2차원 운동 (ft. 2211미적27, 1706가29)

*수학 전공도, 물리학 전공도 아니기에 잘못된 설명이 있을 수 있습니다. 경제학 전공이긴 하지만 이렇게 설명했을 때 수능을 준비하시는 분들이 충분히 이해하실 수 있을 것 같아 글을 작성합니다.

[목차]

i) 미분(differentiation)을 통한 도함수(derivative)

ii) 물리량으로서의 스칼라와 벡터, 그 중 벡터에 대하여 (위치벡터)

iii) 1차원 운동에서의 위치, 속도, 가속도

iv) 2차원 운동에서의 위치, 속도, 가속도

iv-2) 다변수함수와 벡터치함수의 미분

v) 마무리 (ft. 2211미적27)

i) 미분(differentiation)을 통한 도함수(derivative)

수학2를 공부하다 보면 '미분을 왜 공부하지?' 싶은 생각이 들 때가 있습니다. (없으면 말고요)

우리는 미분(differentiation)을 통해 미분(differential)과 도함수(derivative)를 구할 수 있는데 고등학교 교육과정에서 우리는 주로 도함수(derivative)만을 다룰 것입니다. 미분(differential)은 대학 가서 미적분학(calculus)이나 선형대수학(linear algebra) 공부하시면 배울 수 있어요.

이때 함수 f(x)의 도함수 f'(x)는 우리가 x=a에서의 미분계수 f'(a)를 정의역 내의 모든 미분가능한 곳에서 일반화한 개념이라 생각할 수 있죠. 미분계수, 다시 말해 순간변화율은 우리가 '평균변화율의 극한'으로서 정의했으니 결국 도함수는 변화에 관련되어있다고 말할 수 있습니다.

그래서 미분(differentiation)을 통한 도함수(derivative)를 공부했으면 이걸 단순히 수식 계산에만 사용하는 것이 아니라 실제 자연이나 사회에서 변화하는 어떤 대상에 초점을 맞출 생각을 해볼 수 있는데 대표적으로 물체의 운동, 한계비용과 같은 것이 있을 것입니다. 현 교육과정에서는 대표적인 물체의 운동을 다룹니다. 그런데 단순히 위치 미분하면 속도고 뭐 이런 거 기억하는 것은 본질적이지 않아서 과학탐구에 물리학1의 기본적인 내용과 선택과목 기하에 위치벡터의 기본적인 내용을 소개해보고자 합니다.

ii) 물리량으로서의 스칼라와 벡터, 그 중 벡터에 대하여 (위치벡터)

먼저 물리는 물리량을 다루는 과목이라 생각해도 무방한데 (전공자는 아니니 대충 설명합니다) 네이버에 따르면 물리량의 정의가 아래와 같습니다.

물리량은 크게 두 종류로 나뉘는데 크기와 방향을 갖는 '벡터'와 크기만을 갖는 '스칼라'가 그 종류입니다. 벡터에는 대표적으로 위치(position), 변위(displacement), 속도(velocity), 가속도(acceleration), 힘(force) 등이 속하고 스칼라에는 이동거리(distance). 시간(time), 속력(speed), 일(work), 에너지(energy), 가속도의 크기 등이 속합니다.

우리가 수학2나 미적분에서 다루는 벡터로는 위치, 변위, 속도, 가속도가 있고 스칼라로는 이동거리, 시간, 속력, 가속도의 크기가 있습니다. 간단히 설명할 때 위치는 어떤 기준으로부터 물체가 어디있는지를 나타내는 것이고, 변위는 물체의 위치가 변화했을 때 마지막 위치와 처음 위치의 차이이고, 속도는 위치의 변화율이며, 가속도는 속도의 변화율입니다. 이동거리는 말 그대로 물체의 위치가 변화했을 때 처음 위치부터 마지막 위치로의 경로를 따라 물체가 이동한 거리이고, 시간은 우리가 물리를 다룰 때 대표적으로 맞이할 독립변수이고 속력은 속도의 크기이며 가속도의 크기는 말 그대로 가속도의 크기를 나타냅니다. 이때 속도와 가속도는 벡터이기 때문에 아래에서 벡터의 크기를 해당 벡터를 나타내는 시점과 종점 사이의 길이 혹은 거리로 정의함을 학습하고 나서 더 설명하겠습니다.

스칼라는 우리가 '실수값을 지닐 무언가' 정도로 이해해볼 수 있는데 벡터는 방향도 나타내어야하니 추가적인 표기가 필요하겠죠? 그래서 앞으로 점 A에서 점 B를 향하는 벡터를 우리는 아래와 같이 표기합니다.

화살표가 조금 짧은 감이 있는데 더 길게 표기하셔도 됩니다. 이때 점 A를 시점 (initial point), B를 종점 (terminal point)이라고 합시다. 벡터는 어떤 점을 기준으로 시점, 종점의 위치 자체는 큰 상관이 없고 방향과 크기만 같으면 시점과 종점이 어디있든 같은 벡터로 이야기합니다. 이때 위 AB벡터의 크기는 선분 AB의 길이로 정의합니다.

