수열 준킬러 1분 안에 푸는 방법 (2)
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00067340401
과연 무조건 첫째항부터 나열하는 것이 항상 좋은 걸까요..?
또한 나열하면서도 시간과 과정을 조금이라도 단축시킬 수는 없을까요..?
등차수열이나 등비수열이 아닌 순수한 수열 문제에서,
모두가 알다시피 ‘일단 나열해놓고 보는 것’이 정말 중요합니다.
하지만, 문제의 방향성을 염두한 채로 나열하다보면 불필요한 시간을 훨씬 줄일 수 있습니다.
올해 6월 모의고사 15번입니다.
이 문제에서 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는 의 부호입니다.
따라서 우리는 이 부호가 어떻게 전개될지에 모든 초점을 맞춰 풀이를 진행해야합니다.
먼저 모든 상황에서
으로 여기까지는 케이스를 나눌 필요가 없어보입니다.
이제 여기서부터 케이스를 나누어야합니다.
이제 k=1부터 k를 1씩 올려가며
등의 부호에 따른 케이스를 나누어보아야합니다.
상당히 번거로운 과정이 될 것 같습니다.
그 전에 풀이를 단축시켜줄 수 있는 규칙성이 있는지 살펴보는 것이 좋을 것 같습니다.
먼저, 과연 모든 항들의 부호가 서로 독립적일까요..?
혹시나 에 숨겨진 규칙이 있는지 살펴봅시다.
위와 같이 식을 변형해보고, 이 세 가지만 놓고
각각의 경우에 어떻게 전개되는지 대략적으로만 살펴봅시다.
만약에 이라면
이므로 입니다.
즉, 음수항 다음 항이 양수항이라면 그 다음 항은 다시 음수항이 됩니다 ... ㄱ
또한,가 전부 음수라면
"어..? 그렇다면.?"
... 이를 통해, 음수항에서 양수항으로 바뀔 때까지
음수항(이후 첫 양수항도 포함)에서 각 항들끼리의 차이는 공차가 2인 등차수열임을 알 수 있습니다 ... ㄴ
마지막으로, 만약 3~6번째 항에서 0이 하나라도 나온다면
이므로 더 살펴볼 필요가 없습니다
... ㄷ
우리는 ㄱ, ㄴ, ㄷ세 가지를 염두한 채로 최대한 빠르게 모든 경우들을 파악해볼겁니다.
k=1일 때,이므로
성립X (- + + -) (ㄱ 활용)
k=2일 때이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=3일 때, 이므로
성립O (- + - -)
k=4일 때, 이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=5일 때,이므로
성립O (- - + -) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=6일 때, 이므로
성립O (- - - +) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=7일 때, 이므로 성립X (- - - -) (ㄴ 활용)
k>7일때도 전부
(- - - -)일 것입니다.
따라서 가능한 k는 3, 5, 6 뿐입니다.
우리는 나열을 하면서도, 몇가지 규칙을 미리 염두해두어 케이스를 나열하는 시간을 줄이는데 성공했습니다.
한 문제만 더 살펴봅시다. 2023년도 수능 15번입니다.
이 문제에서는, 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는
이 3의 배수인지 아닌지의 여부입니다.
먼저, (가)를 보고
은 3의 배수가 아니기에
일 것이라고 먼저 확정해야합니다.
(나)를 본 뒤,
이미 모두가 알고 있는 ‘일단 넣고 보자’ 식으로
먼저 대입을 해봐야 합니다.
그러나, 만약을 시작으로 전개를 하려고 하면,
너무 많은 경우의 수가 나옵니다.
그래서 보통 해설을 보면 통상적으로부터 역추적하는 방법을 사용하곤 합니다.
그러나, 현장에서 이 문제를 직면했을 때 부터 역추적하는 것은 상당히 리스크가 있습니다.
어디까지 역추적해야 문제가 끝날지
해보기 전까지는 모르기 때문입니다.
(물론 결론적으로는 5번째 항까지만 살펴보아도 답이 나오도록 문제가 설계되었지만,
저의 경우 문제를 처음 현장에서 직면했을 때 역추적이 언제 끝날지 모르는 불확실성을 회피하고자 아래와 같은 방법을 사용했습니다.)
그렇다면 우리는 어디를 시작으로 전개해보아야 할까요?
모릅니다.
무슨 소리냐고요?
우리는 어느 항들이 3의 배수를 가지는지조차 모르고,
안다고 한들 그 항에 3분의 1을 곱했을 때 또 다시 3의 배수가 나올지 아닐지조차 모릅니다.
그래서 우리는,
3의 배수이면서, 1/3을 곱했을 때 더 이상 3의 배수가 아니게 되는 어떤 항을
k번째 항이라고 가정해놓고,
라고 설정한 뒤 거기서부터 나열해보는겁니다.
이렇게 설정해놓은 뒤 라고 하면, 문제없이 1~k번째 항은 자연수가 되므로 ‘모든 항이 자연수인가?’에 대해서도 걱정할 필요가 없습니다.
이제 에서부터 전개해보면
... 5항 주기로 반복됨을 알 수 있습니다.
이므로, 40이 1, 4, 5의 배수임을 고려해보면
또는
또는
을 만족할 것입니다.
k=4일 때,
그러므로
k=5일 때,
그러므로
k=6일 때,
그러므로
따라서의 최댓값과 최솟값의 합은 224입니다.
순수한 귀납적 추론을 요구하는 수열 문제에서
‘나열하면서 규칙 확인해보기’는 필수입니다.
