지금 계속 오르가즘때매 미치겟음

f가 다항함수라고 해서 g가 다항함수라고 할 수없을걸?

다항함수라서 g를 다항함수라고 한 적은 없는거같은데

삼차함수라고 했을때 g를 이차함수라고 적은거 말씀하시는건가용?

맞아요 그거 틀림 g가 연속함수라는 가정 하에 성립함

그부분 생각 안하고 썻다가 생각해보니 g(x)가 x=2를 기점으로 구간으로 정의된 상수항만 다른 이차식으로

각각 수렴 불연속 함수일 때도 성립하긴 하는군요 어차피 인수로 해결되니까 음음.

애초에 다항함수일때 x=2에서도 정의 가능한 함수이므로<<< 라고 쓴게 틀린 문장은 아니긴 해도 이미 불연속의 경우를 생각 안하고 쓴거같네요 지적 감사합니다!!

와 저 지우개 초딩때 쓰던건데

저도 그때쯤 산거같음

대신 정리해드리면 다음의 두 조건이 주어져 있을 때
• 모든 실수 x에 대해 성립: f(x)-8=(x-2)g(x)
• f(x)는 삼차함수
g(x)는 x=2에서 정의되지 않습니다.
위의 항등식에서 x=2를 대입했을 때 g(x)가 어떤 값을 가져도 등식은 성립하기 때문에
함수의 정의를 생각해보시면 다른 조건이 추가로 주어지지 않는 한 x=2를 함수 g(x)의 정의역 안에 집어넣을 수 없습니다.
그래서 주어진 등식은 모든 실수 x에서 성립하지만 함수 g(x)는 (실수 전체 집합) - {2}에서만 정의되고요.
여기에 추가로 g(x)가 모든 실수에서 연속이라거나 g(2)의 값을 따로 정의해줘야 g(x)가 모든 실수에서 정의된 함수가 됩니다.
이와 연관된 기출로는 191121(나)가 있습니다.

음? 그 경우를 생각 안해본건 아닌데,

x=2에서 g가 불연속이더라도 g(2)=k(k는 상수)로 정의되야만 모든실수에서 f(x)가 정의될 수 있는것 아닌가요?

그러니까 g(2-)=p
g(2)=k
g(2+)=q(단,p와k,q는 서로다른 상수)

인상황이거나, x=2에서 연속

이 아닌 정의되지않은 값(발산이라거나x=2에서 해당하는 함수값이 없음)

인데 f(x)는 삼차함수 이므로 f(3)은 실수 범위내에 있으니 정의는 되야할거같은데 다른 예시가 있나요?

• 모든 실수 x에 대해 성립: f(x)-8=(x-2)g(x)
• 함수 f(x)는 삼차함수

결론부터 말씀드리면 위의 조건만으로는 g(2)가 정의될 수 없습니다.

우선 함수 g(x)가 위의 항등식을 통해 정의되었음을 생각해야 합니다. 'g(x)가 이미 정의되어 있고, 힌트 성격의 등식이 주어진 것'이 아니라 위의 항등식이 g(x)의 정의 그 자체입니다. 따라서 위의 항등식이 논리적으로 의미하고 있는 것 외의 사실은 배제해야 합니다.

함수의 정의는 다음과 같습니다.
집합 X와 집합 Y가 각각 함수 f의 정의역과 치역일 때,
• 집합 X의 임의의 원소 x에 대해, 그에 대응하는 집합 Y의 원소 y=f(x)가 존재한다.
• x1 = x2 이면 f(x1)=f(x2)이다.
이를 말로 풀어서 설명하면, g(x)가 함수일 때 갖추어야 하는 조건은 다음과 같습니다.
• 정의역 내 임의의 x에 대해, y=g(x)가 "유일하게"(함수의 정의 두번째 줄) "존재한다."(첫번째 줄)
따라서, "함수 g(x)가 x=2에서 정의되었다 <=> g(2)의 값이 오로지 하나 존재한다" 입니다.

위의 항등식으로 돌아가서, 조건에 의해 x=2일 때에도 등식은 성립합니다. 따라서 f(2)-8=0×g(2)입니다. 0은 곱셈의 항등원이므로 임의의 수 a에 대해 a×0=0입니다. 즉 우변은 g(2)의 값에 관계없이 무조건 0이므로, g(2)의 값은 논리적으로 결정되지 않습니다. 다시말해 g(2)를 어떤 값이라고 가정해도 항등식의 결과와 모순되지 않습니다.

주어진 조건에서 g(x)를 정의하는 조건은 항등식 뿐입니다. 앞서 살펴본 것처럼 주어진 항등식은 g(2)를 오로지 하나의 수로 결정하지 않습니다. 따라서 g(2)는 정의되지 않습니다.

참고로 g(2)의 정의 여부와 f(2)의 정의 여부는 관계가 없습니다. 어느 경우에라도 우변은 0이므로, f(2)는 8 외엔 어떤 값도 가질 수 없기 때문입니다.