이제 벡터를 좌표 평면으로 가져와봅시다. 점 A(3, 5) 와 점 B(-2, -3)이 있을 때 우리는 AB벡터를 종점의 좌표에서 시점의 좌표를 뺀 것으로 나타냅니다. 그럼 AB벡터는 (-2-3, -3-5)=(-5, -8)로 나타낼 수 있겠죠! 이때 우리가 기준을 원점으로 잡는다면 좌표 평면 상의 점 (-5, -8) 을 하나의 벡터로 생각해볼 수 있을 것입니다. 어차피 점 C(2, 4)와 점 D(-3, -4)에 있어 CD벡터도 (-5, -8)로 나타낼 수 있기 때문에 앞으로 우리는 원점 O와 점 P(-5, -8)에 대해 벡터AB나 벡터CD와 같은 것을 아래와 같이 표기할 수 있을 것입니다. 이처럼 한 점과 벡터를 1:1 대응함을 우리는 위치벡터를 활용해 할 수 있습니다.

iii) 1차원 운동에서의 위치, 속도, 가속도

자, 물리량에 벡터와 스칼라가 있고 벡터는 좌표 평면 위의 한 점과 일대일대응하여 위치벡터라 부를 수 있음까지 확인했습니다. 이제 이를 수학2에서 학습하는 1차원 운동에 적용해봅시다.

위치는 우리가 주로 아래와 같이 표현합니다. 이때 보통 우리가 수학에서 함수를 다룰 때 독립변수를 x, 종속변수를 y로 표현하는 것처럼 물리에서는 독립변수를 t(time, 시간)으로 잡습니다.

속도는 위치의 변화율인데, 평균 속도는 아래와 같이 잡습니다.

참고로 여기서 분자에 x(a)-x(b)는 위치(position)의 변화량으로 변위(displacement)라 합니다.

이것은 평균변화율의 꼴이죠? 그래서 lim를 한 번 걸어보면 함수 x(t)의 미분계수로서 v(t) 값을 찾을 수 있고 (순간 속도)

이를 일반화한 도함수를 우리가 속도 함수라 부릅시다.

마찬가지 방식으로 가속도는 속도의 변화율이니 아래와 같이 생각해볼 수 있고

lim를 걸어보면 우리는 가속도 함수를 얻습니다. 

일반화하면 아래와 같습니다.

앞서 학습한 벡터의 표기를 빌리면 우리는 각각을 이렇게 표현할 수 있고

그럼 속력은 이렇게 정의해볼 수 있고

가속도의 크기는 이렇게 될 것입니다.

또한 이동거리는 이렇게 됩니다.

iv) 2차원 운동에서의 위치, 속도, 가속도

이제 같은 것을 2차원 운동에 다뤄볼 것인데 벡터임을 명확히 드러내기 위해 벡터 표기를 써봅시다.

어라 근데 우리는 1차원 운동에서처럼 x(t)=t^4-3t^2+7처럼 표현되는 함수는 미분 배웠으니 할 줄 아는데 벡터 미분은 안 배웠습니다. 어떻게 하는지 간단히 알아보기 위해 다변수함수와 벡터치함수에 대해 조금 알아봅시다.

iv-2) 다변수함수와 벡터치함수의 미분

우리는 독립변수가 1개, 종속변수가 1개인 상황을 주로 다룹니다. 즉, y=f(x) 같은 거죠. x 대입하면 y 나오는. 그런데 함수는 대응 관계이기 때문에 꼭 독립변수나 종속변수가 1개씩일 필요는 없습니다.

독립변수가 n개, 종속변수가 1개인 대응관계를 우리는 다변수함수라 부르고 아래처럼 나타냅니다.

이에 대한 미분은 우리가 아래처럼 생각합니다. 이걸 편미분이라 부르기도 합니다.

반대로 독립변수가 1개, 종속 변수가 n개인 대응 관계를 우리는 벡터치함수라 부르고 벡터를 활용해 아래처럼 나타냅니다.

이에 대한 미분은 우리가 아래처럼 생각합니다.

자 그럼 2차원 운동은 우리가 아래와 같이 표기해볼 수 있으니까

이는 독립변수가 t 1개이고 종속변수가 2개인 벡터치함수로 생각해볼 수 있겠죠? 그래서 우리가 방금 학습한 내용을 토대로

임을 생각해볼 수 있고 이에 따라 우리가 앞서 벡터의 크기를 해당 벡터의 길이로 정의했기 때문에 속력과 가속도의 크기는 아래와 같이 정의할 수 있겠습니다.

v) 마무리 (ft. 2211미적27)

지금까지 배운 내용을 바탕으로 2차원 운동 대표 평가원 기출 문항을 해석해봅시다. (tmi지만 제가 현역 때 현장에서 풀었던 문제입니다 ㅎㅎ 한동안 곡선의 길이 유형이 출제되지 않았어서인지 생각보다 저거 틀린 친구들이 많았던 것으로 기억합니다. 물론 재수해서 다 연고대는 가더라구요)

우선 점 P의 위치가 저 두 곡선의 교점의 중점이라 하니 교점을 생각해보기 위해 아래의 방정식을 풀어봅시다.

x에 대한 이차방정식이니 근을 alpha, beta라 할 때 점 P의 위치의 x성분은 (alpha+beta)/2가 될 것이고 y성분은 [(alpha)^2+(beta)^2]/2가 될 것입니다.

alpha+beta=t^2이고 alpha*beta=lnt/8이니 곱셈공식에 의해 점 P의 위치의 y성분은 아래와 같을 것입니다.

그럼 점 P의 위치벡터는 아래와 같겠죠!

이제 움직인 거리, 다시 말해 이동거리(distance)를 구하기 위해 아래 과정을 거쳐볼 것인데

그럼 점 P의 속도벡터는 아래와 같을 것입니다.

그럼 점 P의 속력은 아래와 같을 것이고

점 P의 t=1에서 t=e까지의 이동거리는 아래가 될 것입니다.

계산해보면 답은 1번이 되겠네요! 하나만 더 해봅시다.

점 P의 위치벡터, 속도벡터는 다음과 같겠습니다.

그럼 속력과 이동거리는 다음이 되겠죠!