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올라가라
글쓴이의 안목이 글에서 느껴집니다.
감사합니다 ^^
오랜만에 수능 수학 관련한 유익한 글 정말 잘 읽었습니다! 아래는 읽으며 들었던 생각들인데 심심하실 때 읽어보시면 재밌지 않을까 싶습니다 (아니라면 죄송합니다 ㅋㅋ)
기출 문제를 공부하는 데에서 얻을 수 있는 '확장성'에 대해 언급하신 부분에서 지금은 오르비에서 활동을 하진 않았지만 과거에 기출 관련한 유익한 글을 많이 남기셨던 evolved slave II 님이 떠올랐습니다. 문제가 될 만한 사건 때문에 오르비를 탈퇴하신 것으로 알지만... 남기셨던 글만큼은 지금도 가치있는 것들이 많다고 생각하기 때문에 시간 되실 때 구글링 해 확인해보시면 재밌으시지 않을까 하는 생각이 들어요
1711나30은 직접 식을 계산해서 g(x)=A or g(x)=B 꼴로 나타낸다는 점에서 231122와 연관이 있다고 보기는 어렵지 않나 하는 개인적인 생각이 있습니다. 그나마의 공통점이면 '합성함수 형태가 제시되었다'인데 231122는 직접 계산하여 정보를 파악하기보다는 평균값 정리를 떠올리거나 어느 정도의 직관을 이용해 g(x)가 평균값 정리를 만족시키는 x값이 됨을 확인했어야 하니까요. 물론 f'에 g를 합성한 함수가 등장했다는 점에서 1711나30을 깊게 고민한 사람과 그렇지 않은 사람 간의 '첫인상에서의 위압감 차이'가 존재했을 수밖에 없다고 생각합니다! (적고 나니 글쓴이 님과 같은 생각을 했던 것 같기도 하네요)
1711나30과 221112의 연관성을 언급하신 부분 인상적이네요..! 전 여태 발견하지 못하고 있었습니다. 다만 1711나30에서는 g에 관한 이차방정식을 제시한 반면 221112에서는 f에 관한 삼차방정식을 제시했기 때문에 '221122는 1번으로 풒 길이 없기 때문에 2번으로 풀어야 한다'라는 설명은 불필요하지 않나 싶습니다.
221112에서 1번이 안 되니 2번으로 풀어야 한다는 얘기는 사실
a^m=b^n
과 같은 꼴로 변형하여 풀어나가는 것이 가능하고 편리한 방향으로도 얼마든지 출제가 가능하기 때문이었는데, 오히려 제 설명이 불충분했기 때문인 것 같습니다.
아하 4x^2-4x=g^2-2g에서 4(x-0.5)^2=(g-1)^2로 바꾸어 2(x-0.5)=g-1 or -2(x-0.5)=g-1 활용하는 감성 말씀하신 거였군요! 그럼 저렇게 표현하는 것이 어떤 느낌을 의도하신 것인지 더 잘 다가옵니다, 감사해요
1711나30에서 221112를 바라보신 부분 정말 인상적이었어요, 저도 수능 수학 공부에 있어서 평가원 기출 분석을 중시하는 사람이라 그런지 글 정말 재밌게 잘 읽었습니다!
논의 즐거웠습니다
좋은 밤 되세요!
수식적 풀이가 유일하게 수학적으로 엄밀하고 정확한 풀이는 아니라고 생각합니다. 수학은 결국 직관의 학문이고 대부분의 수학적 발견들이 직관에서 시작해 논리로 마무리되었을 뿐입니다. 엄밀하고 정확하다는 표현에만 초점을 두면 수식적인 풀이만이 적절해보일 수 있지만 결국 수식적 풀이의 시작이 직관이었던 경우가 많기 때문에 저는 그래프와 같은 직관을 적극적으로 도입한 문제 풀이도 충분히 엄밀하고 정확할 수 있다고 생각합니다.
