[미적 자작 문제] 무리수 e의 정의
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00058891974
사실 이 문제는 '무리수 e의 정의'라는 이름을 붙이는 순간 풀이 과정이 뻔하기 때문에... 숨기는 것이 맞다만 그래도 문제에 이름은 붙여야하니 ㅜ 달았습니다. 어떤 변수 a에 대해 a가 0에 한없이 가까워질 때 (1+a)^(1/a) 꼴이 수렴하는 값을 e로 정의한다는 점을 공부했죠? 이를 단순화해서 바라보면 어떤 극한식에서 밑이 1로 가고 지수가 무한대로 발산하면 e와 관련되었을 것이라는 생각을 해볼 수 있습니다.
여담이지만 [e^x-e^(-x)]/2는 쌍곡선함수 중 한 종류로 sinh(x)로 표기하기도 합니다. 추가로 cosh(x)=[e^x+e^(-x)]/2이며 [sinh(x)]'=cosh(x)와 [cosh(x)]'=sinh(x)가 성립하는 등 삼각함수와 유사한 성질을 나타낸다는 점에서 표기에 sin, cos이 들어간다고 알고 있습니다.
추가로 한국 고등학교 교육과정에서 다루는 6가지 삼각함수의 풀네임은 sine, cosine, tangent, cosecant, secant, cotangent입니다!
+문제 아이디어는 작년에 논술 준비하며 봤던 어떤 문제로부터 얻었습니다! 다시 말해 온전히 제가 떠올린 것은 아니에요
[해설]
lim x->0인 상황에 대해 식 변형만 해볼게요! 핵심은 무리수 e의 정의를 활용하는 것과 초월함수의 극한을 활용하는 것입니다. 우선 '어떻게 무리수 e의 정의를 떠올리냐?'라는 질문에는 '지수함수 꼴 함수식에서 밑이 1로 수렴하고 지수가 무한대로 발산하는 것은 무리수 e를 정의할 때 사용하는 극한식과 같은 꼴이기 때문'이라는 답을 드릴 수 있습니다. 따라서 무리수 e의 정의식 (1+x)^(1/x)를 활용하기 위해 밑을 1+f(x) 꼴로 바라보고 지수에 1/f(x)꼴을 잡는 쪽으로 식을 변형해볼게요!
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)+2]/2]^[1/sin(2x)]
=[1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]*[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)]]
이제 e로 수렴하는 꼴이 나왔으니 지수식을 정리해주면 되는데 삼각함수와 지수함수가 있으므로 sin(x)/x와 (e^x-1)/x 꼴을 띄울 생각을 해볼 수 있습니다, 우리는 초월함수의 극한을 학습한 상태니까요! (함수의 극한에서 lim를 분배할 때 핵심이 내가 아는 극한으로 극한식을 구성하듯 나타내는 것이죠? 수렴하는 걸 알아야 lim를 극한의 성질에 따라 분배할 수 있으니까요!) 따라서 지수의 식을 변형해봅시다.
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)
=[x^2+9sin(2x)/x+[(e^x-1)/x-[e^(-x)-1]/x]/2]/[sin(2x)/x]
=[x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)]
이제 무리수 e의 정의와 초월함수의 극한을 활용하면 [1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2] 부분은 e로 수렴하고 [x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)] 부분은 19/2로 수렴함을 알 수 있습니다.
따라서 극한값은 e^(19/2), 답은 e^(19/2)
타이핑 했더니 문자들이랑 괄호가 좀 복잡해보이긴 하는데 '무리수 e의 정의'와 '초월함수의 극한'이라는 아이디어만 잡으면 다들 어렵지 않게 값을 구해내실 수 있을 겁니다. 초월함수의 극한 연습하기 좋은 문제라고 생각해요, 물론 식 자체가 복잡해서 수능에는 나오기 힘든 모양이라 생각하고 나와도 논술에 나올 만하지 않나 싶네요 ㅋㅋㅋ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
일란성쌍둥이면 1
대리수능 ㅆㄱㄴ아님? 감독관이 육안으로 대조하는거라 어지간히 비슷하게 생기면 안잡힐거같은데
-
도형에 약함..
-
알빠노
-
물리 0
서바 넘어려워ㅓㅓㅓㅓㅓ
-
이제 알 것 같네요 그냥 느리더라도 쎈B 수1,수2,미적 잡고 가자는 마음으로 풀고...
-
박력있네
-
학교가 돈이 짱 많다는건 들은거같은데
-
나일줄은 몰랐지..
-
어땠나요?? 전 1회보다는 확실히 나았던거 같아요 22번에 왜 발상이 시험 중엔...
-
무심코 cgv 홈페이지 들어가봤는데 가슴이 웅장해졌다 4
'그들'이 오는구나... 잇츠 봇치 타임
-
1. 되도록 사탐을 한다. 2. 과탐을 할거면 투과목은 선택하지 않는다. 3....
-
오늘같은 날 소주한잔하면 내년에 또해야 하는거겠죠? 0
수능아 기다려라
-
딴데는 다 난리구만
-
에이밍뭐하냐 2
아오 ㅋㅋ
-
딸배에 대해 사람으로써 할 짓이 아닌가?
