3rd bounded cohomology and Kleinian groups - Soma
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00068693895
Theorem A. (Cohomological nearness implies geometric sameness). For a given $i_0>0$, let $(M_0,f_0)$ be any doubly-degenerate element of $AH_+(\Sigma_g)$ with $\mathrm{inj}(M_0)\geq i_0$. Then there exists a constant $\epsilon(g,i_0)>0$ depending only on $g$ and $i_0$ so that any element $(M_1,f_1)$ of $AH_+(\Sigma_g)$ satisfying $\parallel [f_0^*(\omega_{M_0})] - [f^*_1(\omega_{M_1})]\parallel<\epsilon$ in $H^3_b(\Sigma;\Bbb R)$ is equal to $(M_0,f_0)$ in $AH_+(\Sigma_g)$.
Corollary B (Geometric nearness does not imply cohomological nearness). Suppose that $\{M_n,f_n\}_{n=1}^\infty$ is a sequence in $H_+(\Sigma_g)$ such that each $(M_n,f_n)$ is not doubly-degenerate. then, $\{[f_n^*(\omega_{M_n})]_B\}_{n=1}^\infty$ contains no subsequences converging in $HB^3(\Sigma_g;\Bbb R)$ to the (induced) fundamental class of doubly-degenerate elements of $AH_+(\Sigma_g)$.
Theorem C. Suppose $\Gamma$ is a topologically tame Kleinian group such that the volume of $M_\Gamma$ is infinite. Then $[\omega_\Gamma] = 0$ in $H^3_b(M_\Gamma;\Bbb R)$ if and only if $\Gamma$ is either elementary or geometrically finite. If $[\omega_\Gamma]\neq 0$ in $H^3_b(M_\Gamma;\Bbb R)$, then $\parallel \omega_\Gamma\parallel = v_3$, so in particular, $[\omega_\Gamma]_B\neq 0$ in $HB^3(M_\Gamma;\Bbb R)$.
Theorem D. Let $M,M'$ be hyperbolic 3-manifolds with markings $\iota:\Sigma\to M$, $\iota':\Sigma\to M'$ respectively. Suppose that either the $(+)$ or $(-)$-end $\mathcal{E}$ of $M$ with respect to $\iota(\Sigma)$ is totally degenerate. If
$$\parallel\iota^*([\omega_M]) - \iota'^*([\omega_{M'}])\parallel<v_3$$
holds in $H^3_b(\Sigma;\Bbb R)$, then there exists a marking and orientation-preserving homeomorphism $\varphi_0:M\to M'$ and a neighborhood $E$ of $\mathcal{E}$ such that $\varphi_0|_E:E\to E' = \varphi_0(E)$ is bilipschitz. In particular, $\varphi_0$ defines the bijection between the components of $E_{cusp}$ and those of $E'_{cusp}$.
Corollary E. Under the assumptions in theorem A, suppose moreover that all genuine ends of $M$ are simply degenerate. Then $\varphi$ is properly homotopic to an isometry. In particular, $\iota^*([\omega_M]) = \iota'^*([\omega_{M'}])$ in $H^3_b(\Sigma,\Bbb R)$.
Theorem F. Let $M$ be an oriented hyperbolic 3-manifold with a marking of $\Sigma$. Suppose that there exists an orientation-preserving homeomorphism $\varphi$ from $M$ to another hyperbolic $M'$ inducing a bijection between the components of $M_{cusp}$ and those of $M'_{cusp}$. If
$$\parallel [\omega_M] - \varphi^*([\omega_{M'}])\parallel <v_3$$
holds in $H^3_b(\Sigma;\Bbb R)$, then $\varphi$ is properly homotopic to a bilipschitz map.
Theorem G. Let $G$ be a group, and let $\Gamma_1,\ldots,\Gamma_n$ be topologically tame Kleinian groups admitting isomorphisms $\varphi_i:G\to\Gamma_i$. Suppose that, for each $M_{\Gamma_i}$, only one end $E_i$ of $M_{\Gamma_i}$ is geometrically infinite. Let $\Lambda_i$ be a subgroup (uniquely determined up to conjugate) of $\Gamma_i$ corresponding to $E_i$. If, for every integers $i,j$ with $1\leq i\leq j\leq n$, there exists $\lambda_{ij}\in\Lambda_j$ such that $\varphi_i^{-1}(\Lambda_i)\cap C_\infty(\varphi_j^{-1}(\lambda_{ij})) = \emptyset$, then $[\varphi_1^*(\omega_{\Gamma_1})]_B,\ldots,[\varphi^*_n(\omega_{\Gamma_n})]_B$ are linearly independent in $HB^3(G;\Bbb R)$. Here, $C_\infty(g) = \bigcup_{n=1}^\infty C(g^n)$ where $C(g) = \{hgh^{-1}:h\in G\}$.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
바탕은 온 오프 차이 없다고 들었는데 상상이랑 한수도 온오프 차이 없나요?
-
키 메타네 2
-
현우진 뉴런 0
고2 정시러입니다. 여름방학때 확통까지 개념 돌리고 2학기부터 뉴런 들을까...