231122는 현장에서 직관적으로 푸는 것이 가장 현실적으로 해볼 만한 풀이가 아닌가 싶습니다. 한 점을 고정해두고 다른 점을 움직이게 한 상태에서 평균값 정리를 만족하는 x값이 움직이는 점의 x값에 대한 함수임을 떠올렸어야 수식을 통한 g의 정보 파악이 가능했는데 그랬던 기출 문항이 없던 것으로 기억하기 때문에 (평균값 정리를 만족시키는 x값을 다른 점의 x좌표에 대한 함수로 나타낸 문항, 혹은 이와 비슷한 문항) 이를 떠올리는 것은 어려웠을 것이라는 생각이 듭니다.
p.s. '기출에 나온 표현에 익숙해지기'라는 측면에서 220615도 2022학년도 수능 대비 수능특강의 미적분 step3 문항에 나왔던 표현을 그대로 썼던 것을 발견한 기억이 있습니다. ebs 연계교재 학습의 중요성으로도 글을 이끌어나갈 수 있을 듯하네요! (물론 이건 선택과목의 요소를 공통과목에 출제한 것이기 때문에 의도했다기보다는 우연히 겹쳤다고 설명하는 것이 더 적절해보이긴 합니다만.. 그래도 공부해둬서, 엮어둬서 나쁠 것은 없으니까요)
죄송하지만 수식적으로 검증을 안 하고 어떻게 직관으로 생각한 케이스의 조건에 나온 g(x)의 연속성을 보증할 수 있을까요?
저도 정말 몰라서 여쭤봅니다
g의 연속성을 어떻게 수식 없이 보증할 수 있냐는 말씀이시죠? g가 연속임은 찾을 필요 없이 주어진 조건이니 딱히 보증할 필요 없지 않나 싶습니다
g의 연속성을 어떻게 수식 없이 이용할 수 있냐는 말씀이셨다면, x=/=1일 때는 x가 실수 집합의 원소이니 평균값 정리를 만족하는 대응되는 x값에 해당하는 g도 실수 집합의 원소가 될 것임을 직관적으로 파악할 수 있겠습니다. 다시 말해 당연히 연속일 것이라는 것이죠 (a<c<b에서 a와 b가 임의의 실수이면 c도 임의의 실수 모두에 대응될 수 있을테니)
저는 231122 바라볼 때 [f(x)-f(1)]/(x-1)=f'(c) 꼴에서 c가 x에 대한 함수일테니 평균값 정리 확인하면 수식을 끌고 와야할 부분은 끝이 아닌가 싶었는데 혹시 정확히 어떤 부분에서 수식적인 검증이 필요하다고 느끼셨는지 여쭤봐도 될까요?
모델링한 g가, 조건(연속성)을 만족하는지 확인을 해봐야 엄밀한 풀이 아닌가요?
주어진 조건을 활용해 상황을 정리해가는 것만으로도 충분히 엄밀한 풀이라고 생각합니다, 굳이 주어진 조건을 다시 확인할 필요는 없지 않나 하는 생각이 들어요. 예를 들어 우리가 f(0)=1이라는 조건을 받았을 때 이를 활용해 f의 미지수 하나를 결정하고 끝내지 그렇게 결정한 f가 f(0)=1을 만족하는지 다시 확인해보진 않으니요, 보통?
https://orbi.kr/00062511116
저도 그래프 그려 직관적으로 g를 파악하는 것이 현장에선 적절할 수 있으나 문제만 두고 보면 발상적이지 않나 하는 느낌을 처음에 받았어서 얼마 전에 '이 문제를 평가원 기출만 학습한 후 수능 당일에 처음 봤을 때 가장 자연스레 접근할 수 있을 만한 풀이'를 떠올려봤습니다. 시간 되실 때 한 번 확인해주시고 나눌 만한 의견 남겨주시면 서로의 생각 확장에 도움이 되지 않을까 생각합니다!
링크 남긴 글 훑어보시면 느끼실 수 있을 것 같은데, 저는 g가 연속이라는 조건과 (가) 조건을 [f(x)-f(1)]/(x-1)=f'[g(x)]로 바라볼 수 있다는 점에서 양변에 x->1인 극한을 취해 f'(1)=f'[g(1)]을 파악하는 데까지가 g가 연속이라는 조건의 실질적인 역할이라고 느꼈습니다. x=/=1일 때의 상황들은 윗 댓글에서 언급했다시피 임의의 실수 a, b에 대해 a<c<b를 만족하면 c도 임의의 실수에 대응될 수 있다는 논리로 g가 연속일 것임을 당연하게 확인할 수 있다고 생각했어요
저 또한 실전성의 측면에서 선생님의 생각에 동의하는 부분이 있습니다.
