2023학년도 6월 22번 논리적 풀이

함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0에서도 연속일 것입니다. f(x)도 연속함수이니 그럼 다음이 성립합니다.

이제 저 극한을 해석해줘야하는데 우선 (분모)->0일 때 t=-3, t=6일 때가 아니면 수렴하니 (분자)->0이어야 겠습니다. 그럼 g(-3)=0임을 알 수 있습니다. (근데 g(x) 정의된 것 보면 당연하긴 하죠)

이제 극한이 부정형이고 분자에 루트와 -가 있으니 유리화를 해봅시다.

한결 편한 형태가 되었네요. 이때 x->-3인 상황이므로 g(x)는 x<0의 형태를 가져와야합니다.

자 그럼 ㅣabㅣ=ㅣaㅣ*ㅣbㅣ임을 활용해주면

가 되겠습니다. ㅣx+3ㅣ을 편하게 생각하기 위해 이제 우극한, 좌극한 따로 생각해봅시다.

이때 (분모)->0인데 (분자)->0이 아니면 발산하니 f(-3)=0일 것입니다. (f(x)는 연속함수)

이때 f(x)가 최고차항의 계수가 1인 이차함수이니 다음과 같이 식을 작성할 수 있습니다.

그럼 이 형태를 다시 집어넣어 정리해주면

분모가 0이 아닐 때 다음으로 수렴할 것입니다.

또 좌극한도 마찬가지로 생각해주면

그럼 g(t)가 0이 아니면 극한이 수렴함을 알 수 있습니다.

이어서 극한이 존재하지 않는 상황은 g(t)=0인 상황과도 같음을 알 수 있습니다.

따라서 극한이 존재하지 않을 때의 t값이 -3과 6이라는 것은 다음을 의미합니다.

동시에 이외에는 방정식 g(x)=0의 근이 없음을 의미합니다.

g(-3)=0은 자명하고 우리가 얻은 것은 g(6)=0입니다. 그럼

이때 a는 양수이기에 f(6-b)=0임을 알 수 있습니다. 그럼 6-b=-3 or 6-b=k 이므로 b=9 or b=6-k 입니다.

그런데 만약 b=6-k라면 f(x-b)=f(x+k-6)=(x+k-3)(x-6). 

이때 방정식 g(x)=0은 x<0에서 -3, k를 근으로 갖고 x>=0에서 3-k, 6을 근올 갖습니다.

-3과 3-k가 일치하거나 6과 k가 일치할 때는 k=6인 상황이므로 b=0이 되어 b>3 조건에 모순입니다.

k와 3-k가 일치할 때는 k=3/2인 상황이므로 방정식 g(x)=0이 x>=0에서 3/2를 근으로 가져 모순입니다.

k와 -3이 일치하고 3-k와 6이 일치할 때, k=-3일 때는 상황이 성립하며 b=9입니다.

따라서 b=9 확정입니다. (b=6-k일 때 가능한 조합이며, b=9일 때와 같은 상황이니)

그럼 다시 돌아와 f(x-b)=f(x-9)=(x-6)(x-k-9) 입니다.

이때 방정식 g(x)=0은 x<0에서 -3, k를 근으로 갖고 x>=0에서 6, k+9를 근으로 갖습니다.

-3과 k+9가 일치하거나 k와 6이 일치할 때는 각각 -12, 15라는 근이 생기므로 안되고

-3과 k가 일치하고 6과 k+9가 일치하는, 즉 k=-3일 때가 적절하겠습니다.

이제 f(x) 결정됩니다.

g(x) 연속 조건으로부터 처음 얻었던 정보에 b=9를 활용해주면

 f(0)=9이고 f(-9)=36이므로 a=3/4가 될 것입니다.

이제 답 구해주면 끝입니다.