칼럼) 수열과 주기성

원래 좀 더 빨리 올리려했는데 이런저런일이 있어서 상당히 늦어지게 되었네요
최근엔 다시 의욕이 좀 살아나서 열심히 올려보려 합니다

슬슬 기출 한번 이상은 거의 돌리신 타이밍이실텐데
작년에 15번에 항상 위치했던 수열에선 항상 주기성이 토픽이였죠

그런데 제가 못찾은건지 이걸 묶어서 설명해주시는분들은 안계신거같아서 이번에 한번 묶어보았습니다

먼저 첫번째 문제부터 보면서 가볍게 시작해봅시다

단순히 이 문제를 처음 만났다면 어떻게 풀게 될까요? 일단 천천히 읽어보면서 사고의 흐름을 간단하게 정리해 봅시다.

 을 구하는건 그냥 더하고 나누거나, 아니면 나눠서 계산하면 되니 숫자만 잘 파악해주면 되겠다. 그리고  이 얼마인지 값을 정확히 알고 있으니 뭐 적당히 넣어서 계산해보면 되지 않을까?

그리고 밑에 문제에서 요구하는게 을 만족시키는  50이하의 모든 자연수  의 값의 합 이니까 하나하나 세거나 뭔가 규칙이 있지 않을지 한번 찾아봐야겠다.

그래서 일단 맨 처음에 하게 되는 행동은 그냥 숫자 대입해서 풀고 계산하게 될거에요.

그러므로 한번 나열해 봅시다.

이 3이라고 했으니 는 48이 될것이고 ...

이렇게 나열하다보면 어? 똑같은 값이 나왔네. 아 그러면 이거 문제에서 50이하의 모든 자연수란 값을 구하라는건 하나하나 다 하라는건 아니고 수열 이 주기가 5만큼의 규칙을 가지고 있으니 하나하나 세지 말고 계산해주면 되는거구나~ 할겁니다. 그래서 마저 세어 주면 자연수 k 는  1, 6, 11, 16, ..., 46 들이 되어주므로 

를 얻어 주게 되겠죠.

단원 자체는 ‘귀납적으로 정의된 수열’ 이기 때문에 대입후 나열을 통한 규칙 발견을 해주는건 매우 당연할 수도 있습니다. 하지만 귀납적을 연역적으로 바라봐 줄 수 있지 않을까요?

처음부터, 규칙을 발견할 수 있도록 다시 문제로 돌아가봅시다.

왜 하필 수열이 짝수일땐  로 나눠주고, 왜  이 홀수일 땐 93을 더해서 2로 나눠주는지에 집중해야 되겠죠.

결론부터 말하자면, 수열이 짝수라면 (소인수 중  2를 하나라도 가지고 있다면) 홀수가 될 때 까지  2를 나눠주는(소인수 중  가 없어질 때 까지) 과정을 거친다고 볼 수 있습니다. 

그렇게 홀수가 되고나면 다시 홀수가 되어준다면 다시  93이라는 홀수를 다시 더해서 짝수를 만들어 주는 것으로 알 수 있죠. 거기서부터 다시 2를 나누는 구조라고 볼 수 있겠네요.

그런데 이 문제같은 경우에는 좀 특수한 경우죠? 왜냐하면 단순히 93을 더하고 2로 다시 나눈다 해서 같은 수로 돌아온다는 보장이 없으니까요. 그래서 이라는게 어떤 의미를 가지는지 한번 각 수열들을 소인수분해 해서 분석해봅시다.

이렇게 적어놓고 보니 무슨말인지 아마 이해가 가실겁니다.

이였기 때문에 93 을 더하고 2 로 나누더라도 2가 아닌 소인수를  3만 가질 수 있었던 것이죠.

그리고 이렇게 분석했을 때

기 때문에 다시 3이라는 값을 얻으려면 4번을 더 가야하는 상황임을 알 수 있습니다. 따라서 주기가 5인 상황인거죠.

