우주론 강의 2. 우주의 밀도와 우주 모형
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00064022385
저번 글...
1. 프리드만 방정식
프리드만 방정식은 우주가 등방성과 균질성을 만족할 때 유도되는, 우주를 지배하는 방정식이라고 할 수 있다.
G는 만유인력 상수, rho는 밀도, P는 압력, c는 광속, H는 허블 상수, a는 척도인자이며 무차원이다. 또, k는 우주의 곡률을 나타내는 수이며 k=0이면 평탄한 우주, k > 0이면 닫힌 우주, k < 1이면, 열린 우주이다. 이때, k의 단위는 /m^2 이다.
혹은 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원으로 두고, a를 m단위로 쓸 수도 있다. 이런 경우에는 k는 –1, 0, +1 중 하나의 값을 가지며, 무차원의 수가 된다.
2개의 식을 프리드만 방정식이라고 한다. 우리는 이 중 첫 번째 식을 활용하여 몇 가지 우주 모형을 살펴볼 것이다. 당연하지만, 프리드만 방정식은 모두 등방성과 균질성을 가정하므로, 이로부터 유도되는 우주 모형들은 모두 허블 법칙이 성립한다.
2. 등속 팽창 우주
첫 번째 식에 a^2을 곱하면 다음을 얻는다.
이 문단에서는 편의상 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원의 수로, a를 m단위로 생각하겠다. 이러면 k는 –1, 0, 1 중 하나의 값을 가져야 하니, 우변의 두 번째 항은 상수가 된다. 이제 등속 팽창하는 우주이므로 da/dt 는 상수이다. 좌변이 상수이기 위해서는 rho = 0이어야 할 것이다. 왜냐하면, 우주의 밀도가 0이 아닐 경우, 우변의 첫 번째 항은 우주의 크기에 따라 값이 바뀔 것이며, 우변이 상수가 되지 않는다. 따라서 이 우주는 우주에 아무것도 없는, 텅 빈 우주이다. 또한, 좌변은 양수이므로, 우변도 양수여야 하니 k = -1, 즉, 이 우주는 열린 우주임을 알 수 있다.
정리하면, 등속 팽창 우주는 텅 빈 우주이고, 우주의 기하학적 모양은 곡률이 음수인 열린 우주이다.
3. k = 0이며, 우주의 밀도 = 우주의 물질 밀도인 우주
이 문단부터는 저번 글에서와 같이 척도인자를 현재 값이 1인 상대적 크기로, r을 m(미터)단위로 쓰겠다.
k = 0 일 때의 밀도를 임계밀도라고 하고, rho_c 로 쓰자. 그러면 프리드만 방정식을 정리하여 다음을 얻는다.
현재는 첨자로 0을 붙여서 표기하자. 현재 우주의 임계밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
rho_c,0은 현재 우주의 임계밀도, H_0는 현재 허블 상수이다.
이제 밀도 변수를 다음으로 정의하자.
우리가 다룰 우주 모형은 k = 0이므로 Omega = 1인 우주이다.
이제부터 첨자 m을 붙인 것은 물질을 의미한다.
이제 이런 상황에 대해서 알아볼 것이다.
k = 0 이므로 프리드만 방정식은 다음으로 쓸 수 있다.
현재에 대해서는 위 식을
로 쓸 수 있다.
우주의 총 물질은 일정할 것이므로 물질 밀도는 척도인자의 세제곱에 반비례한다. 그러므로 물질 밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
현재의 척도인자 a_0 = 1을 대입하였다. 이것으로 치환하면
이 된다. 이제 a로 정리하면
을 얻는다. 우주의 크기는 시간의 2/3 제곱에 비례한다. 또, 빅뱅 이후 현재 우주의 크기(a=1)에 도달할 때까지 걸리는 시간은
를 얻는다. 이것이 이 우주 모형에서의 우주의 나이가 된다.
4. 암흑 에너지(우주 상수)를 가정하며, k = 0 인 우주
이 경우는 풀이 과정이 길기 때문에 결과만 기술하겠다.
이 우주 모형의 경우 척도인자를 시간에 대해 미분하여 da/dt를 구해보면 그 값이 감소하다가 어느 순간부터 다시 증가하는 것을 볼 수 있다. 그래서 이 우주 모형을 가속 팽창하는 우주 모형이라고 한다. 또, 이 우주 모형의 경우 허블 상수는 항상 감소한다.
