3달 뒤 이과 신입생들을 절망에 빠뜨리게 될 것

극한의 엄밀한 정의 - 엡실론 델타 논법

이공계 대학생들은 1학년 때 빠짐없이 대학 미적분학 수업을 듣게 되는데, 1챕터에 바로 등장하는 엡실론 델타 논법 때문에 많은 수의 학생들이 좌절하게 됨.

첫 단원부터 소개하기엔 논리가 너무 어려운 내용인데

고등학교때처럼 체계적인 인강이 있고 그런 것도 아니라서 더더욱 어렵게 느껴짐(인강이 아예 없는건 아니긴 하지만...)

본인도 처음 공부할 때 유튜브도 찾아보고 블로그도 뒤져기며 이해해보려 했는데 쉽게 설명해주는 글을 찾기가 힘들었고

나중에 이걸 깨우친 이후 엡실론델타 논법 설명하는 글을 시작으로 블로그를 시작하는 계기가 되었음

(구글에 "엡실론 델타" 검색하면 나무위키, 위키피디아 바로 다음에 본인 글이 올라와있음)

개인적으로 나보다 엡실론 델타 논법 쉽게 설명하는 사람 많이 없다고 자부함

각설하고 시작해보자!

고교 미적분학에서 극한에 대해 배웠을텐데 예를 들어

이 식은

y = f(x) = 3x 라는 함수에 대해

x 가 2 에 가까워짐에 따라 도달하게될 '도착지'는 6이라는 의미를 갖는다

근데 f(x)=3x 라는 함수가 2로 갈 때의 도착지가 6이라는 걸 어떻게 증명할 수 있음??

6이 아니라 알고봤더니 6.00000001일 수도 있는거 아님??

??? : x=2를 대입하니까 6 나오잖아!!!

이렇게 대답하는 사람이 있다면 

미적분 공부를 처음부터 다시 하길 바람

x=2를 대입해서 극한값이 6이다라고 얘기하는건

극한값 = 함수값이 성립한다고 가정해버리고 펼친 논리인데

극한값 = 함숫값이려면 함수가 연속임을 먼저 증명해야한다.

그럼 연속임을 증명하려면?

1. 그럼 다시 극한값이 수렴하고

2. x=2에서의 함숫값이랑 비교해서 같은지 확인

이렇게 해야하는데

다시 극한이 6임을 보여야하는 순환논리에 빠지게 된다는걸 알 수 있다.

심지어 x=2 에서의 극한값은 x=2에서 함수가 정의가 안되어있더라도 상관없이 다룰 수 있는 계산이라서

더더욱 "x=2 를 대입했더니 6 나오잖아" 는 말도 안되는 얘기라는 것

그럼 어떻게 이걸 증명할 수 있을까?

애초에 '수' 라는건 움직이는 값이 아니라 고정된 값인데

3x라는 함수가 6이라는 목표점을 향해 나아간다는 것을 좀 더 엄밀하게 표현할 방법이 없을까?

이런 생각에서 나온게 엡실론 델타 논법

x=2 에 인접한 값에서 3x랑 6이랑 그 차이가 작게 나야 이런 의미를 살릴 수 있을 것임

이걸 좀 더 정제하면

그 어떤 (3x와 6 사이의) '오차'를 제시하더라도

x=2 근방 범위를 잡아서

그 범위 내에선 항상 3x와 6사이의 차이가 제시한 오차범위 이내에 들도록하는 'x=2 근방의 범위'가 존재하면 된다고 쓸 수 있음

그니까

3x가 만약 진짜 6으로 달려가는 극한이라면

3x와 6 사이의 오차를 100으로 제시하든

10으로 제시하든 0.00000000001로 제시하든

항상 x=2 근방의 값들에서 그 오차범위 내의 함수값만 만들어낼 수 있어야 한다는 말임

더 자세히 얘기하자면

공격자 : 하! 진짜 극한이 6이라고 주장한다고??

