고사를 준비하는 게 금전적으로 큰 부담이라고 들었는데 어쩌면 그런 사정 때문에 수능이 30년 가까이 살아남은 건지 싶습니다.

적어도 제가 느끼기에 저는 수학을 못합니다. 당장 재학중인 학교에서 만나는 친구들과 입시에 관한 이야기를 나눌 때에도 '나는 수학 못해! 수능 수학만 조금 건드릴 줄 아는 사람일 뿐이야'라고 말합니다. 그리고 그들도 인정합니다. 영재고를 졸업해 논술로 대학을 온 친구들이 하는 말 중 기억에 남는 게 있습니다. '정시로 온 애들, 수능 성적으로 온 애들은 웬만하면 학문적이거나 개념적인 부분을 모르더라. 내가 자기장이 뭐냐고 물으니까 'B?' 이러던데? ㅋㅋㅋ', 이 말만 보더라도 왜 제가 수능이 불필요하게 기형적인지와 얼마나 대학 공부에 쓸모 없는지를 체감할 수 있다고 생각합니다. 사실 수능 수학의 경우도 1등급 친구들 중에도 함수의 개형은 '특수특수개특수'로 잘 찍어내면서 막상 '절댓값 함수의 미분가능성은 무엇이고 어떻게 증명해?'라거나 '미분계수의 정의가 뭐야?'라고 물었을 때 바로 제대로 대답할 수 있는 친구들은 얼마 없다고 느낍니다.

이러한 점에서 적어도 수학에 있어서 '이 학생은 수학을 참 잘하는구나'를 가려내고 평가하는 데에는 수능 수학보다 논술 수학, 올림피아드가 훨씬 적합하다고 느낍니다. 그들을 수학과로 데려가 수학을 연구할 수 있도록 환경을 마련하고 그들을 서울대로 데려가 한국의 미래를 위해 본인의 관심 분야에 대한 연구를 할 수 있도록 환경을 마련할 필요가 있다고 생각합니다. 단순히 수능 수학과 같은 수능 과목들만 잘하는, '성실한' 학생들은 의치한수약 보내서 전문직으로 길러내는 것만으로도 충분하다고 생각합니다. 다시 말해 그렇게까지 똑똑한 학생들이 의치한수약 따위로 빠지는 지금의 수능은 많이 아쉬운 평가 방식이라는 생각이 들기도 합니다.

고등학생 때 수학 선생님이 “30번을 푸는 GOAT 친구들도 집합의 정의를 설명할 줄 모른다”고 말씀하신 게 생각나네요. 수능이 야무지게 성실한 학생들을 골라내는 제도라면 현재 입시판에서 메디컬 선호 현상이 극심한 것도 그리 아쉽지만은 아닌 것 같습니다. 말씀하신 진짜 재능이 있는 학생들이야 과고, 영재고 나와서 SPK 갈 테니 말이죠. (실제로 서울대 자연대는 수리과학부 빼고 다 수시로만 뽑는다고 알고 있습니다)
저는 호기심이 지나치게 많아서 집중력이 약한 사람이라, 킬러 문제들을 진득하게 파는 것보다는 새로운 개념들을 배우는 걸 좋아합니다. 즉 수험생활에 적합한 사람은 아니죠. ㅎㅎ 요즘 다들 하도 메디컬 메디컬 거려서 오랜만에 오르비도 찾아오고 그랬는데 말씀 들어 보니 입시판은 절대 다시 기웃거리지 말고, 원래 하던 거나 열심히 해야겠습니다. 자기 행복한 거 하는 게 최고다 싶어요 ㅋㅋㅋ

저도 그렇게 생각합니다 ㅋㅋㅋ 저도 말씀해주신 거 듣고 어젯밤에 잠들기 전까지 생각해봤는데 수능 수학은 문제들은 과할 수 있어도 '성실성'을 판단하는 척도로는 참 괜찮은 방식이라는 생각이 들었어요. 저도 호기심이 많아 다양한 개념을 다루는 것을 더 좋아하긴 하는데 수능 수학에서 다루는 내용들도 재밌게 공부했던 것 같아서 수능이 끝나고도 수능 수학 문제들을 잡고 있는 것 같아요. '입시판은 절대 다시 기웃거리지 말고, 원래 하던 거나 열심히 해야겠습니다. 자기 행복한 거 하는 게 최고'라는 말씀에 좋은 태도라고 느낍니다!