핵심은 수열을 대입후 나열을 통한 관찰이 아닌, 초기조건 분석에서부터 규칙성을 파악하여 주기성이 있는지, 없는지를 한번 알아보는 관점을 가져보자는 것입니다.

다음문제로 넘어가봅시다.

이문제가 어떻게 보면 작년 6월의 뼈대가 되는 문제라고 할 수 있을 것 같습니다.

물론 단순히 나열하다보면 문제 자체는 잘 풀립니다. 하지만, 역시 들고온 이유가 있겠죠.

이번엔 처음부터 규칙을 발견하려는 관점으로 접근해봅시다.

먼저 수열이 0보다 크거나 같으면 2를 빼주고 수열이 음수면 5를 더해줍니다. 간단히 요약해 보자면 양수일땐 자꾸 2를 빼다가 음수가 되어버리면  5를 더해준다고 보면 되겠죠. 그런데 여기서 우리가 주목해야 하는점은 빼주는값은 짝수고 더해주는 값은 홀수라는 점입니다. 왜냐하면, 이 케이스 때문에 주기성을 결정짓는 과정이 익숙하지 않은 사람한텐 더 햇갈리게 다가오거든요. 만약 둘 다 짝수끼리 빠지고 더해진다고 한번 가정해 볼게요.

이 된다고 한번 가정해 봅시다. 그러면 주기성을 매우 편하게 찾을 수 있을겁니다. 그러면 주기가 3인걸 알 수가 있겠죠? 왜냐면 3번의 과정을 거쳐서 서로 상쇄되는걸 알 수 있으니까? 단순히 머릿속에서 4번이라는걸 하나하나 숫자를 대입해서 계산을 했을 수도 있지만 왜 4번이 계산이 되었는지 근본적으로 분석을 해야 할 필요가 있습니다.

그런데 아무리 간단한 예시더라도 이 계산과정을 잘 기억해 주세요.

여기서 우리가 중요하게 생각해야 하는 의미는 -2만큼이 3번,  6만큼에 대한 연산이  1번 이루어 졌다는 겁니다. 이 3번과 1번이 더해져서 총 4번만큼 시행되었을 때 수열이 원래상태와 동일한 상태가 된다는 이 점이 되게 중요하다는 것이죠. 간단히 말하자면 서로 상쇄될 만큼의 횟수만큼 움직여야 한다는 것이고 좀 더 복잡하게 얘기하자면 서로의 최소공약수만큼 도달해야 하는 횟수만큼 움직여야 된다는 얘기입니다.

자 이제 다시 원래 수열로 돌아와 봅시다.

위의 계산을 보고 왔다면 아래에서 이런 생각을 떠올려 주는 것은 매우 자연스럽습니다.

아 그렇다면 -2 와  5가 서로 상쇄된다는 관점 혹은 -2 와 5 의 최소공약수의 관점에서 예기를 하자면 서로 공약수가 존재하지 않는 서로소이므로 각각 의 횟수만큼 가 준 만큼이 주기성이 나오겠죠?

즉 주기가 7 임을 예측해 볼 수 있습니다.그런데 중간에 이런 걱정이 한번 들 수 있어요.

“ 아니, 중간에 음수로 바뀌었다 양수로 바뀌었다 하는게 저 7번 안에서 2번정도 일어날 것 같은데 확실하게 주기성을 가지는게 맞나요? 뭔가 어긋나는게 아닐까요? 좀 걱정이 됩니다. ”

혹시 고등학교 1학년 2학기 경우의 수 파트에서 길찾기를 어떻게 계산하셨는지 기억이 나시나요?

예를 들어 아래와 같은 길이 있다고 가정해봅시다.

에서  로 가는 최단경로를 생각해봅시다. →가 5번, ↑가 2번 움직여야하죠?

그리고 최단경로로 가려면 어떤 순서로 가든, →가 5번, ↑가 2번 들어있으면 되지 않습니까 그죠? 수열의 주기성도 마찬가지입니다. 중간에 음수 양수 맞물려도 무조건 주기가  을 가질 수 밖에 없습니다. 어짜피 문제푸는 과정안에 들어있기도 하고, 한번 적당한 숫자들을 넣고 돌리면서 주기성을 가지는지 한번 실제로 관찰해 봅시다.

