Sutured 3-manifold (3) - Consequences

Gabai의 원문에 main theorem의 수많은 corollary들을 적어놨는데, 약 절반 정도가 knot에 관한 것. 근데 난 knot에 대해서 아주 관심이 있는 것은 아니긴 한데, 그 중에서도 나름 나에게 어필링이 되는 corollary 두개만 statement와 증명을 쓰기로 함. knot을 제외한 corollary들은 대체로 나에게 어필링이 되기 때문에 대부분 적어보기로. 몇몇 명제들 빼고는 증명은 짧은데, 이미 잘 알려진 (어려운) 사실들을 사용하기 때문. 

Corollary 1. A nontrivial link $L\subset S^3$ is nonsplit if and only if $L$ is the set of cores of Reeb components of some foliation $\mathcal{F}$ of $S^3$.

*여기서 link $L$이 nonsiplit이라는 것은: there exists no embedded $S^2\subset S^3$ such that $S^2\cap L=\emptyset$ but each component $S^3-S^2$ intersects $L$ nontrivially. Equivalently, $\pi_2(S^3-L) = 0$.

다시 말해서, $S^2$로 인해서 link가 $S^3$에서 두개의 component로 나눠지는 경우 split된다고 함.

Corollary 2. Let $S_i$ be a Seifert surface for the oriented link $L_i\subset S^3$ for $i =1,2$ and $S$ be any Murasugi sum of $S_1$ and $S_2$ with $L = \partial S$. Then $S$ is a minimal genus surface for the oriented link $L$ if and only if each $S_i$ is a minimal genus surface for the oriented link $L_i$.

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이 Corollary 2의 motivation/historical remark를 말해보자면, Gabai가 Murasugi sum is a natural geometric operation 이라는 타이틀로 논문을 쓴 적이 있는데, 저기서 말하는 geometric 중 하나가, minimal genus surface들의 Murasugi sum은 여전히 minimal genus surface다라는 것. 이거 자체로도 흥미로운 결과이기 때문에 정리과 증명을 써보기로 함. 증명을 하는 이유는 주요 아이디어가 "interpolation" 이기 때문인데, 이러한 아이디어는 hyperbolic 3-manifold에서 아주 중요하게 쓰이는 아이디어이기에 기록하기로 함. 추후에 Canary의 covering theorem과 Brock의 Weil-Petersson metric과 convex core volume에 대한 결과를 소개할 계획이라 그때 여기서 나오는 철학이 어떤 식으로 변형되어 적용되는지 비교해보면 좋음.

Definition. The oriented surface $R\subset S^3$ is a Murasugi sum of compact oriented surfaces $R_1$ and $R_2$ in $S^3$ if $R = R_1\cup_D R_2$ for $D$ = $2n$-gon, $R_1\subset B_1,R_2\subset B_2$ where $B_1\cap B_2 = S = S^2$, $B_1\cup B_2 = S^3$ and $R_1\cap S = R_2\cap S = D$.

정의에서 한가지 유의해야할 점은, $R$은 애초에 oriented surface임을 명시했기 때문에 임의의 $2n$-gon $D$로 $R_1$과 $R_2$를 무작정 붙일 수는 없고, 꽤 "잘" 붙여서 만들어지는 topological space가 surface가 되어야 함.

Theorem. (Gabai) The Murasugi sum of minimal genus surfaces is a surface of minimal genus, i.e., if $R$ is a Murasugi sum of $R_1$ and $R_2$ and if for $i =1 2,$ $R_i$ is a minimal genus surface for the oriented link $L_i = \partial R_i$, then $R$ is a surface of minimal genus for the oriented link $L = \partial R$.

Proof of the theorem. 증명의 시작은 만약 $R$ is minimal genus surface가 아니라고 한다면, 어떤 oriented Seifert surface $T$ 가 있어서 $\partial T = L$ 이고 $T^\circ \cap R^\circ = \emptyset$, $\chi(T)>\chi(R)$ 이 됨. 포인트는, $T$는 $R$과 boundary에서만 겹치고, genus가 $R$보다 더 적다는 것. 메인으로 증명할 것은, $T$로 인해서 Murasugi sum으로 $R$을 만들 적에 사용된 $S = S^2$ 로 $T$를 "desumming"을 하면 $R_i$보다 genus 수가 더 적은 oriented Seifert surface가 만들어진다는 것을 보이는 것.

$E$를 $4n$-gon $S - (D^\circ\cup N(L)^\circ)$ where $S$ is the 2-sphere along which $R$ was summed and $D$ the summing disc, $N(L)$은 regular nbd라고 하자. 뭔가 복잡한데 쉽게 밑에 $n=3$인 경우에 도식화를 해놨지만, 그림 자체도 좀 misleading하다. 오른쪽 그림에서 $D$는 그대로 있고, $L$에 해당되는 바깥으로 뻗어나가는 직선들이 실제로는 화면을 통과하는 식으로 뚫고 지나가고 있는 것이고, $L$의 regular nbd에 의해서 $D$의 꼭짓점을 변으로 깎는 형식으로 생각하면 된다. (혹은 꼭짓점을 blow up한다고 생각해도 괜찮음) 결과적으로는 $2n$-gon인 $D$에서 $4n$-gon인 $E$로 변형이 됨.