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제가 '수학적 사고력이 있다는 걸 보여'준다고 말씀하신 것에 적극적으로 반대 의견을 표하는 이유는 제가 바로 '수학적 사고력'이 없는 학생이기 때문입니다. 제가 생각하는 수학적 사고력은 개념을 배웠을 때 그것을 활용할 수 있는 능력이나 '예시 들어 핵심 파악', '그래프는 훌륭한 보조수단'과 같은 발상들을 자연스레 떠올릴 수 있는 능력입니다. 제 경험상 주로 영재고, 과학고를 준비했거나 다녔거나 올림피아드와 같은 대회를 준비했던 친구들한테서 많이 볼 수 있었던 것 같습니다. 하지만 저는 로그의 정의를 받아들이는 데에도 한 달 내내 밑 조건과 진수 조건을 이해하지 못하고 log(a)+log(b)=log(ab)임을 받아들이지 못하며 '예시 들어 핵심 파악' 같은 것도 한완수라는 교재를 공부하며 깨달을 수 있던 경우입니다. 그래서 수능 수학에 관한 이야기를 할 때 '꼭 수학적 재능이 없어도 할 수 있다', '개념만 잘 익히고 평가원 기출 문제를 꼼꼼하게 뜯어봐라'라는 말을 하곤 합니다.

중학교 내신 수학을 준비할 때 교과서 풀이를 일일이 외우며 쎈 C단계는 건드려보지도 못했던, 고등학생이 되어 자이스토리에서 기출 문제들을 만나며 10문제 중 8문제는 시도하지 못했던 저는 객관적으로 '수학적 사고력'이 없는 학생이었고 그런 제가 2022학년도 수능 수학에서 원점수 100점을 받아냈으므로 저는 수능 수학은 수학적 사고력이 없더라도 평가원 기출 문제 분석을 통해 실력을 비약적으로 성장시킬 수 있다고 생각합니다. 물론 22수능12 같은 문제나 22수능21 같은 문제는 수학적 사고력을 필요로 한다고 생각합니다만, 두 문제 모두 과한 발상을 요구하지는 않았다고 느끼는 점에서 여전히 수학적 사고력은 수능 수학을 공부하는 데에 유리할 수는 있지만 없다고 실력 향상에 벽을 느끼지는 않는 부분이라고 생각합니다.

와... 정말 존경스럽습니다. 나중에 꼭 한 번 수학 공부를 어떻게 하셨는지, 성적을 어떻게 올리셨는지 그 방법론과 일대기에 대해서 설명하는 글을 자세하게 써주셨으면 좋겠어요. 비록 댓글은 달지 못하지만 올리시는 글들 종종 챙겨읽고 있는데, 저도 수학적 재능이 평균보다도 떨어지는 축에 속하는 학생으로서 어떻게 그러한 것들을 극복하여 100점의 경지에 이르게 되셨는지 여쭙고 싶습니다. 개인적으로 처음부터 수학을 잘 하셨던 분들보다 책참님처럼 성적을 올리신 분들이 더 존경스럽게 느껴지고, 또 저 같은 학생에게는 더 현실적으로 와닿기도 해서 배우고 싶은 마음도 더 크네요. 수능 수학 완성까지 향하는 그 한 단계 한 단계를 어떻게 구성해나가셨는지 이야기를 듣고 싶습니다. 사소한 칼럼부터 시작해서 말씀하시는 내용 중에 공감가는 것들이 정말 많네요. 수학적 사고력이 우수하지 못하여 내년 1년간은 수학에 집중해보려고 하는데 (물론 타과목도 열심히...) 그 올바른 길이 무엇인지 여쭙고 싶습니다. 사실 저도 수학을 어떻게든 완성시켜본 다음에 입시판을 뜨고 싶은 욕심이 크네요. 이게 대학과는 또 별개로 두고 두고 삶의 자양분이 될 역량이 될 것 같다는 생각이 들어서요! 아무튼 나중에 관련 칼럼 올려주시면 꼭 챙겨보겠습니다 ㅎㅎ

네 확인했습니다! 저도 대학에 오고나서 원래부터 잘하다가 대학 잘 온 친구들은 많지만 잘 하지 못하다가 대학 잘 온 친구들은 많지 않다는 것을 체감한 것 같아요. 수학 공부 관련 칼럼 (칼럼이라 표현하는 게 맞을지 모르겠네요 그냥 제가 어떻게 공부했는지를 적는 셈이니 ㅋㅋㅋ) 작성하여 올리면 여기에 답글 달아두도록 하겠습니다.

https://orbi.kr/00059372551/%EC%A0%95%EA%B3%B5%EB%B2%95%EC%97%90-%EB%8C%80%ED%95%98%EC%97%AC?q=1020565&type=imin

얼마 전에 수학 공부 관련 칼럼?을 남겨봤습니다! 시간 되실 때 읽어보시면 도움이 될 만한 부분이 있을 수도 있을 것 같아요

헉 오늘 시간 날 때 꼭 읽어볼게요 링크 감사합니다!!