그런데 g(x)가 구체적으로 주어진 것이 아니라, 우리는 조건을 만족하게끔 하는 g(x)를 적절하게 상상해야 하고 그것이 연속이어야 하죠.
그게 등식 조건 해석과 관련된 거구요.
이렇게 상상한 g(x)가 연속인지 아닌지는 문제에서 주어진 것이 아닙니다.
문제에 주어진 조건에 맞게, 내가 상상한 g(x)가 연속인지는 수식이 아니고서야 검증하기 어렵다는 주장입니다.
검증없이 푼 풀이가 엄밀할수야 당연히 없고요.
조건이 실질적으로 어떤 역할을 하느냐를 고려해서 수식적 검증없이 푸는 풀이가 좋을 수 있다고 생각도 하고, 합리적이라고도 생각합니다.
하지만 엄밀하고 정확한 풀이라고 주장하는 건 다른 문제라는 것이죠.
현장에서의 현실성을 이야기하는 측면에서 선생님이랑 제가 비슷한 주장을 다른 방식으로 하고 있다고 생각합니다. 용어 몇 개를 서로 다른 의미로 쓰는 것 같기도 하고요
구체적인 답변 감사드립니다, 말씀하신 바를 충분히 느낀 것 같습니다. 저는 "항등식 [f(x)-f(1)]/(x-1)=f'(c)를 만족하는 c가 x에 대한 함수이다"라고 g가 제시된 이유를 온전히 받아들일 수 있다고 생각했습니다. 음함수 미분법 문항에서 k를 t에 대해 미분한 것이 0이 아닌 dk/dt가 됨을 알려주기 위해 "k는 f(t)이다"와 같은 표현을 제시하는 것과 비슷한 맥락에서요!
그럼 결국 평균값 정리를 만족하는 x값을 g라는 함수로 정의한 것이고 저는 앞서 언급한 논리에 의해 자연스레 연속이 될 것임을 느낄 수 있다고 생각했습니다. "g가 구체적으로 주어진 것이 아니며 내가 상상한 g가 연속인지를 수식을 통해 검증해야한다"라는 말씀을 g를 양함수(explicit function)로 나타내거나 최소한 실수 전체의 집합에서 g'이 정의됨을 통해 g가 연속임을 보이는 과정이 필요하지 않냐는 뜻으로 이해했는데 이를 엄밀하게 보이기 위해서는 그래프를 통한 직관 외에 수식을 통한 논리가 충분히 들어와야 하겠군요. 이는 더 고민해보든 자료를 찾아보든 해야겠습니다.
p.s. 왜인지 알림을 확인하지 못해 이 답글을 늦게 봤어요, 저도 논의 즐거웠습니다! 좋은 밤 보내시기 바라요
님 ㄹㅇ 천재인가...
그래서 신촌 맛집은 어디로 갔나요
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글을 읽으면서 멋진데? 라고 생각한 게 1년 만이네요졸다가 글 다 읽고 잠이 깨버렸네요
그리고 개인적으로는 말투가 공격적이거나 오만하게 느껴지지도 않습니다.
(이건 어디선가 모종의 억까를 당한 이후에.. 행보가 조심스러워지신 것이 아닌지 추측합니다.)
귀한 분이 누추한 곳에...
감사합니다 ^^
압도적 명쾌함
기출 관련해서 질문 점 드려도 될까요??
넵
다만 본문과 관련된 것이 아닌 경우 확인과 답변이 그렇게 빠르진 못할 수 있습니다.
좋은 글 잘 읽었습니다 ♡171130의 중요성을 다시 느끼고 가네요
님 ㄹㅇ 병훈쌤인가...
https://orbi.kr/00062892401
g가 2.5 이상이라는 점에서 2.5 이상의 x에 대해 정의된 f'의 역함수를 h라 할 때, h에 [f(x)-f(1)]/(x-1)을 합성하는 방식으로 g(x)의 수식을 직접 구해봤습니다. 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수가 되어 연속 조건을 만족하네요
선생님, 제가 위에서 '1711나30은 직접 식을 계산해서 g(x)=A or g(x)=B 꼴로 나타낸다는 점에서 231122와 연관이 있다고 보기는 어렵'다는 생각을 남겼었는데 어제 오늘 고민해보다보니 231122 또한 g(x)=A or g(x)=B 꼴로 풀이를 이어나갈 수 있음을 이해했습니다. 제 생각이 짧았네요.. 좋은 깨달음 주셔서 감사드립니다!
p.s. 언급한 방식의 풀이 확인해보고 싶으신 분들은 바로 위에 남겨둔 링크의 글 댓글에서 확인하실 수 있습니다
감사합니다…야매로 풀고 본인이 야매로 푼 줄 모르는 사람들이 이 글을 보고 느끼는 바가 있었으면..
