이 함수가 연속인지 아닌지
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이거 어떻게 알까요?? ㄷ 선지 모르겠네요
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미분계수 정의?
도함수가 존재하니까 연속
ㄷ이 틀린선지 입니다
ㅈㅅ 문제를 너무 대충 봤어요
h가 0으로 한없이 가까워질 때 [f(h)-f(0)]/(h-0)의 극한이 수렴하리라는 보장이 없습니다. 따라서 주어진 관계식을 활용하여 도함수의 정의를 적용하였을 때 실수 전체의 집합에서 도함수가 정의될 것이라는 보장이 없습니다.
도함수의 함숫값이 정의되지 않는 구간이 존재할 수 있기 때문에 함수 f(x)가 불연속인 구간도 존재할 수 있습니다.
자세한 답변 감사합니다. 그렇다면 일반적 풀이는 저렇게 해서 f'(0)의 값을 문제에서 제시하여 f'(x)가 다항함수가 되는데 그럼 여기서의 문제는 도함수가 x=0에서 정의되지 않아서 문제가 되는건가요?
보통은 그래서 '미분 가능한 함수 f(x)에 대하여'라는 조건을 줍니다. 해서 주어진 관계식을 활용해 도함수의 정의를 통하여 f'(x)가 다항식임을 확인하고 그것의 부정적분을 구해 f(x)를 결정하는 식으로 문제가 풀립니다.
말씀하신 문제 상황에서는 f'(0)값이 존재하는지 존재하지 않는지 확정지을 수 없으므로 f'(x)의 존재 또한 확정지을 수 없습니다. 따라서 f(x)가 x=0에서 미분가능하지 않다면 f'(x)가 실수 전체의 집합에서 정의되지 않아 f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분 불가, 그에 따라 불연속이므로 ㄷ은 거짓이 됩니다!
네 제가 다른거 하다가 지나가면서 봐서 문제를 너무 대충 읽었습니다
y에 h를 대입하면 f(x+h)-f(x)=f(h)+xh
f(x)가 x=0에서 연속이 아니면, 위의 식의 양변에 h가 0으로 한없이 가까워지는 극한을 취했을 때 우변이 0으로 수렴하리라는 보장이 없음
좌변이 0으로 수렴해야 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되는데 그렇지 않을 경우의 수가 존재하므로 단정지을 수 없음, ㄷ은 거짓
단정지을 수 없다고 하고 넘어가는건 완벽히 ㄷ이 거짓이라고 증명한 것은 아닙니다. 저 함수방정식을 만족시키고 x=0에서 미분 불가능 한 함수가 존재한다는 것을 보여야 증명이 되는데 이 문제 자체가 고등학교 과정에서 엄밀하게 완벽히 증명하고 넘어갈 수 없는 부분이라 생각합니다.
동의합니다, 해당 문제 상황에 대해 보다 깊은 이해를 쌓고 싶으신 수험생 분들께서는 코시 함수 방정식, 선택 공리 관련된 내용 찾아보시면 좋겠습니다!
코시 함수 방정식이네요!
유리수군에서 자기 자신으로 가는 준동형 사상이면 정비례 함수가 유일합니다.
다만 실수에 대해서는 그렇지 않은 경우도 존재하죠.
한 점에서 미분가능/연속 또는 한 열린구간에서 단조/유계라는 조건 4개 중 하나만 있으면 정비례 함수가 된다고 합니다.
저 4가지를 모두 만족하지 않는 함수가 반례가 되겠죠.
여기서 동그라미 친 부분이 수렴하면 맞는데 안되는 반례를 찾으면 되겠네요
하멜 기저를 이용한 반례가 있는데 선택공리를 상정해야 한다고 하네요선택공리는 대부분 맞다 보긴 할 텐데 고교 과정 내용은 아니지 않나요...? 이상하네
이게 반례를 찾아야지 완벽히 안된다 하고 넘어갈 수 있는데 반례 찾는게 쉽지가 않은데 고등학생 입장에선..
단정지을 수 없는 건 맞지만 선택공리를 인정했을 때의 반례에 관한 정보만 있어서선택공리와 반례의 존재성이 필요충분인지는 모르겠네요
고등학생 입장에서는 엄밀하게 못 푸는 문제인데...
그렇다면 식 자체가 안세워지는데 ㄴ선지는 맞다고 합니다. 어떻게 알 수 있을까요..?
f'(2)가 존재한다는 것 자체가 이미 도함수가 존재한다는 것이 전제이고 이 땐 자동으로 저 동그라미 친 부분이 f'(0)가 되겠죠 그러면 f'(x)=x+2가 되겠네요
ㄴ은 f'(2)=4라는 점에서 미분계수의 정의에 주어진 관계식을 활용하시면 f'(0)이 2로 수렴해야한다는 정보를 얻을 수 있으십니다. 따라서 f'(x)와 f(x) 결정 가능하고 모든 실수 x에 대한 f'(x), f(x)값을 구할 수 있으십니다!
저정도면 문제에 대한 검증같은 절차가 꽤 꼼꼼하다 생각했었는데 우물안이였네요
답변 감사드립니다
네네, 표현이 조금 애매해서 다시 말씀드리자면 f'(0)의 존재성에 대한 귀류법을 통해 '수렴해야한다'라는 결론에 도달할 수도 있고 f(h)/h을 f(h)/h+2-2로 바라보아 바로 함수의 극한의 성질을 적용하여 '수렴한다'라는 정보를 확인할 수도 있으십니다
다음은 다르부(다르부 정리로 유명한 분일 겁니다)라는 수학자가 증명한 사실이라고 합니다.
실수 전체의 집합에서 정의된 코시 함수 방정식에서 f가 '한 점에서'만 연속이어도 f는 정비례 함수로 정해집니다. (당연히 미분가능이어도 가능)