VHC
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Virtual Haken Conjecture의 대략적인 증명 과정:
1. Hyperbolic 3-manifold group은 CAT(0) Cube complex에 properly, cocompactly act를 함.
2. [Agol] 만약 Hyperbolic group가 CAT(0) Cube complex에 properly, cocompactly act를 한다면, 그 group은 virtually special하다. 여기서 group G가 special하다는 것은 G가 어떤 special cube complex의 pi_1으로 나타낼 수 있다는 의미.
3. hyperbolic pi_1을 갖는 special cube complex는 RAAG로 embedding이 되고, quasi-convex subgroup들이 모두 separable하다. 여기서 finite generated group H<G가 separable하다는 것은, 모든 g in G - H에 대해서, H를 포함하지만 g를 포함하지 않는 G의 normal subgroup N을 찾을 수 있다는 의미.
4. hyperbolic 3-manifold group은 항상 어떤 surface subgroup을 포함하고 있음. 그리고 surface subgroup을 represent하는 immersed surface는 virtually fibered이거나, quasi-fuchsian surface임. 그리고 quasi-fuchsian surface group은 hyperbolic 3-manifold group의 quasi-convex subgroup임.
5. 이제 surface subgroup이 separable하다는 것을 이용해서, hyperbolic 3-manifold의 (regular) finite sheeted covering을 찾을 수 있어서 immersed surface가 그 covering에서는 (pi_1 injective 한) embedded surface가 됨. 따라서 모든 (closed) hyperbolic 3-manifold는 virtually haken임.
*Virtually Haken이면 virtually fibered임은 알려져 있음.
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