자 이제 $u_1,\ldots, u_{2n}$을 $\partial N(L)\cap E$로 cyclic order를 준 component들이라고 하자. $T$를 적절히 isotope을 해서 $T\cap E$의 각각의 component들이 properly embedded arc이고 각각의 $u_i$가 $T$와 unique point에서 intersect를 하도록 설정. 이제 $T$의 "compression along $S$"인 $T_i = T\cap B_i - N(S)^\circ$ 를 정의. $T_i$는 $N(S)$에 해당되는 부분이 없는 상황이고 밑에 claim에서는 이거를 1-handle들로 잘 이어붙여서 Seifert surface로 만들 수 있다는 것.

Claim: One can extend $T_1$ and $T_2$ to Seifert surfaces $T_1^1$ and $T_2^1$ for $L_1$ and $L_2$ by attaching a total of $n-1$ 1-handles to $T_1$ and $T_2$ in $N(S)$.

Proof of claim: $S$를 $\Bbb R^2\cup\infty$로 보고 $L\cap S$가 evenly spaced points $X_1,\ldots, X_{2n}$ on the unit circle, $E$ is the unit disk in $\Bbb R^2$ minus neighborhoods of $L\cap S$ 라고 하자. 다시 말해서 $n =3$ 일 때 밑에 그림과 같은 상황이 됨:

이제 "적절한 좋은 세팅"을 위해서 다음과 같은 조건을 만족한다고 하자: View $N(S)$ as $S\times I$ with $S = S\times\{1/2\}$, $S\times\{0\}\subset B_1$, $N(S)\cap L = (L\cap S)\times I$ and $N(S)\cap T = (S\cap T)\times I\subset E\times I\cup N(L)$. 다시 말해서 $N(S)$의 딱 중간에 원래 $S$가 있는 상태이고, 밑으로 내려가면 $B_1$의 영역에, 위로 올라가면 $B_2$의 영역으로 가도록 하고, link $L$과 surface $T$는 $N(S)$에 transversal하게 intersect 하게 하는 것.

자 이제 메인 아이디어인 interpolation에 대해서 설명하기로 함. Let $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ be a good set of properly embedded arcs in $E$ if each $u_i$ contains a unique point of $\cup_{j=1}^n \lambda_j$. 그림으로 보면 상황 이해가 더 잘됨:

가운데에 12각형에 선 3개가 그어져 있는데, 저게 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$에 해당됨.

만약 $\delta$가 embedded arc in $E^\circ$ such that $\delta^\circ\cap\left(\cup_{j=1}^n\lambda_j\right) = \emptyset$ 그리고 $\partial\delta$ is contained in distinct components of $\cup_{j=1}^n\lambda_j$ 그러면 $\delta$를 중심으로 $\lambda_i$들을 쪼개서 새로운 good set $\lambda_1^1,\ldots,\lambda_n^1$ 를 만들 수 있음. formal하게는 $\cup\lambda_i^1 = \left(\cup\lambda_i-\delta\times I^\circ\right)\cup\delta\times\partial I$.

위에 그림에서는 왼쪽 혹은 오른쪽에 점선에 해당되는 것이 $\delta$이고 그걸 중심으로 쪼개서 만들어진 새로운 good set이 밑에 그려져 있다. 이렇게 만들어진 새로운 set $\{\lambda_1^1,\ldots,\lambda_n^1\}$는 $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$으로 부터 "1-handle들을 붙였다" 라고 말함. 위에 그림과 같이 "양방향" 으로 각각 handle attaching을 해서 최종적으로 $u_{2i},u_{2i+1}$과 $u_{2i-1},u_{2i}$가 $\lambda$들로 이어져 있는 최종 꼴로 항상 만들 수 있음. formal하게는, $n$으로의 induction을 통해서, 주어진 good set $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$에 대해서 어떤 수 $0\leq k\leq n-1$가 존재해서 $\{\lambda_1^i,\ldots,\lambda_n^i\}$ for $0\leq i\leq k$ and $\{\delta_1^j,\ldots,\delta_n^j\}$ for $0\leq j\leq n-k-1$ 인 good set들을 만들 수 있다. 여기서 $i = j = 0$에서는  $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$와 같고 각각의 $\lambda_\bullet^i$, $\delta_\bullet^j$들은 각각 $\lambda_\bullet^{i-1}$, $\delta_\bullet^{j-1}$ 들로 부터 1-handle attachment를 통해서 만들어진 것이고, 최종형인 $\lambda_r^k$와 $\delta_s^{n-k-1}$은 arc of the form $m_{2r-1}$ to $m_{2r}$ and $m_{2s}$ to $m_{2s+1}$ 로 나타나야 함. 최종형을 저런 세팅으로 한 이유는 기존 $T$에 대한 assumption 각각의 $T\cap E$의 component들은 properly embedded arc이고 각각의 $u_i$는 $T$와 unique point에서 intersect를 한다는 것 때문.

