Chern-Simons invariant in hyperbolic 3-manifold
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00068864906
Definition (Chern-Simons 3-form). Let $\pi:P\to M$ be a smooth principal $G$-bundle. Suppose we are given an $\mathrm{Ad}$-invariant symmetric bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal{g}\times\mathcal{g}\to\Bbb C$. (i.e. $\langle\mathrm{Ad}_ga,\mathrm{Ad}_gb\rangle = \langle a,b\rangle$) The Chern-Simons 3-form $\alpha$ of a connection $\omega\in\Omega^1(P,\mathcal{g})$ is
$$\alpha(\omega) = \langle\omega\wedge\Omega\rangle - {1\over 6}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle = \langle\omega\wedge d\omega\rangle +{1\over 3}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle\in\Omega^3(P,\Bbb C).$$
In particular, if $M$ is a compact oriented smooth 3-manifold with or without boundary, and if there exists a smooth section $\sigma:M\to P$, the Chern-Simons invariant is
$$\mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma) = \int_M\sigma^*\alpha(\omega)\in\Bbb C.$$
물론 여기서 Chern-Simons 3-form의 각각의 항에 대한 설명이 필요하다. 보통 $\mathcal{g}$-valued form의 wedge product는 다음과 같이 정의한다: 만약 $\alpha = \alpha^iE_i$, $\beta = \beta^jE_j$, 여기서 $E_i$는 $\mathcal{g}$의 basis를 뜻한다. 그러면 각각의 $\alpha^i$와 $\beta^j$는 differential form들이고, 따라서 wedge product가 이미 정의가 되어 있다. 따라서,
$$[\alpha\wedge\beta] = \alpha^i\wedge\beta^j [E_i,E_j]$$
로 정의를 한다. 다시 말해서, coefficient들의 wedge sum을 하고 basis들의 Lie bracket을 이용해서 정의한다.
따라서, Chern-Simons 3-form에서 각 항들은 wedge product의 coefficient들에 주어진 bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle$을 적용해서 정의하는 것이다.
만약 $G$가 Lie group이라고 한다면, $\langle\cdot,\cdot\rangle$은 $\Bbb R$-valued로 보통 다음을 사용한다:
$$\langle a,b\rangle = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(ab).$$
예를 들어, oriented Riemannian manifold $M$이 있을 때, frame bundle $FM\to M$을 항상 associate할 수 있는데, 만약 $\nabla$가 Levi-Civita connection이라고 한다면, Chern-Simons 3-form of $\Delta$는
$$\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\omega\wedge\Omega - {1\over 3}\omega\wedge\omega\wedge\omega) \in\Omega^3(FM,\Bbb R)$$
가 된다. 참고로 위의 $\mathcal{g}$-valued form으로의 대응은 다음의 대응 관계로 다시 볼 수 있다:
$$\{\text{metric connection }\nabla\text{ on }TM\to M\}\leftrightarrow\{\text{principal }SO(n)-\text{connections }\omega\text{ on }FM\to M\}$$
* 참고로 Principal $G$-bundle에서의 connection 1-form은 원래 connection 1-form과 좀 다르게 정의하는데, 원래 connection 1-form은 local하게 밖에 정의가 되지 않는데, principal bundle의 경우에는 global하게 정의할 수 있다.
$\omega\in\Omega^1(P,g)$가 connection 1-form이라는 것은, (1) $\omega_p(\underline{X}_p) = X$ for any $X\in\mathcal{g}$ and $p\in P$, (2) $r_g^*\omega = \mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega$ 인 경우를 말한다. 여기서 $\underline{X}_p$는 소위 fundamental vector field라고 불리는 것인데,
$$\underline{X}_p = d/dt|_{t = 0} p\cdot e^{tX}\in T_pP$$
로 정의한다.