17 11 30 나형은 이렇게 생각해서 풀었는데
f' 의 식은 안다
f'(g) 의 식을 x로 표현된 식은 모르지만
gx를 대입해서 g(x)와 x의 관계는 볼 수 있다
-> 오 쉣 ㅋㅋ 인수분해 너무 좋구요
근데 제 기억으로 17 11 30 나형 그 해 69모의 중에 한 곳에서 해당 아이디어 제시해준걸로 기억합니다 (그 해였든지, 그 이전 해였든지)
기출 무용론이라기 보다도
무게중심 (기출 VS 사설)에 대한 논쟁이 극단화 돼서 무용론이 등장한게 아닐까 싶습니다
그리고 솔직하게 말해서...
23 11 22 조건 가의 경우 비슷한 형태의 식을 1. 평균변화율 2. 접선의 방정식
하나의 예를 보여드리자면
f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) 를 만족시키는 a값은 ~~~~ 이런 문제에서
1번 2번 둘 중 무엇으로 볼 지 171130 가형 이전에 제시된 바 있다고 알고 있습니다
단지 171130 이후에 '기울기함수'라는 명칭으로 유명해지면서 231122도 기울기함수에 관한 문제구나~ 라고 하는거지
171130 을 몰라도 평균변화율 형태로 식을 끌고나간 뒤에 어떻게든 g(x)가 f'의 정의역으로 기능한다는걸 파악한다면 풀만한 문제였다고 생각합니다
그리고 기출학습을 했어야지! 라고 231122를 논하고자 한다면
미적선택자가 아닌 학생들에게 정답자가 그 해 가형 응시인원 중 400명도 안 되는 문제를 학습했어야 한다고 말해야 하는데... ㅎㅎ
심지어 미적선택자들도 가형 일부 킬러는 학습하지 않는 추세입니다
하더라도 가볍게 아이디어 정도만 판단하고 그 시절 가형의 향수가 느껴지는 복잡한 관찰행위를 하지는 않습니다
강사 분들도 몇몇 가형 킬러는 문제집에 미수록하고 있고요
그리고 모 인강강사가 한 말처럼
이게 몇년도 몇월 몇번 문제인지 (이처럼 상세하진 않더라도) 기출 변형인지 파악할 만한 학생이면 기출 외에도 많은 n제 훈련으로 데이터가 쌓여있었을겁니다
그걸 현장에서 '아 이거 기출변형이네' 하고 탁! 떠올릴 정도면 강사나, 사교육관계자, 최상위권 셋 중 하나라는거죠
그리고 기출분석이란 말을 저는 개인적으로 좋아하지 않습니다
국어나 영어정도면 일관된 독해방식이 적용되는 생각보다 정직한 과목입니다
그런데 수학에서 방법론이란 말이 가능할까요?
수학은 방법론이 아니라, 그 기저에 깔린 논리를 배워야하는 과목임을 아시고 계심이 글에서도 느껴집니다
그런데 학생 중에 기출 풀면서 그 기저에 깔린 아름다운 논리를 풀어헤칠만한 학생이 몇이나 될까라는 겁니다
해체해서 뜯어먹고, 음미하는건 최상위권과 학원업에 종사하는 일부만이 가능하고 또 그들에게만 허용해야 한다고 생각합니다
솔직히 아이큐 100~110 언저리 되는 학생 앉혀놓고
백날 떠들어봐야... ㅎㅎ
오히려 기출은 가볍게, 그 논리는 강사가 풀어준 정도로만 핥짝 혀만 대보고
n제로 데이터량 자체를 늘려서 어느 순간 '아~ 이래서 이렇게 풀라는거고만' 을 깨닫는게 좋다고 봅니다
뭔지 모르겠지만 좋아요 누르고 갑니다 ㅋㅋ