제 이해가 맞을까요 ㅠㅠ
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연속 및 미분가능성을 따지는 것에 대해 다음과 같이 이해한 제 이해가 맞을까요? ㅠ
제가 말을 워낙 난해하게 해서 그런지 제가 여쭤본 모든 선생님들께서 아래의 말이 확실히 다 맞다는 것을 확답해주시지 못했네요 ㅠㅠㅠㅠ
예를 들어 f(x)가 x<a에서 g(x)와 같고 x>=에서 h(x)와 같다고 할 때요 연속을 따지라 그러면..
g(x)와 h(x)가 x=a에서 연속인 경우,
"f(x)는 x<a에서는 대응관계가 g(x)와 같다. 그런데 g(x)의 경우 a에서 연속이므로 x->a-0의 극한값이 g(a)와 같다. 고로 x<a에서 g(x)와 대응관계가 같은 f(x)의 좌극한값은 f(a)이다. 동일하게 하면 f(x)의 우극한값은 h(a)이다. 고로 g(a)=h(a)이면 f(x)는 a에서 연속이다."
"만약 g(x)가 x=a에서 연속이 아니라면, x=a에서 연속이 되는 g(x)를 만들어준다. 만약에 a=0이고 g(x)=|x|라면 새로운 함수 j를 가정하여 j(x)가 x<a에서는 g(x)와 같고, x=0에서는 0이라고 치자. 그러면 그것은 x<a에서 연속이다. 그리고 역시 같은 원리로 그 좌극한값은 f(x)의 좌극한값과 같다. 따라서 f(x)의 좌극한값은 j(a)이다."
한편, 미분가능성의 경우,
"g(x)가 x=a에서 미분가능이라고 할 때
{f(x)-f(a)}/x-a를 보면 f(a)를 제외하고는 x<a에서 모두 g(x)와 같다.
고로, f(x)-f(a), x-a가 수렴하는지 여부 따질 것 없이 (찢어주기 성질 생각할 것 없이), f(a)=g(a)이면 이건 g(x)의 미분계수와 같다. f(a)=/=g(a)이면 같을지 안 같을지 모르고.
그런데 f(x)가 x=a에서 연속이라면 위에서 쓴 원리대로 g(a)=f(a)이다. 따라서 f(x)의 좌미분계수는 g(a)의 미분계수와 같게 된다.
우미분계수의 경우 f(x)는 x=a에서도 h(x)와 같으므로 고민할 것 없이 f(x)의 우미분계수는 h(x)의 우미분계수와 같다.
따라서, '연속이고' g'(a)=h'(a)이면 f(x)는 x=a에서 미분가능하다."
"g(x)가 x=a에서 미분가능인지 여부에 상관 없다. 그 경우는 생각할 필요 없다. 그때는 g'(a) 자체가 없기 때문이다. 그때는 미분계수의 정의에 충실하게 구해주어야 한다."
맞나요? ㅠㅠㅠㅠㅠ
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보통은 구간별함수를 줄경우 두함수자체는 연속이게 줍니다
바뀌는 지점을 제외하고는 둘다 연속함수이므로 관계가 없고 즉 고려해주어야할대상은 바뀌는 지점 즉 a입니다
즉 정의에따라서
리미트x>a f(x)=f(a)임을 증명해야합니다
일단 좌극한은 질문자께서 말하신데로하면g(x)함수를 따르고 우극한은 h(x)를 따릅니다
연속임을 정의하였으므로 g(x)함수자체는 좌극한과 우극한이 같고 이때의 함수값이 같으므로 좌극한은 즉 g(a)와 같고 우극한도 똑같은 원리로 h(a)와 같습니다
즉 이러한 원리로서 증명합니다
2번째질문입니다
일단 위에서 연속임을 증명했다를 가정으로 깔고 설명드리겠습니다
연속이 증명되었으니 미분가능의 정의로서 증명하면됩니다
만약 두 함수가 미분가능인경우로 주는 경우가 대부분입니다(아닐경우 그냥 정의로서 증명해야합니다)
두 함수가 각각 미분가능한 그래프라고 가정하면 즉 미분가능의 정의가 lim x>a f(x)-f(a)/x-a가 존재하면되고 좌극한 우극한이 수렴하면됩니다
좌극한은 g(x)를 따르고 우극한은 h(x)를 따르는데 미분가능을 전제하면
g(x)는 x는 a에서의 미분가능의 정의에서의 좌극한은 g'(a)와 같고 마찬가지로 우극한도 처리해서 계산하시면 됩니ㄷ
즉 g'(a)=f'(a)이면 미분가능입니다
그리고 엄밀하게 좌미분계수 우미분계수는 틀린표현입니다
미분한함수의 좌극한을 묻는것과는 엄밀하게 차이가 있습니다
반례로서 xsin1/x가 있습니다
도함수는 연속이나 미분불가능합니다
으어..!!! 길고 자세한 답변 감사합니다 ㅠㅠㅠ 음 그럼 대체로 제 생각이 맞는 거네요? ㅋㅋㅋ 감사합니다 ㅠㅠㅠ
그런데 두 번째 댓글에서 '좌/우미분계수'가 틀렸따는 것은 어떤 뜻이죠..? ㅠㅠ... 미분가능할 때, {f(x)-f(a)/}/(x-a)의 좌극한이 좌미분계수고, 그는 곧 도함수의 함숫값 아닌가요? ㅠㅠ
으어..!!! 길고 자세한 답변 감사합니다 ㅠㅠㅠ 음 그럼 대체로 제 생각이 맞는 거네요? ㅋㅋㅋ 감사합니다 ㅠㅠㅠ
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음 좌미분계수라고 말하는거는 말하는 것의 편의를 위해서입니다.
자칫 혼동하면 미분그래프에서의 a에서의 좌극한과 동일하다고 생각하기 쉬우나
미분계수의 정의에서의 좌극한과 도함수에서의 좌극한은 엄연히 다른 개념입니다.
아하......
그러면 저기서 좌미분계수를 {f(x)-f(a)}/(x-a)가 x->a-0일 때, 우미분계수를 x->a+0일 때라고 생각하면 틀린 점 없는 거네요..?
감사합니다!!!!!!!