이 모든 것을 한 번에 복습: 치환적분법, 부분적분법, 부분분수, 삼각함수 관계식 활용, A=B-A꼴

직접 계산해보시고 아래를 읽어주세요!

먼저 삼각함수 미분 공식 중에 우리 이거 알고 있습니다.

써주기 위해 적분식을 이렇게 바라봐봅시다.

그럼 부분적분법에 의해 이렇게 됩니다.

그리고 우리 삼각함수 관계식 알고 있습니다.

사용해주면 식을 이렇게 바꿀 수 있을 것입니다.

우변에 구하고자 하는 부정적분이 생겼으니 이항해줍시다.

이제 저 sec(x)만 적분해주면 되는데... 두 가지 방법이 떠오릅니다.

이렇게 바라보면 분모 분자에 cos(x)를 곱하고 싶을 수 있습니다.

그럼 다음과 같은 치환적분을 떠올릴 수 있습니다.

그럼 적분식을 아래와 같이 바꿀 수 있습니다.

이때 분모에 1-u^2이 (1+u)(1-u)로 인수분해 되니까 분수의 통분을 생각해볼 수 있습니다.

이렇게 잡아놓고 식을 정리해주면

A+B=1/2이고 -A+B=0이어야 하므로 A=B=1/2가 될 것임을 알 수 있습니다. 그럼 적분식은 아래와 같이 변합니다.

이제 1+u=p, 1-u=q로 각각 치환하여 적분해주면

구하고자 하는 것은 아래의 절반이 됩니다.

따라서 최종 적분값은 아래가 될 것입니다.

혹은 발상적이지만 조금 더 단순하게 sec(x) 적분을 처리할 수도 있습니다. 분모 분자에 sec(x)+tan(x)를 곱해주면

분모를 미분한 값이 분자가 됨을 확인할 수 있습니다. 즉, 다음과 같은 꼴이므로

이렇게 적분을 처리할 수 있습니다.

그럼 최종 적분값은 이렇게 될 것입니다.

우리는 함수 [sec(x)]^3의 적분을 하는 동안 다음을 복습할 수 있었습니다.

치환적분법

부분적분법

부분분수

삼각함수 관계식 활용

A=B-A 꼴에서 2A=B

마지막으로 치환적분할 때 '이 정도는 바로 보이면 바로 가자' 싶은 식을 몇 개 남겨두겠습니다.

확장하면 이런 느낌일 것입니다.

혹은 정적분으로 정의된 함수와 부분적분을 살짝 섞으면 이런 생각도 가능하겠죠!

그럼 정리하면 아래와 같을 것입니다.

비슷한 맥락에서 아래까지만 기억해두시면 충분하겠습니다!

뭐 얘도 일부러 확장해보면 이렇게 생각할 수도 있겠죠.

이제 끝!

p.s. [sec(x)]^3 적분은 제가 고등학교 3학년 때 참 좋아하던 것인데 아침마다 공부하기 싫으면 저렇게 한 번씩 A4 용지 꽉곽 채우고 공부 시작했던 것 같네요. 그럼 손 움직이며 필기하는 맛도 있고 적분법 복습하는 맛도 있으니 ㅎㅎ