13?

너무 어렵다...

13...이 나오나요?

극소 2개랑 극대 1개일 때의 함숫값을 각각 a, b, c라고 하면 (a<b) h(t)는 t=c, t=0, t=a, t=b 에서 불연속이기 때문에 p=4. k(t)는 f(x)=c, f(x)=a, f(x)=b를 만족하는 x값 각각 2개, 1개, 3개를 t값으로 할 때 불연속이기 때문에 q=6. 그래서 p+q=10을 의도하긴 했다만,,

p=4는 맞았는데 q가 틀렸나봐요

근데 뭐라해야지 그 f가 0이되는 점은 정의가 안되니까 불연속 포함아닌가요?

네, 그래서 h(t) 판단할 때는 t=0이 들어오지만 (t->0-에서 1개, t=0과 t->0+에서 0개) k(t)를 판단할 때는 f(t)=0을 만족하는 t가 존재하지 않기에 극대 극소 3군데에서만 생각하면 됩니다. k(t)를 생각할 때 t->-inf부터 f(t)=c를 만족하는 t값 중 가장 작은 값 (편의상 d라 한다면) 직전까지 k(t)=1, k(d)=2, lim_t->d+_k(t)=3으로 ..

아! t=-2, t=1, t=3에서 g(t)를 정의할 수 없으니 k(t)에 관해 얘기할 때도 논하면 안된다 생각했는데 t=-2을 예시로 들 때 lim_t->-2-_k(t)=3, lim_t->-2+_k(t)=4에 k(-2)가 정의되지 않으므로 불연속 포함이군요..! 같은 방식에서 t=1, t=3에서도 불연속이라 답 13 맞네요!! 제 부족이었습니다 ㅠ

거의 찍다시피 풀어서리..

정석풀이가 어떻게 되나요? 그냥 문제 한번 읽었더니 f가 구해져버려서

남겨두었습니다! 근데 사실 직감으로 f(x)=0을 만족하는 x값이 -2, 1, 3을 만족하는 것을 찍어내길 유도하기도 했어요 ㅋㅋㅋ 아무리 논리적인 풀이를 공부하고 훈련해도 수능 현장에서는 '이거 같은데?' 싶은 거를 찍어내는 운도 실력이라고 생각했기 때문입니다

문제 올린 지 꽤 되었으니 해설을 남겨보자면 다음과 같습니다.

1. (가)에서 f(-2)=0, f(1)=f(3)을 확인 가능. (나)에서 (가)에서 얻은 f(-2)=0을 활용해 alpha=-2 or beta=-2 or gamma=-2 로 case 분류를 한 뒤 순서쌍 (ㅣalpha-betaㅣ,ㅣbeta- gammaㅣ)을 (3, 2), (6, 4), (9, 6)으로 나누어들어가보면 (가)에 f(1)=f(3)을 만족하는 상황이 alpha=-2이고 (ㅣalpha-betaㅣ,ㅣbeta- gammaㅣ)=(3, 2)일 때를 확인 가능 (case 분류가 많이 들어가고 계산도 꽤 많이 들어오지만 -2가 alpha, beta, gamma 중 어디냐에서 근 간격 순서쌍이 (3, 2)일 때 성립하지 않으면 (6, 4)일 때는 점점 개형이 벌어져 성립하지 않을 것임을 확인할 수 있습니다). 따라서 f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)

2. g'(x)을 통해 g(x)의 개형을 파악해보자. g'(x)=e^x*(x^3-5x^2-x+11)/[(x+2)^2*(x-1)^2*(x-3)^2]의 분수식에서 분자를 자연수, 적당한 유리수에 관해 인수분해 하기 어려움을 확인할 수 있는데 구간 별로 사잇값 정리를 적용하면 -2g(d)임을 알 수 있다.

