-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00067262933
*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
1번 문제
-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌
14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.
(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오. [4점]
(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]
2번 문제
-18.03.30 수학 가형
30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. ->
1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고,
2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!
두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)
역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574
두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만,
적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.
2번 문제가 1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요
|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니
조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다.
즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.
X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고, x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)
즉 g(x)는 (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.
이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)
dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.
X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다.
Solution) 02번 문제
Solution) 01번 문제
(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요
0 XDK (+28,000)
-
17,000
-
5,000
-
5,000
-
1,000
-
고1이고, 수1,2 하고 미적분 선행 함(쎈 c단계 쉽게 품) 근데 수 하에 나오는...
-
ㅇㅈ ㅂㄱㄸㅂㄱ 9
ㅂㄱㄸㅂㄱ
-
하반기 패키지에 들어있는 제 6차 예비평가는 하반기 패키지에서만 살 수 잇나요??...
-
내일은 0
코드짜고 선대파는 척 하면서 야구봐야지
-
올해 12월달에 군대 갈려면 모집병밖에 방법이 없나요? 재수중인데 수능 끝나자마자...
-
궁금한게 있는데 5
이런 위탁교육? 하는데는 학위 나오나요
-
라유 투자 은행 4
1, 10만덕 저축 연이율 3% 2, 투자한 덕코의 1.5% 만큼 라유가 복권 1등...
-
현역 언미물지 6모 99 80 2 4 4 9모 98 86 1 3 3 수능 89 89...
-
그리워지면 2
돌아와줘요
-
마셜맥루언이 말하는 매체와 기술을 같은 것으로 인식해도 되는 건가요? 아니면 서로 다른 건가요?
-
ㅇㅈ이후 반응 해석 30
경우1. 게이야 힘내라, 파이팅->" " 경우2. 이 정도면 못 생긴거 아니다,...
-
올해 정시 진지하게 작년보다 더 빡세질거라고 생각하심? 9
일단 의대 증원은 확정되었는데 늘어난 정원 대부분이 수시나 지역인재로 가는거에...
-
어제는 학원 원장님이 생1 수업가능 하냐고 물어보시더라 25
저번엔 화1가능하냐고 하시고 이번엔 생1인;; 원래 가르치시던 선생님이 어제...
-
가장 빠른 때다 6월 레츠고
-
하관까지 ㅇㅈ함 나 같은 사람은 눈ㅇㅈ이 최대..
-
6/16일 (종강하는 주 일요일) 이랑 6/30일 시험이 있음 30일날 시험보면...
-
오르비에 배포할 작수 지구 해설지를 만들다가 한글 오류나서 파일 전체를 날린지...
-
ㄹㅇ 어려움
-
현역 7모 99.97찍고 자만감 쩔어서 공부안함 그리고 9평 꼴아박고 자신감...
-
제가 카페에서 과외를 하는데 제가 선생임 무튼 카페에서 가끔 음침하게 남들의 대화를...
-
제가 미적 사탐이라 확통을 힌번도 안했는데 지원하려고 하는 다른 대학은 괜찮은데...
-
이거 난이도 미친거같은데 여러분들은 어떠셨나요??? 너무 어려운거같은디 ;;
-
와 ㅋㅋㅋ
-
[2025수특] 신경림의 '장자를 빌려 - 원통에서' 분석 및 관련 기출문제 0
안녕하세요. 새로운 교육의 시작, 남윤입니다! EBS 문학 연계 대비 자료를 업로드...
-
질문 받습니다. 11
선넘질도 괜찮습니다.... 심연이 절 들여다 보고 말았거든요
-
ㅇㅈ을 하고 싶어도 14
못생겨서 사진이 없는걸...
-
나도 꼽사리 낄래
-
대꼴 0
랄쌤 떴네
-
5모 45222 현역입니다... 겨울 방학 때 공부 아예 안 하고 4월부터 정신...
-
재밌을 거 같은데
-
잊힐 때쯤 다시 와야지 15
그땐 신비주의 컨셉으로
-
여붕이 ㅇㅈ 9
공대 가면 공대 여신할 수 있나요
-
군붕이 질받 2
당직서느라 심심함
-
켄시는 오래가자 10
술 여자할거같진 않으니까...
-
옯뉴비 이미지 써주세요 18
감사합니다!!!!
-
5모 ㅇㅈ 5
본좌는 개씹허수로.. 수능이 두렵습니다..
-
초기에 들었던 jpop 밴드들이 다 망하고 사라졌어... 마음의 고향이 사라진 기분이야...
-
이지랄
-
다시 질받
-
수업 끝 5
힘드로
-
존잘 x 기만 x 남자 x ㅇㅇ
-
아무도 없고 조용함 견디기 안힘드신가요 사정이있어서 34평 본가에 혼자살아서 거의...
-
글쿠만
-
보기좋다
-
진짜로 여붕이들이 오르비에 인증을 하긴 함? 새벽 시간에 하나? 게시물 볼 때마다...
-
잠시 쉬는 타임 1
머리가 아프군
-
내 손의 속도를 시험해보고 싶다
-
수열 6번 19
마지막에는 풀이 조금 스킵했습니다! 자꾸 답이 16이 나오네요 ㅠㅠㅠ
드디어 적용탄이 나왔군요 가장 기대하고있었습니다 진짜 이칼럼은 제 수학의 시각을 넓혀줬으니 잘보겠습니다
저야말로 영광이네요! 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요 :)
선댓후감
미소변화율 항상 재밌게 보고 있습니다
감사드려요 선생님 :)
이거보고 주머니에서 공이나 뽑기로했다
왜 평면으로 수선을 안내리고 그런걸
동경일공의 공 아닌가용
역시 수학고수
사설 실모나 엔제에서 많이 써먹었는데 많은 분들이 얻어가셨으면 좋겠네요~^^
Sec(x)
짖짜 뇌를 꺼내서 저한테 이식하고싶어요
대 약 연
약선생님 좋은 글 감사합니당
저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요
우와!
대 대 대
한의대 걸어두시나요
약연님 시.반(국가권력엔수생어쩌고)님이 이거좀 물어봐달랍니다
강의는 마지막에 나온다고 전해달라네요
https://youtu.be/9EOzb5wCSN4?si=3B1ZDrTpoDF_flU-
g'(x)를 수식으로 표현할 때, 미소변화량을 세로가 적당히 작은 직사각형으로 근사하였다고 생각하면 가로 × 세로인데, 도함수의 정의가 접선의 기울기이고, 접선의 기울기를 삼각비로 표현하면 아래 그림처럼 델타h/델타x로 표현할 수 있고, 델타S = 길이 × 델타높이 인데 양변을 델타x로 나눠 표현하면
넓이의 미소변화량 = 가로길이 × 도함수가 되는군요!
단! 이 경우는 기준선의 운동방향이 축과 평행하게 고정되어 있어 미세한 직사각형으로 근사, 위와 같이 도함수를 직관적으로 뽑아낼 수 있는것이지, 미소변화율 칼럼 1편의 극좌표에서의 근사에선 사용하기 곤란하군요..
헉 이걸 이제보다니..
미소변화율 3도 잘 보고 갑니다..ㅎㅎ
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요
영광이에요