미적 문제 질문드립니다

가 조건에서는 f의 변곡점의 기울기와 변곡점-원점을 잇는 직선의 기울기의 대소관계를 따지면 되고요

나 조건에서는 아마 미분불가능점의 존재성을 이용해 a를 결정해야 할 것 같아요,

의심 가는건 변곡점-원점을 잇는 직선이 변곡점에서의 변곡접선인 경우네요.

(나) 조건을 풀면서 조금 생소하다고 느꼈는데, 말씀하신 대로 ‘원점에서 그은 직선이 변곡점을 뚫고 지나가는 경우만 특수하기 때문에 미분 불가능할 것이다’ 라고 판단해도 되는 건가요.. ?

문제 풀었으니 해설해드릴게요 ^^
가장 기본적으로 봐야할 것은 x>0이라는 사실입니다. (lnx 정의를 위해)

그리고 (가)조건에서는 우선 a>0이라는 결론이 나옵니다.
임의의 t에 대해 f(x) = tx의 해가 한개여야 하는데, 만약 a<0이면 t가 충분히 클 때 f(x)=tx의 해가 존재하지 않아서 모순이에요.

이후 다시 f(x)의 그래프 개형을 그려보면, f(x) = tx의 해가 임의의 t에 대해 한 개일 필요충분조건은,
f(x)의 변곡점에서의 기울기가, 원점-변곡점 을 잇는 선분의 기울기보다 크거나 같은 것임을 직관적으로 알 수 있습니다.
(만약 이러한 접근이 어렵다면, 어차피 x>0이므로 f(x) = tx <=> f(x)/x = t에요. f(x)/x의 그래프의 개형을 그려보세요.)

이를 정리해보면, a>=e^(-3)입니다.

이제 (나) 조건을 보죠.
질문자님이 댓글로 달아주신 내용에 대해 답변드리자면, 그렇게 하는걸 권장하진 않습니다.
물론 수능에서 답만 되는 경우에, 시간이 없다면 그렇게 봐도 되는데 (문제 설계를 하다보면 그렇게 답이 나와야 하기도 하고요)

정석적인 풀이는 방정식을 잘 해석하는 것입니다.
f(x) = tx라는 방정식을 보죠.
이 방정식을 만족하는 x를 t에 대한 함수로 생각하는거에요. x = g(t) 뭐 이런식으로요. (지금은 임의의 t에 대해 저 방정식을 만족하는 x가 한 개여서 함수를 정의할 수 있습니다. 그렇지만 꼭 함수일 필요는 없으며, 앞으로 교점이 여러개인 상황에서도 아래와 같은 접근을 할 수 있어야 합니다.)

그러면, 저 방정식을 t에 대해 미분할 수 있습니다.
1*x + t*(dx/dt) = 2ax*(dx/dt) + 2/x(dx/dt)
이런 식으로요.

잘 정리해보면, dx/dt = x/(2ax+2/x-t)입니다.
미분이 불가능한 x가 있다면, 이때 분모가 0이어야 합니다.

다시, 분모 = 0을 잘 정리해보면 a = (2lnx-2)/x^2인 x가 정확히 딱 한 개 있다. 라는 의미가 됩니다.
우변을 x에 대한 함수로 생각해서 그래프 개형을 그려보면, 그런 경우에는 e^-3 = a임을 알 수 있습니다.

공교롭게도 (가) 조건에서 해석한 a의 경계조건이긴 하네요.

아 두번째 조건을 이렇게 해석하면 되는군요..!
“미분가능하지 않다”의 의미를 양함수 조건에서만 생각하고 있어
g(t)를 양함수로 나타내는 방법을 찾으려고 고민했었는데,
풀어주신 방법대로 식 전제를 미분할 생각을 하지 못했던 것 같습니다.
늦은 시간에도 도와주셔서 정말 감사드립니다.