그럼 어디 한 번 오차가 1보다 작게 나도록 만드는 x=2 근방의 범위가 존재하는지 제시해보시지??

증명자 : 오차가 1이니까 5~7 사이의 값을 만들면 되겠네

x=2-1/3 이면 f(5/3) = 5 이고

x=2+1/3 이면 f(7/3) = 7 이니까 

x 범위를 2플마 1/3 이렇게 잡아봐~ 그럼 3x는 항상 5와 7사이의 값을 가져서 니가 제시한 오차 1 미만으로 만드는 범위가 존재하는거네~~

공격자 : 쳇 근데 0.0001보다 적게 나는 것도 과연 찾을 수 있을까?? 굉장히 작은 오.차.라구? (쿠쿸)

증명자 : (후비적) 찾아보니 2±0.0001/3 의 x 범위에서 니가 원하는 오차 이내의 함수값이 나오네?

패턴을 보아하니 니가 어떤 오차(ε) 를 갖다대든

x = 2±ε/3 이렇게 범위 잡으면 가능하네

이런 느낌

그래서 이 내용을 수학적으로 적으면 이렇게 됨

임의의 ε>0 에 대해

다음 조건을 만족하는 δ>0 이 존재할 때

(조건 : 0<|x-2|<δ 범위의 x에 대해 |3x - 6|<ε 가 항상 성립)

라고 하고 그 반대도 마찬가지이다

그리고 이걸 극한의 정의로 채택했음

이걸 또 설명하자면

ε(엡실론)은 아까 위에서 함수값(3x)과 목표점(6) 사이의

오차를 나타내는 값이라고 얘기했는데

두 수 사이의 거리를 차의 절댓값으로 쓸 수 있으니

|3x - 6|<ε 이렇게 적으면 3x와 6의 거리가 ε미만으로 난다고 표현한 셈

그리고 δ는 위와 비슷하게 x와 2사이의 범위를 만들어내주는 역할이라서 |x-2|<δ 라고 하면 x와 2 사이의 거리가 델타 미만임을 나타내는 식이 됨.

근데 아까 극한은 x=2가 아닌 곳에서 따지는 개념이라 했잖음. 그래서 0<|x-2| 이렇게 앞에 0보다 거리가 크다고 적어줌으로 x=2인 경우는 피해가게 됨

아무튼 결론적으로

공격자가 그 어떤 오차(ε) 를 제시하던간에 

증명자가 그 오차 범위 이내에 들게끔 하는 x의 범위를 만드는 δ를 제시하면 된다는 내용이라서

위에서 제시한 극한 설명방법을 식으로 잘 표현한 셈

이제 이 논리대로 위의 극한을 증명해보자.

이 식이 성립함을 보이려면 극한의 정의에 의해

임의의 ε>0에 대해 다음을 만족하는 δ>0가 존재함을 보이면 되는 것이다. 

근데 아까 위에서 구했듯이

δ=ε/3이라고 하면 그 어떤 ε을 제시하든 |3x-6|<ε 이게 된다. 왜냐하면

0<|x-2|<δ=ε/3 이니까

--->

|x-2|<ε/3 이고 양변에 3을 곱하면

--->

3|x-2| < 3 × ε/3 = ε, 즉 따라서

|3x-6|<ε 이 되기 때문이다.

δ=ε/3 은 δ가 ε에 대한 함수임을 의미하고

ε>0 범위에서 ε/3는 항상 양의 값으로 존재하는 함수이기 때문에 그 어떤 ε>0을 제시하든 대응하는 δ>0가 존재함을 보여야한다는 조건도 만족한 셈이다.

δ 존재성을 보였으므로 극한의 정의에 의해

위 극한이 6임이 증명이 된 것이다.

https://vegatrash.tistory.com/11

그리고 이 글에선 다양한 엡실론 델타 논법 문제들과 자세한 풀이를 적어놓았는데, 관심 있는 옯붕이들은 같이 공부해보자!