$\omega_p$는 canonical 한 choice가 있는데, 만약 $v:T_pP = V_p\oplus H_p\to V_p$가 vertical component로의 projection이라고 한다면, $V_p$는 $\mathcal{g}$와 $G\to P, g\mapsto p\cdot g$의 tangent map에 의해서 identify할 수 있고, 따라서 $\omega_p = v:T_pP\to\mathcal{g}$로 정의할 수 있다.
참고로 이러한 connection 1-form이 principal bundle에 정해져 있으면, 1-form의 kernel로 horizontal distribution을 잘 정의할 수 있다.
왜 이런식으로 Chern-Simons 3-form을 정의했는지 의문이 될 수 있는데, 한 가지 계산을 통해서 알 수 있는 것은
$d\alpha(\omega) = \langle\Omega\wedge\Omega\rangle$이 된다는 것. $\nabla$에 대해서는
$d\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)$가 된다. $[\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)]\in H^{4}(M)$가 Pontryagin class인 것을 상기해보면, Levi-Civita connection의 Chern-Simons 3-form은 Pontryagin class의 potential로 정의된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로, 홀수 $p=2n-1$에 대해서 Chern-Simons $p$-form은 $[\mathrm{tr}(\Omega)^{2n}]\in H^{4n}(M)$의 potential, 다시 말해서 $d\alpha_{2n-1} = c_n\mathrm{tr}(\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega)$인 $p$-form on $M$을 말한다. 여기서 $c_n$은 그냥 아무 constant나 잡아도 된다.
정의를 보면, Chern-Simons invariant는 global section에 depend가 된다. 우리는 적절히 mod를 해서 Chern-Simons invariant를 global section에 depend하지 않도록 하고 싶다. 이걸 위해서는 global section에 얼마나 CS-invariant가 변하는지 알아야 한다.
이러한 dependence를 반영하는 공식이 있는데, $\varphi:P\to P$를 smooth fiber bundle isomorphism이라고 하고 $g_{\varphi}:P\to G$를 $\varphi(p) = p\cdot g_{\varphi}(p)$로 정의하자. (앞에 나온 $p$에서의 fiber와 $G$와 identify를 하는 map이다.)
Proposition. Let $\varphi:P\to P$ be a bundle isomorphism. Let $g = g_{\varphi}\circ\sigma$.
$$\varphi^*\alpha(\omega) = \alpha(\omega) + d\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}_{\varphi}}\omega\wedge g^*_{\varphi}\mu\rangle - {1\over 6}g^*_{\varphi}\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
In particular,
$$\mathrm{CS}_G(M,\varphi^*\omega,\sigma) = \mathrm{CS}_{G}(M,\omega,\varphi\circ\sigma) = \mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma)+\int_{\partial M}\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega\wedge g^*\mu\rangle - {1\over 6}\int_M g^*\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
$G = SO(3)$인 경우에는, 가장 마지막 term은 $2\Bbb Z$라는 것이 알려져 있다. 따라서, $\bmod{\Bbb Z}$에서는 $\mathrm{CS}_{SO(3)}(M)$은 $\Bbb R/2\Bbb Z$에서 잘 정의 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
나도 이대가고싶다 11
ㅜㅜ
-
와언매책찾았다 2
온집을다뒤져서
-
쌩재수하면 불안할것같아서 학고재수하려하는데 세종,단국이 나을까요 부산,경북대가...
-
9모 성적 카대 되길래 전부터 심리학과 관심있어서 카대 심리학과 목표로 잡았는데...
-
맨날 84 88 ㅇㅈㄹ임 아 9모만 96ㅋㅋ
-
둘다 금수저에 외모가 미침
-
???: 네 기타는 왜 줄이 4개야? ???: 왜 너는 소리가 안나? ???: 넌 근음만 쳐^^
-
기시다 뀨뀨대 갔네 12
일본 총리가 이러는건 첨 아닌가
-
영어 9모 3->1, 지구 노베->2 뭐가 더 가능성 있음?? 3
9모 영어 4뜨긴 했는데 68점이고 6모때 3이었음. 근데 내가 4뜰땐 그냥 찍은게...