-
대부분 실제 인명을 따서 만들어졌다. 글록19-글록(영국)...
-
수학을 못해서... 극복하려고 노력은 하겠지만 한계가 있을듯함 ㅠㅠ
-
?
-
얘네뭐임 ㄹㅇ…
-
내가 조금만 머리가 좋았으면 얼마나 좋을까 내가 조금만 잘생겼다면 얼마나 좋을까...
-
킨잘 미사일 1
킨잘은 러시아어로 작살을 뜻하는데 작은 미사일이 마치 작살이 투창할 적에 목표물에...
-
문제 자체가 어렵다기보단 발상 떠올리는게 좀 힘든것같음 미적이ㅇㅇ 2회독 하면서 느낌
-
이거 신청했는데 13일날 가면 되는건가요?? 메가 단과가 처음이라ㅠㅠ 방금 홈페이지...
-
그냥 지워버렸는데 백지받을때쓸거라고는 생각자체를 못햇내
-
지금 수분감 막 시작해서 하고 있는데 뉴런을 빠르게라도 듣는게 좋을까요 아니면 n제...
-
안대
-
차르봄바 1
러시아어로 황제의 폭탄이란 뜻으로 제 2차 세계대전 이후 기존의 핵폭탄을 개량한...
-
배불러요
-
목표가 생겼다. 2
나도 내 한계를 부셔 버릴 날을 아름답게 맞이하기 위해 수능까지 달린다
-
잘자 9
수고했어 낼도 힘내보자
-
얼마나걸림 한번도 안해봐서 궁금하네요
-
독서랑 문학은 김승리 듣고 있습니다 언매는 유대종이랑 김승리 중 고민하고 있는데 추천 부탁드립니다
-
뭔가 하고싶은 건 많은데 그중 선택하는 게 빡세네.
-
치과 웃음가스 1
국소마취제로 쓰이기도 하는데 정식 명칭은 아산화질소다. 근데 얘가 ㅈㄴ 무시무시한...
-
현역7모 9
진짜 ㅈ망할거같은데 걍 보지말까ㅋㅋ
-
https://orbi.kr/00068685359...
-
Vod 꼭 그 시간에 들어야하나요? 복영으로 편한시간에 듣고싶어서요
-
늦은허수6모인증 22
올리고싶었는데가입일이너무늦어버려서 숨참고기다렸읍니
-
인강강사라도 수업 좀만 별로면 때려치고 싶은데 학교쌤 그 별로인수업을 어케 하루종일...
-
그 중에 네온사인 어디 갔냐는 질문 하실 법한 분들 있어서 적는다. 네온이 실은...
-
적재적소에 위험을 예견하는 정도면야 이해하겠는데 뭔말만하면 부정적인 사람들 기...
-
현역수시=사회성+인내심 GOAT 현역정시=멘탈GOAT
-
푸신거 중에 있다면 추천 부탁드립니다
-
철권의 등장 캐릭터 펭 웨이의 유파인 홍가권이 바로 의화단 단원이 수련을 할 때...
-
작년에 패스끊고 드릴 34 샀었는데 재수 안할줄알고 버려서..ㅋㅋ 올해 다시 사는거...
-
홍명보에 쯔양에 7
잘려고 누우니 뭔 일이 이렇게 많냐
-
엄빠 여행가심 20
흐흐 뭘할까
-
선착순 5명 4
500덕코씩 주세요.
-
친구 중에 저렇게 두명 있는데 생각해보니 둘 다 나(재수 정시)보단 고능하더라 각자...
-
전 뭘 사러 가는것부터가 귀찮아서 아아 뜨아 말고는 암것도 안먹는데 군것질 많이들 하시나요
-
안녕하세요 뉴비입니당 11
반갑습니당~
-
10일동안 눈팅하느라 ㅈㄴ 힘들엇네진짜 디시와는 다른 맛이잇음 오르비는
-
작년의 자취생활을 기억해 보면 음... 학원도 12시에 쳐가고 ㅋㅋ 넌 망한 이유가 있다 정시의벽아
-
한번 보자는데 왜 점점 불편해지는 기분일까 난 애인말고는 별로 누굴 만나고싶지않아
-
이감 오프 모고 4
메가스터디같은곳에서 파는 이감 하반기 실모랑 우리가 흔히 얘기하는 이감 오프...
-
쓰면서 하루를 반성하고 성찰해보고 싶은데 문제 푸는 시간을 뺏기는 건 아닐지 고민되네요..
-
오늘의 야식 3
두유잇두유?
-
대구 북구 검단동 금호강 일대의 지형도 인데요 저기서 금호강 북쪽지역이 공격사면이라...
-
외모도 그만큼 중요하고 부모도 못지않게 중요하고 사회성이나 성품 이런것도 존나...
-
문해전 시즌 1 4
난이도가 어떤가요 ...? 드릴이랑 병행하려고 하는데 괜찮겟죵
삼쌍둥이 낳으시나요??
!! 천재!