사관학교 1차시험은 평가원을 따른다 (ft. 22사관미적29 논리적풀이, 절댓값 함수, 치환적분법)

[2022학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 미적분 29번] 문항입니다. 

g(x)가 정적분으로 정의되었으니 대입하고 미분해볼 생각을 할 수 있습니다. 다음과 같습니다.

절댓값이 떴으니 f(t)sin(t)=0일 때로 기준을 나누어 구간 별로 작성해주는 것이 우리에게 편할텐데... (가) 조건을 활용할 수 있겠네요!

이제 (나) 조건을 보면 다음을 의미하고 있음을 확인 가능합니다.

g(0)-g(-1)=2, g(1)-g(0)=3 정도의 정보로 바라볼 수 있을 것이고 g(-1)=0을 알고 있으니 g(0)=2, g(1)=5가 될 것입니다.

이제 우리가 구해야하는 값을 봅시다.

어떻게 해야할지 막막합니다. 일단 우리는 f(x), g(x) 얘네는 봤어도 f(-x), g(-x)는 얘네는 못봤으니 -x를 치환해볼 생각을 할 수 있습니다. 마침 sin(-x)=-sin(x)로 단순화되니 -x=y로 치환해봅시다.

자 이제 우리는 곱형태의 함수를 적분해야하니... 부분적분법 아니면 치환적분법을 떠올릴 수 있을 것입니다. (적분에서 x와 y는 dummy variable이니 그냥 바로 x로 바꾸었습니다, 헷갈리시는 분들은 차근차근 해보시면 금방 이해하실 수 있을 거예요!)

그런데 잘 보고 있자니 g'(x)=ㅣf(x)*sin(x)ㅣ였습니다. 그리고 이거 구간 별로 나누면 g'(x)~f(x)*sin(x) 느낌이었으니 치환적분법을 시도해볼 수 있을 것 같습니다.

여기서 우리가 다음을 알기 때문에 각 구간에서 치환적분을 해주면

다음과 같겠습니다.

그럼 적분값은 17/2이니 답은 19가 되겠습니다.

그런데 이렇게 구간 별로 치환적분 하는 거 평가원 기출 문항에서 우리 학습했습니다.

2017학년도 수능 가형 21번입니다. 이 문항도 F(x)가 정적분으로 정의된 함수이기에 다음을 얻을 수 있고

f(x)가 증가함수기에 F'(x)=ㅣf'(x)ㅣ=0 이 되는 x값만 c라고 대충 정해준다면 다음과 같이 해결할 수 있습니다. (자세한 풀이는 직접 해보시길)

F(0)=0이고 F(1)값과 F(c)값은 주어진 f(x)의 정적분값을 활용해 처리할 수 있겠습니다.

직접 두 문항 풀어보시면 완전히 본질적으로 같은 문항이라는 느낌이 오실 거예요.

구간 별로 절댓값 씌인 함수를 쪼개어 치환적분을 건다는 점에서요~

p.s. 이처럼 교육청/사관학교 기출 문항은 평가원 기출 문항을 충실히 학습한 이라면 현장에서 충분히 80점 이상을 받아낼 확률이 큽니다. 물론 가끔 가다 어렵게 출제되면 그것은 다른 이야기이지만... 그래서 지난 3월 출제된 2023학년도 고3 3월 교육청 모이ㅡ고사도 평가원 기출 문항만 제대로 학습했다면 크게 발상적인 문항 없이 현장에서 모두 잘 해결되었어야한다는 생각이 들었습니다. 물론 원래 할 수 있는데 현장에서 떠올리지 못했다면 그건 그거대로 사고과정 정리와 필연성 부여를 통해 행동영역을 다듬을 필요가 있겠지만요!