영의 정리 a.k.a. 역함수 적분 (ft. 2211미적30, 22예시미적29)

역함수를 이용한 치환적분법이나 역함수 관련 적분 문항이 나오면 주로 그림을 그려 설명하시더라고요.

역함수가 정의되려면 원래 함수가 일대일대응이어야하고 그럼 연속함수라면 증가함수 아님 감소함수니까 대충 곡선을 그리는 방식으로요!

그런데 저는 그렇게 그림을 그리는 것이 엄밀하지 않다고 느꼈고 역함수 문항이 출제되면 주로 아래 식을 떠올립니다.

함수 g(x)가 f(x)의 역함수일 때 다음이 성립한다. (a.k.a. 영의 정리)

증명은 별 거 없습니다. 역함수가 보이니 역함수를 이용한 치환적분을 걸어주면 되겠죠. 

이렇게 바라봐주면 치환적분법에 의해

가 되고 여기서 부분적분법 걸어주면

가 되어 

가 되니 증명 가능하죠.

자 이제 이를 활용해 문제를 몇 개 풀어봅시다!

구해야하는 값을 보면 부분적분을 통해 아래의 값으로 이해할 수 있습니다.

(가) 조건의 f(1)=1과 (나) 조건을 통해 g(2)=2f(1)=2이니 역함수의 정의에 따라 f(2)=2

g(4)=2f(2)=4이니 역함수의 정의에 따라 f(4)=4

g(8)=2f(4)=8이니 역함수의 정의에 따라 f(8)=8임을 알 수 있습니다.

그럼 8f(8)-1f(1)의 값은 8*8-1*1=63이 될 것입니다.

또한 (나) 조건을 통해 닫힌 구간 [1, 2]에서의 f(x) 정보를 통해 구간 [2, 4]에서의 g(x) 정보를 얻을 수 있고

마찬가지 방식으로 구간 [2, 4]에서의 f(x) 정보를 통해 구간 [4, 8]에서의 g(x) 정보를 얻을 수 있을 것임을 파악 가능합니다.

그럼 주어진 항등식의 양변에 적분을 씌워주면

에서 아래와 같은 치환적분을 통해

다음의 정보를 얻을 수 있습니다.

이제 영의 정리를 통해

로부터

임을 알 수 있습니다. 그럼 다음의 정보를 얻을 수 있습니다.

같은 방식으로 순차적으로 다음의 정보들을 얻을 수 있습니다.

그럼 

를 통해 적분값도 알 수 있으니 (계산해보시면 28.25 나옵니다)

최종적으로 구하고자 하는 값은 63-28.25=34.75, 답은 139/4로 143이 될 것입니다.

하나 더 해봅시다!

이건 우선 정적분으로 정의된 함수이니 대입하고 미분해주면 다음을 얻을 수 있습니다.

f(x)식이 주어졌으니 alpha값에 대해 생각해보면 f(x)가 증가함수라 F'(x)의 부호는 양수에서 방정식 f(x)=t의 근일 때를 지나면 음수가 될 것입니다.

다시 말해 함수 F(x)는 방정식 f(x)=t의 근일 때 극대일 것이고 그래프 개형 생각해보면 최대일 것이니 alpha값은 방정식 f(x)=t 근과 같겠습니다.

이때 t가 변함에 따라 alpha값도 변할테니 문제에 명시된 대로 alpha는 t에 대한 함수, g(t)라 표현해볼 수 있을 것입니다.

그럼 다음의 상황이 되는 셈인데.. 이거 역함수 감성입니다.

이제 구하고자 하는 적분값에서 아래 치환을 해주면

아래처럼 되어 값을 구할 수 있습니다.

만약 적분에 들어간 식이 단순히 g(t)였다면 영의 정리를 바로 적용하여

로부터 적분값을 쉽게 구할 수도 있었겠죠! f(x)는 바로 적분할 수 있으니까요

p.s. 2022학년도 수능 미적분 30번 설명할 때 (나) 조건에 다음과 같은 정보를

수학(하)에서 학습했던 합성함수, 역함수를 떠올리면 더 쉽게 해석할 수 있다 하더라구요?

그런데 저는 잘 모르기 때문에.. 이에 대한 설명은 나중에 공부해와서 다시 남겨보도록 하겠습니다.

(아시는 분 댓글에 설명 부탁)