-
서바시즌 어싸랑 25숏컷은 난이도가 어케됨? 체감상 어싸가 훨신 어려운거 같은데...
-
2년 전으로 설마…?
-
사탐을 한국사급 난이도로 포장하며 과탐하는걸 ㅂㅅ취급하는 카르텔 깔개유입을 유도하는 무서운사람임
-
역학은 기본으로 오래걸리고 전자기도 오래걸리고 반도체도 올래걸림 실모 푸는데...
-
제목:만렙 플레이어 먼치킨, 주인공이 고자가 아님
-
이화여대 초대 총장 김활란 할매. 1899~1980. 이화 학당으로 유명한 오늘의...
-
6평때 백분위 87 맞았는데 수학 실모를 연습한적이 거의 없어서 서바반 하나...
-
모고 형태 말고 단원별 n제면 더 좋을거같아영
-
이번6모도 그렇고 7모도 그렇고 접근 방식은 맞는데 계산실수땜에 안풀립니다 풀때...
-
학과 관심없고 스카이만 가면 장땡인데 국어수학하니까 힘들어서 탐구를 못하겠음 고공이...
-
어차피 50이라고 아ㅋㅋ
-
지구과학 질문 1
(가) A의 대류핵은 중심으로부터 동그라미 친부분까지인가요??
-
선택과목이 지금 화작 미적 세지 한지인데 희망하는 학교에서 과탐에 5%가산이...
-
ㅇㄷㄴㅂㅌ
-
신뢰성 없는것 같은데 걍 모든지문 다 보는게 낫겠지??
-
반수 선언한지 2달은 지난거 같은데… ㄹㅇ 내일부터 빡세게 해야겠다
-
물2 << 개념량이 많은가? x 지엽적인 문제가 나오는가? x 퍼즐형 문제가 있는가? x Goat
-
잔잔바리로 잽날리는 난도 문제를 10-15문제 모은다 그걸 한 시험지에 박는다...
-
그룸은 심상치가 않은데
-
생명과학 3년을 했는데도 수능가서 자신없음
-
ㅇㅇ
-
ㅋ ㅋㅋㅋㅋ
-
생명1-2학년 내신, 22, 23수능 응시. 화학1-2학년 내신, 1학기 하다가...
-
미적분으로 신청했는데 기하런 해서 그래도 돈 아까워서 국영만 보고 나오고싶은데 중도 포기 가능함?
-
룩백 9월 개봉 3
https://mobile.newsis.com/view/NISX20240718_000...
-
간쓸개로 그냥 익혀만두기? 아예 연계용 강의를 들으면서 알아두기? 씹갓이라 피지컬로...
-
성대 전전이랑 냥대 기계랑 비비네
-
Qna보다 터졋네
-
뭐지
-
다른 수학쌤 중 어느분이랑 스타일 비슷하신가요? 강의는 현우진 배성민 박종민 이정환...
-
경제학과나 컴공 중에서 생각중인 혀녀기입니다. 요즘 취업난이다 뭐다 하면서 걱정이...
-
서울대까지 무시하네 11
진심 개 웃기네 ㅋㅋㅋ
-
상경해서 다들 억양 고치는지 걍 놔두는지 궁금함 표준어랑 차이 가장 심한 말투라...
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/015.gif)
고급수학러들은 쌍곡함수 미적분까지 다 했죠고급수학러지만 행렬, 극좌표밖에 안 배웠습니다,,
그것은 고수1 고수2해서 해요 쌍곡함수는
고급수학 2도 있나요? 그건 몰랐네요 ㅋㅋㅋ
재미있네요! ^^ 혹시 답은 e^10 인가요? ~~
저는 e^(19/2)가 나왔던 것 같은데,, 다시 확인해보겠습니다!
끄악 죄송해요! 2분의 를 계산하는 걸 깜빡했어요! ㅠㅠ
앗 그럼 옳은 풀이 같네요 ㅋㅋㅋㅋ
다른분들도 풀어보실 수 있게 최대한 숨겨서 여쭤볼게용...
(e) ^ (0 + 9 + 1/2 - (-1/2))로 푸는 것 맞는지요?
네, 그 방식 맞습니다! e의 정의를 활용하기 위해 지수에 어떤 작업을 해주어야 하는지, 미적분에서 다루는 '초월함수의 극한'을 다루기 위해 지수에 만들어질 분수식의 분모 분자에 어떤 작업을 해주어야 하는지를 알아내어 적용하는 것이 출제 의도였습니다
좋은 문제 주셔서 감사합니다 선생님! ^_^
풀어주셔서 감사합니다!
그냥 로피탈 하니까 e^19/2나오긴하는데..대학가서 미분적분학 배웠더니 e정의를 까먹었어요...
e = lim x->0 (1+x)^(1/x)
= lim f(x)->0 [1+f(x)]^[1/f(x)]
아하 식변형 좀 하면 나오긴 하겠네요
교과서적 풀이가 중요한 문제라고 생각해서 오늘이나 내일 중 해설 남겨두겠습니다!