그러나, 단순히 아무 생각없이 나열하는 것 보다는
상황에 따라 어떤 식으로 흘러갈지 대략적으로 추측해보고,
부호 / 3의 배수 여부 등 문제의 상황을 가르는 핵심 요소에 집중하여 이와 관련된 성질을 미리 파악하고
나열을 시작하면 훨씬 문제를 푸는 과정과 시간이 단축됩니다.
그렇다고 해서, 귀납적 추론을 요구하는 문제에서 ‘규칙을 반드시 찾고야 말겠어’라는 생각으로,
나열을 하지도 않은 채 모든 규칙을 찾아내려고 무모하게 시도하는 것은 오히려 시간 낭비일 수 있으므로
귀납적 추론을 베이스로 깔고 가되, 언제나 문제의 방향성을 염두해 둔 채로 수열 문제에 접근했으면 좋겠습니다.
현재 저희 Team BLANK의 기출문제집 제작이 70% 이상 완성되었습니다.
저희는 기출문제집은 엄밀한 논증 또는 해설지다운 해설보다,
직관을 사용하여 최대한 간결하고 깔끔하게 문제를 해결할 수 있는
해설을 여러분들께 제공합니다.
많은 관심 부탁드립니다 :)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
미적분쌤이였는데 수업 때 대놓고 책상에 엎드려서 자는 애들은 하나도 안혼내면서...
-
1.0배속은 좀 많이 빡세네
-
현장에선 점근선 근사로 풀었다뇽
-
저녁ㅇㅈ 3
배달비까지 다 합쳐서 15000원인데 고춧가루 뿌려서 맥주랑 먹을게요..
-
역시 나만 끊기는게 아니었어
-
겁나 빡셈 ㅠ
-
우리 학교 이과 1등 문과 1등 둘다 고3때 연애했음 2
그리고 둘다 대학 못감 정의는 승리한다 캬캬
-
갓생살고파 2
갓생살고파 ㅈㄱㄴ ㅠㅠㅜㅜㅠ
-
INFP, INTP, ENFP <<< 느낌이 딱 옴 12
mbti 알게 되면 그럴 줄 알았다하는 3인방
-
다른단원 공부좀 하면 전에 한거 못해지고 무한반복중...
-
뜨헉이
-
학원 아는 후배가 집 가는 길에 항상 여자랑 같이 가는거 보니 9
내가 왜 이 나이쳐먹고 모쏠아다인지 체감이 확 오네 연애하면서도 좋은 대학 잘만...
-
어떤 n제를 가져와도 쉽게 느껴짐
-
감정쓰레기통이 되
-
선택과목 화작 미적 생명 지구 원점수 97 96 1 50 50
-
어댑터랑 비교했을 때 많이 어렵나요?
-
나 잇팁인데 15
잇팁 싫어하는 사람 많다니까 뭔가 흥분됨
-
아.. 사탐은 굳이 지금부터 자이풀고 그런거보단 그냥 겨울방학하고 고3 내신때...
-
저능하다 저능해..
-
찐 특 ) 6
오르비함
-
주글께
-
드릴 했는데 7
그다음 엔제 추천좀여.. 이해원할까 고민중인데 좀 난해하다는 분들 있어서..
-
시험지에는 폭설이 시작되길...
-
국어 라인업 좀 보강하고 생명 정석준도 데뷔시키면 대성이 메가 ㄹㅇ 딸 수 있을거같은데
-
인사해주세요,, 3
저때문에 다른 사람들이 힘들어 하는 것 같아서 슬프네요,, 좋은사람이되고싶어요,, 반가워요 선생님
-
생각보다 20학점 넘게 듣고 과외 4개이상뛰는거 쉽지않다. 저번달에 건강검진했는데...
-
https://www.youtube.com/watch?v=GXIPLI0UYUc...
-
찐따메타뭐임 10
이러면나울어
-
메타가 이상해 19
라유한테 덕코주는 메타는 안 오려나
-
Infp 입니다 6
음침해 보이져
-
개찐따특) 11
오르비 메타도 못 낌 학식 맨날 혼자 먹음
-
제 mbti는… 3
히히
-
영재고 자퇴생 12
안녕하세요 영재고에서 자퇴한 18살입니다. 수능 공부 시작한지는 2주 정도...
-
찐따특) 5
친구가없음
-
사람만 안 다치게 해줘용
-
나임
-
찐아싸특 2
Intp임
-
얼버퇴!!! 8
얼리버드 드디어 퇴근!!
-
'파견 공보의 명단' 순식간에 온라인에 쫙…누가 유출했나 했더니만 2
[서울경제] 의료 현장을 이탈한 전공의들의 공백을 메우기 위해 파견된...
-
고2고 방학특강으로 수2 개념, 어삼쉬사반 신청했습니다(개념 자체교재, 문풀 쎈B)...
-
수능 120일 정도 남았는데 자기객관화가 준네안된다
-
(내가 f가 센 인프피라) 근데 생각보다 많이 좋더라
-
아싸가 된다...
-
인간 성격이 16개로 나눠지냐 <<< 이거같음 물론 막 믿습니다 엠비티아이...
-
그냥 국악이 좋음… 이유는 모르겟음
-
6모 4등급 7모 3등급 나온 씹허수인데 양승진T 기출코드 21번구간이 턱턱 막힘..
-
천만덕모으려면 5
덕코를 사야하는가..?
기출문제집 정말 기대가 되는군요
헉
8개년 평가원기출을 수록한다 하셨는데, 선별문제들인가요?
아님 8개년 평가원 준킬러,킬러를 다 포함하신 문제집인가요?
빨리 나왔으면..ㅠㅜ