이라고 가정해봅시다.

중간에 음수, 양수가 맞물려도 주기성을 띄는 것을 알 수 있습니다. 그리고 정확하게 주기가 7을 띄는 것을 알 수 있죠.

그리고 저 주기안에서 2, 3, 4 전부 등장했으므로  이 2, 3, 4등의 숫자를 가지더라도 주기가 7을 띄는 것도 생각할 수 잇습니다. 그렇다면  이 5 이상의 숫자를 가지면 어떨까요? 시각적으로 쉽게 알아보자면 이런 구조를 띄게 됩니다.

즉, 주기 밖에 있는 상황(5 이상이거나 –2 이하거나) 에서부터 수열이 시작된다면 주기성을 띄는 영역에 도달할 때 까지 계속 한방향으로만 나아가게 되는 것이죠.

이 문제를 풀어보면 알겠지만 첫째항은 자연수고 15항을 음수로 만들어 주는 첫째항의 최솟값을 찾아야 할텐데 위에서부터 내려오자면 수열은 주기 안에서 -1이라는 음수의 값을 가지므로 15항이 -1이면 되겠죠.

즉, 위의 문제를 통해서 우리가 이해해야 할 부분은 수열의 부호에 따라 더하거나 뺄 때는 서로가 상쇄될 만큼의(최소공배수가 되어주는 만큼) 의 연산이 필요하다는 것 + 주기성 영역 밖에 있을때는 주기성 안에 들어갈 때 까지의 연산이 이루어진다는 점입니다.

자 이 내용을 바탕으로 220615를 한번 같이 또 봅시다.

아까와 상황이 거의 유사함을 알 수 있습니다. 다만 뒤에 더하고 빠지는 부분만큼이 미지수라는 것이 난이도를 올린 요소가 되어줄 수 있겠네요. 그나마 다행인 점은 이번엔  첫째항을 알고 있기 때문에 역추적이 들어가진 않는다는 점이겠죠.

문제상황에서 집중할 포인트는 두 개입니다.

사실 1번이야 뭐 앞에서부터 분석해 왔으니 이젠 어느정도 눈에 익으리라 생각합니다.

하지만 그 다음 2번이 문제겠죠. 우리가 흔히 생각해왔던 주기함수에서부터 이 표현을 한번 가져와 보겠습니다.

이 상황을 이해할 때, 우리는 보통 k가 주기라고 생각을 합니다. 맞는 말입니다만 우리가 원하는건 사실 최소단위의 주기 아닙니까? 예를 들어 y=sinx를 예시로 들어 이해해보자면 주기가 2pi라고 생각하지 4pi, 6pi 라고 생각하진 않으니까요. 

즉 방금 예시로 든 상황에서도 우리는 k가 정수라는 조건만 있고 이를 만족시키는 최소의 정수라는 말이 없으면 이 정수의 약수 또한 주기가 되어줄 수 있다는 의심을 해 볼 수 있어야 된다는 뜻입니다.

즉 이 문제에서  고 하는건 주기가 단순히 21임이 아닌, 21 혹은 그 약수가 될 수 있다는 점을 생각해 봐야 된다는 점이겠죠. 그렇다면 주기가 될 수 있는 후보는 1, 3, 7, 21입니다. 

1. 주기가 1일 때

당연히 말이 안되겠죠. k 는 자연수인데 이나 은 0이 될 수 없으니까요.

2. 주기가 3, 7, 21일 때

여기서 이제 생각을 해봅시다. 위에서 얻은 주기의 아이디어는 서로 상쇄될 만큼(최소공배수)가 핵심이였죠.
 그래서 각각 표현을 해 봅시다. 다만 뒤에 더해지거나 빠지는 숫자들이 미지수이므로 각각의 횟수 또한 미지수여야 겠죠.