ㅎㅎ방정식의 x에 t에 대한 함수를 대입하면 항등식이 되고, 그래서 미분 가능하다고 보시면 되겠습니다.
이런 관점에서 잘 생각해보면, 임의의 t에 대해 식을 만족하는 x가 정확히 한 개 존재하지 않아도 t or x에 대한 미분이 가능합니다. x가 여러개 존재하더라도 그중 하나만 잘 골라서 함수화했을 때 그 함수가 미분가능하면 되니까요.
예를 들어 x^3-3x = t 의, t=0 근처에서 dx/dt를 구해야 하는 상황이 됐을 때, x는 분명 세 개 있습니다. 그렇지만 나중에 하나를 고른다 생각하고 x에 대해 미분하면 3x^2 - 3 = dt/dx가 나오죠. 중간 x, 즉 0을 대입하면 dt/dx = -3이 나옵니다. 수학적인 정당화를 위해선 처음부터 중간 x를 함수화했다고 생각하면 되구요!

예비고1인데 이런 문제 벌써 푸시나요.. 대단하네요. 화이팅하세용~~

많이 배웠습니다.
감사합니다!!

요거 답이 뭔가여 주관식이에요??

풀어봤는데 e가 껴잇는게 나와소,,

e 껴있는거 맞습니다!
e^3 분모에 끼고있어요

요렇게 풀었어용

첫번째 조건에서 a를 확정지을 수 있는 이유를 모르겠습니다 ㅠ
풀이 감사드립니다!

답은 맞았나요??

ln때문에 x가 양수범위로 제한되니 자유롭게 나눌 수 있고 나워주면 그리기 쉬운 두 함수로 바뀔 것 같은데?

라는 생각에 x로 나눠서 관찰해 보니 곡선과 직선으로 나뉘었는데 기울기는 정해졌으나 y절편인 t값이 정해지지 않은 값이니까 t값을 키우거나 줄이면서 위 아래로 움직이는
“모든” 경우에서 한 점에서만 만나야 하는게 (가) 조건이었어요

“모든” 경우가 한 점에서만 만나야 하니까 만약 저 직선이 곡선과 접한다면? a가 양수인 경우는 1의 왼쪽에서 접한다면 되는 경우도 있지만 t를 키우면서 관찰하면 여러 점에서 만나기 때문에 양수인 경우가 모순이 되겠죠

a가 음수라면? 곡선과 직선이 그냥 접하기만 하면 접하는 점보다 왼쪽에서 또 다른 교점이 생기기 때문에 모순, 그럼 변곡접선이라면?? 변곡점에서 접하긴 하지만 곡선과 직선의 위 아래가 접점을 경계로 바뀌기 때문에 실근이 1개로 고정이고 t를 키우거나 줄여도 1개로 변함이 없겠죠 그래서 a가 딱 하나로 결정되는거에요

답은 맞았습니다!
그런데 혹시 그래프를 x축 기준 반대로 그리신거 아닌가요?
a가 양수일 때랑 음수일 때가 반대로 되어야 하는 것 같습니다
그리고 그리신 그림을 바탕으로ㅜ했을 때 만약 변곡점에서의 기울기가 직선의 기울기보다 작다면 또 그거대로 모든 t값에 대하여 교점이 하나만 나오게 되지 않나요..??

엇 그렇네요,, 그래프가 아예 틀렸네요ㅜ 올린 사진에도 a<0인 케이스가 답이라고 써놨는데 정작 a는 양수가 나왔네요..

죄송해요ㅜ 그림 그려오느라,,

기울기 변곡접선보다 작으면 왼쪽에서 접점이 생기는 경우 때문에 a가 결정될거에여 접점 생기면 꼭 뚫는점이 변곡점이 아니더라도 변곡점 기준 오른쪽에서
만날거기 때문에 1개인 조건 모순이에요
크면? 변곡점 기준 오른쪽에서 접하는거 하나랑 옆에서 뚫고오는거 하나 이거나 아니면 뚫는거 두개 이런 식으로 나와서 모순이고요

제가 더 죄송하죠ㅜㅠ늦은 시간안데도 도와주셔서 정말 감사합니다
그려주신 그림에서 a<0 일 때랑 a>0중애서 변곡접선의 기울기보다 큰 경우 불가능한 것은 이해했는데, 다음 그림처럼 직선의 기울기가 더 큰 경우는 가능한 것 아닌가요?

크면 가능해요. 제 댓글 참조해주세요. (나)조건 활용해서 a를 확정해야 합니다.

엇 맞네요ㅜ 제가 잘못 푼 것 같아요
가 조건으로 a확정하는게 불가능이네요 a가 e^-3 이상이면 다 가능해소,,