3. 상황을 생각해보면 g(x)=g(e(미지수))를 만족하는 e가 아닌 x값 g, g(x)=g(f)를 만족하는 f가 아닌 x값 h, i (h<i)에 대해, 함수 h(t)는 t=g(e), t=0, t=g(d), t=g(f)에서 불연속이므로 p=4. 함수 k(t)는 t=g, t=-2, t=h, t=d, t=i, t=1, t=e, t=3, t=f에서 불연속이므로 q=9. 따라서 p+q=13

1에서 case 분류를 할 때 alpha, beta, gamma가 정수라는 조건을 줘야 더 깔끔하게 풀이를 작성할 수 있을 것 같네요. 정수라는 조건이 있다고 생각할 때 직접 몇 가지 해보자면, 순서쌍 (alpha, beta, gamma)에 대해 근 간격이 3, 2일 때 (근 간격 3k, 2k에 대해 k=1일 때) 부터 생각해보면

(-2, 1, 3): f(1)=f(3)=0
(-5, -2, 0): f(1)=/f(3)
(-7, -4, -2): f(1)=/f(3)

근 간격이 6, 4이면 (k=2)

(-2, 4, 8): f(1)=/f(3)
(-8, -2, 2): f(1)=/f(3)
(-12, -6, -2): f(1)=/f(3)

근 간격이 9, 6이면 (k=3)

(-2, 7, 13) f(1)=/f(3)
(-11, -2, 4): f(1)=/f(3)
(-17, -8, -2): f(1)=/f(3)

일반화해서 근 간격이 3k, 2k (k는 자연수)이면

(-2, -2+3k, -2+5k): f(1)=f(3)을 만족하는 k=1
(-2-3k, -2, -2+2k): f(1)=f(3)을 만족하는
(-2-5k, -2-2k, -2): f(1)=f(3)을 만족하는

이제 원래 (가) 조건대로 k를 양의 실수로 확장하면

(-2, -2+3k, -2+5k): f(1)=f(3)을 만족하는 k=1 or k=49/15
(-2-3k, -2, -2+2k): f(1)=f(3)을 만족하는 k=[10+-sqrt(53/2)]/3
(-2-5k, -2-2k, -2): f(1)=f(3)을 만족하는 k는 존재하지 않음

이어서 세 가지 경우가 더 존재하네요...? ㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅠ 검토 오류입니다, 죄송합니다. alpha, beta, gamma 정수 조건을 추가하거나 근 간격을 비율 대신 3k, 2k로 직접 제시하고 k는 자연수 따위의 조건을 붙여야겠네요

헉 저도 방금 그거 계산하고 왔는데

그래도 문제는 참신해서 좋았어요

처음에 f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)로 잡아둔 채로 조건을 만들다보니 결정->조건화 만 생각했지 조건화->모든 경우를 검토하지 못해 발생한 일이네요 ㅜㅜ 이번 문제와 풀이로 검토를 제대로 하자는 좋은 교훈 얻었네요! (+함수의 극한의 정의에 대해 다시 공부할 필요도 느꼈습니다 ㅋㅋㅜ)

평가원 기출 문제나 n제, 실모 등에서 접할 수 있는 문제들에서 방정식 f(x)=t의 서로 다른 실근의 개수를 g(t), 방정식 f(x)=f(t)의 서로 다른 실근의 개수를 g(t)라고는 해도 둘이 같이 묻는 경우는 없더라고요. 그래서 방정식 f(x)=t일 때와 방정식 f(x)=f(t)일 때의 차이가 무엇일지에 대해 푸는 사람 입장에서 공부할 거리가 있다고 생각했고 교과 과정에서는 분명 분모에 실근을 갖는 다항함수가 들어간 그래프도 그리게 하는데 평가원 기출에서는 딱히 본 적이 없는 듯하여 g(x)=e^x/f(x)와 같은 함수꼴도 만들어보고싶었습니다. 좋게 봐주셔서 감사합니다!

이거 2 작성하다가 중간 부분이 날아간 것 같은데 구간 별로 사잇값 정리를 통해 -2<d<-1, 1<e(미지수)<2, 4<f<5를 만족하는 상수 d, e, f에 대해 함수 g(x)가 x=d에서 극소, x=e(미지수)에서 극대, x=f에서 극소임을 확인할 수 있고 1/24<g(d)<1/16과 18<f(f)<84, 16<e^4<81을 통해 g(d)<g(f)임을 확인할 수 있습니다.