자 이런식으로 어떤 식으로는 주어진 good set에 대해서 good set hierarchy를 만든 다음에 hierarchy각각의 단계의 good set들을 interpolate하는 surface를 만들면 끝남 (참고로 good set은 항상 존재함): 만약 $k = 0$이면 $T_1^1 = T\cap B_1$. 만약 아니라면, $0 = t_0<t_1<\cdots<t_k = 1/2$를 고른 다음, $T_1^1\cap (B_1-N(S)^\circ) = T_1$, $T_1^1 \cap (S\times\{t_i\}) = \{\lambda_1^i,\ldots,\lambda_n^i\}$ 그리고 각각의 component $T_1^1\cap S\times [t_i,t_{i+1}]$은 either $\lambda_j^i\times [t_i,t_{i+1}]$ 이거나 밑에 그림과 같은 saddle인, 그러한 $T_1^1$을 construct한다.

다시말해서, $T_1^1$은 $t_i$ 레벨에서는 $\{\lambda_1^i,\ldots,\lambda_n^i\}$들이고, 그 사이사이 $[t_i,t_{i+1}]$ 에서는 "바뀌지 않는" 부분에서는 $\lambda_j^i\times [t_i,t_{i+1}]$이고 "바뀌는 부분"에서는 위에 saddle처럼 interpolation을 하는 surface를 집어 넣는다. 그리고 이 모든 일은 $S\times [0,1/2]$에서 일어나는 것이고 그 밖에 영역에서는 $T_1^1$는 $T_1$과 같음. 그러면 resulting surface $T_1^1$는 topological 하게는 $T_1$에다가 $k$개의 $1$-handle들을 붙인 것이고, 비슷한 방식으로, Seifert surface $T_2^1$ for $L_2$를 $n-k-1$개의 $1$-handle들을 붙여서 construct할 수 있음. 참고로 처음에 $N(S)\cap T$를 $E\times I\cup N(L)$로 구겨놓은 가정 때문에, 그리고 $T$와 $R$은 boundary link $L$에서만 intersect한다는 가정 때문에 결과적으로 만들어진 $T_1^1$와 $T_2^1$는 coherent하게 $T_1$, $T_2$ 각각과 붙게 됨.

다시 메인 정리의 증명으로 돌아오면,

$$\chi(T_1^1)+\chi(T_2^1) = 1-n+\chi(T_1)+\chi(T_2) = 1+\chi(T)>1+\chi(R) = \chi(R_1)+\chi(R_2)$$

가 되기 때문에, $\chi(T_i^1)>\chi(R_i)$ for some $i$가 됨.

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Corollary 3. Let $M$ be a compact irreducible connected oriented 3-manifold such that its boundary $\partial M$ is a (possibly empty) union of tori, and $H_2(M,\partial M)$ is not generated by tori and annuli. Then there exists a $C^\infty$ transversely oriented foliation $\mathcal{F}$ of $M$ such that $\mathcal{F}$ is transversal to $\partial M$ and $\mathcal{F}|\partial M$ has no 2-dimensional Reeb components, and no leaf of $\mathcal{F}$ is compact.

Corollary 4. Let $M$ be a compact acylindrical 3-manifold with boundary $\partial M$ whose interior has a complete hyperbolic metric and $H_2(M,\partial M)\neq 0$. Then there exists a $C^\infty$ transversely oriented foliation $\mathcal{F}$ of $M$ such that $\mathcal{F}$ has no compact leaves, $\mathcal{F}$ is transversal to $\partial M$ and $\mathcal{F}|\partial M$ has no Reeb components.

Corollary 5. Suppose $M$ is a compact irreducible 3-manifold, $\partial M$ is a (possibly empty) union of tori, and $H_2(M,\partial M)$ is not generated by tori and annuli. Then there exists a Riemannian metric and foliation $\mathcal{F}$ of $M$ such that $\mathcal{F}$ is transversal to $\partial M$ and every leaf is a minimal surface.

Corollary 6. Let $M$ be a compact and orientable. Let $p:\tilde{M}\to M$ be an $n$-fold covering map, and let $z\in H_2(M) = H^1(M,\partial M)$ or $z\in H_2(M,\partial M) = H^1(M)$. Then $n(x(z)) = x(p^*(z))$.

여기서 $x(\cdot)$는 Thurston norm을 의미함.

Corollary 7. Let $M$ be a compact oriented 3-manifold. Then on $H_2(M)$ or $H_2(M;\partial M)$,

$$x = {1\over 2}g,$$

where $x$ denotes the Thurston norm and $g$ denotes the Gromov norm.