이 외의 우주 모형은 생략함.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
왜 전공의들한테 돌아와달라고 정부가 호소를 하나요?(진짜모름) 돌아와달라노~ 이젠...
-
오히려 안오를줄 알앗는데 친구 6모 국수 4,4에서 7모 1,2 받았다던데 7덮도 잘보고…
-
전 12 22 30틀.. 12번에서 머리 깨짐..
-
의치한약수를 꿈꾸는 38세 강은영씨와 45세 박준석씨를 끌어들여 무한N수 돌입하기...
-
아악 (고려와 조선시대에 궁중과 상류층에서 연주되던 전통음악)
-
개소리좀 싸지르지마십쇼.
-
아름답네요... 초점이 작구만
-
이런 문제를 두개씩이나 틀리면 수능을 보겠다는거냐!!!
-
가 정말 좋음요 님들도 들어보셈
-
영어로 된 커뮤니티를 하면 됨 Reddit 같은거.. 글쓰기보다는 여기저기 오르비...
-
얼마?
-
합의금 많이 챙겨주고 난 즉사하고
-
진짜 개같다.. 3
평생 Herpes 걸린 할매 할배들 아가리 똥내 맡으며, 바이러스+세균+치석+피+침...
-
진짜
-
국어 사탐으로 승부 보라고 함. 23211 수학은 3등급만 나머지 2, 1로...
-
내 인생을 마지막까지 행복하게 해주실려나 끝까지 기도해봐야지
-
잔다 2
-
종강하고 할 거 없이 놀다보니 자꾸 반수 생각이 드는데 약대에서 약대 반수는...
-
그치만 천만덕을 위해 참기
-
다들 만족하며 잘 지내는데 하 나는 이 꼬라지 이게 머꼬 ㅠㅠ 통통이나 몇 문제...
-
7 17 1
최근에 들은 말 중에 기억나는 말을 기록으로 남기고 싶어졌다. 지각에는 각자의...
-
옛날엔 이딴거로 어떻게 웹소를 봤지
-
담배 끊어보신분 5
지금 한달째 끊고 실패하고 반복중인데 공부하다 갑자기 허전하고 그럴때 어떻게 하시나요??
-
다 높지도 낮지도 않은 안정적인 등급인 경우에.. 화작 확통입니다
-
분명 200일 정도 남았던게 엊그제 같은데 누가 내 시간 뺏아갔나
-
N제보다 더 짧게 치고빠지는 하프모고를 풀고싶음
-
답변 좀 ㅠ
-
만들고 나서도 난이도 너프하길 잘한 거 같습니다. 모의고사 set를 만든 적은...
-
패스 공유 사기 5
나도 사용하다가 갑자기 며칠전부터 동접땜에 언청 끊기더니 이제는 아예 비밀번호까지...
-
수능보고싶다 0
왜 고2는 수능 못쳐!!
-
기구하다...
-
방인혁 단과 지금 가면 체화나 적응하기 어려우려나요 그리고 컨텐츠 어떤가여?현강메리트있나요
-
국어 예비매삼비, 매삼문 끝내기 학원진도 따라가기(문학, 독서, 모고) 영어...
-
뭉 티 기 14
냠
-
무슨 능력 키우는 용도임? 그리고 장재원쌤 특징좀
-
슬슬 킬 때가 됐는데…. 세계최초 노캠 스윗미를 보고싶다고
-
국일만 문학편이랑 독서편 끝냈는데, 바로 생각의 전개로 가도 괜찮을까요??
-
작년에는 국어 2-3 나와서 이감 풀면서 모래시계 효과 좀 본 거 같아서 올해도...
-
영어 공부 해야지..
-
물리 처음 선행합니다 통과는 끝냈어요 배기범 퍼개완 사서 풀려 했는데 오르비...
-
이번주수학계획 1
이번주 빅포텐 극한 오답+숏컷 수2 끝+스탠모3개+서바 노트정리 못하면 나는...
-
시대 재종 편입 2
이번에 편입하는데 첫날에 책 다들고 가야하나요???
-
가난한 내가아름다운 나타샤를 사랑해서오늘밤은 푹푹 눈이 나린다나타샤를 사랑은...
-
진심 책 너무 별로임
-
바쁠때만 엄청 바쁘다던데
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/018.png)
항상 우주는 재밌어용선생님 너무 어렵습니다;;