그런데 여기 우리가 분모로 표현되어있는건 불편하니까 통분 겸 계산을 정리해봅시다.

그리고 여기서 m+n 은 21의 약수가 되어줄거구요

여기서 케이스를 나눠서 문자에 대해 정리 후 해결도 가능할겁니다

 두 문자만 남을테고 이를 통해 간단한 계산이 이루어지겠죠. 하지만 좀 더 근본적으로 정리를 해 봅시다.

(여기는 수식 다 옮기기 너무 빡세서 그냥 사진대체할게요 ㅠㅠ)

이제 수열에서 주기성이 어떤 의미인지 조금 더 와닿으셨으면 좋겠습니다.

그리고 발견하려고 노력하는 것이 시간단축을 더 만들어 준다는 것 또한 말이죠.

하지만 항상 문제가 이런식으로 나오진 않을테니, 다른문제들을 통해서 주기성을 관찰해봅시다.

작년 9평 문제인 230815(230915)입니다. 왜 얘가 주기성이 나타나냐고 물으시겠죠? 그런데 문제가 요구하는 바가 ‘  이하의 자연수  의 개수’입니다. 물론 수열문제니까 규칙에 의해서 답을 내는건 당연하겠죠. 하지만 다른 조건들을 읽어보면서 사고의 흐름을 정리해봅시다.

(가) 조건에서 수열이 네 번째 항마다 등비수열을 이룬다고 합니다. 그리고 등비 r의 범위가 0< |r| <1이라 합니다.

특히, 첫째항 조차 r 이기 때문에 임을 알 수 있을거구요

그리고 (나) 조건에서 수열의 특성을 살펴보면

열의 절댓값이 5보다 작으면 3을 더해주고 5보다 커지면 -(1/2)를 곱해 주고 있습니다. 빼는 꼴이 아니라 곱하는꼴이라 좀 와닿지 않으실 수도 있는데 적당히 이해해 봅시다. 3을 자꾸 더해주면 반드시 5보다는 커지겠죠. 이때 -(1/2)를 곱해서 다시 절댓값이 5 사이로 집어넣는 구조인데, 혹시 아까의 문제와 비슷함이 느껴지시나요?

즉, 영역 밖에 있으면 다시 집어넣어주는 역할이 계속 반복됨을 알 수 있는거죠. 아,이므로 완벽하게 

주기성을 띄진 않지만 주기성이 비슷하게 반복됨을 알 수 있는 것입니다. 

사실 이런 관점은 6월에서 주기성을 테마로 뒀는데, 9월에도 15번에 수열을 준다면 한번쯤 의심해 봐야하지 않을까? 하는 의심에서부터 출발해야 가질 수 있는 생각이라고 생각합니다. 자 그렇다면, 이제는 좀 더 확실해졌습니다

6월 15번 수열 : 주기성을 띔

9월 15번 수열 : 사실상 주기성을 띔

그렇다면, 높은확률로 수능 15번도 수열이라면 주기성을 띄진 않을까? 라고 의심해보는 것은 당연합니다. 한번 봅시다.

이번 케이스는 수열이 3의 배수인 경우와 아닌경우로 나누어지고 있습니다.

당연히 처음부터 접근하긴 힘들겠죠. 심지어 주어진 (가)의 조건인 a_7 도3의 배수가 아니니까요. 그래서 오히려,  이 a_{n+1} 3의 배수일 때부터 일반화 시켜서 접근해봅시다.

(여기서 주의할 점은  k는 3의 배수가 아니라고 가정해야 합니다. 왜냐하면 분류되는 케이스가 너무 많을테니까요)

정확하게 수열이 5의 주기를 가지는 것을 알 수 있습니다.

자 이제 이렇게 알아낸 결과를 문제풀이에 어떻게 적용을 시킬것인지, 마저 접근해봅시다.

a_7=40 이라 했으니 

저기서 가질 수 있는 케이스를 분류해봅시다.

다음번에도 유의미한 칼럼으로 찾아뵙겠습니다