-
메가 기준으로는 안정권이라 하긴 하는데 제가 잘 몰라서… 여쭙습니다…! 성적 유지...
-
아빠가 계속 먹으라는데..
-
수의대는 대부분 매니아층이여서 의대 증원 영향을 좀 적게 받는다는 얘기도 있던데.....
-
십주파이널 때 안가서 오늘 풀었는데 9모 3등급 역시 어디 안간다
-
고민되네
-
뉴스만 퍼오다가 이렇게 게시글을 써서 올리면 누가 볼까 싶지만 그래도 오늘은 하고...
-
닭강정 멋구싶다 4
오앙
-
이걸 잘 못해서 빈칸에수 많이 털리고 특히 한단어 빈칸 내가 생각햇던게 선지에...
-
수능수학 과연 69모 처럼 계산 90% 추론 10% 6
메타로 낼 지 작수처럼 계산 50 추론 50 낼 지 궁금하네 작수처럼 낼 꺼 같아 두렵다
-
국어만 해도 얼마야
-
추천점요
-
드릴보다 쉬운 ?
-
챗 부탁드립니다!
-
클오클이 망했어 13
점검을 얼마동안하는거야..
-
4000부 판매돌파 지구과학 핵심모음자료를 소개합니다. (현재 오르비전자책 1위)...
-
내신 대비는 아니고 고2입니다! 기출은 학교 수업 때문에 다담 언매 있어서 굳이...
-
이틀에 한 번 자는 게 말이 되나???
-
50일 수학 하는데 다 아는 내용 + 문제도 잘풀리는데 먼가 모르는 개념 빵구가...
-
중앙대 안성캠 한국외대 용인캠 경희대 용인캠 성균관대 수원캠 넷 다 이원화인거로...
-
오르비가 재밌어짐 저런게 다크나이트가 아니면 뭐임?ㅋㅋ
-
폰게임 하고 있어
-
정시 수학과외 1
정시러고 수학과외 받으려는데 과외를 처음 받아보는거라서,, 보통 과외받으면...
-
정석민 선생님 문기정 지금부터 들어도 괜찮을까요? 작수 올해 6 9 전부 3등급이고...
-
이제 난이도 다시 내려가겠다 댕꿀 22수능 정도로만 돌아가줘
-
조별과제할때 존예,존잘껴있으면 참여율 개노픔
-
작년에 찍은 사진 재탕해도 되려나요? 3개월 이내긴 한데 하나하나 잡진 않겠죠..?
-
일단 파1 간쓸개는 그냥 친구줘버림
-
아침 브리또 하나만 먹고 점심 안(못?) 먹고 저녁 과자 하나만 먹었더니 영어 실모...
-
수능 탐구 선택자수 광주 표본 나왔는데 사탐런 걱정 안해도 될듯? 9
과탐 아직 넉넉한데?
-
현역인데 공부를 제대로 시작한건 올해부터에요 그래서 재수 생각도 있는데요.. 다른...
-
컨셉인가 얼탱
-
교과로 지거국은 뚫고 국숭세단은 안될 정도의 내신대인데 이미 수능을 사탐 봐서...
-
9모 화확쌍윤 35222 나온 씹허수 재수생입니다 수시 접수 기간이 다가오니 논술을...
-
개념은 이제 다 맞는데.. 고난도 문항 정복하려면 실모 양치기 하면 될거 같은데...
-
그날 이후로 지금까지.. 매일 그대의!
-
발상이랄 게 별 거 없지만 자꾸 휘발돼서 스킬과 함께 정리해 봅시다
-
[설의X울의X연치] 9평 이후 수능 공부는 이렇게 하세요. 0
안녕하세요, TEAM 수리남입니다. TEAM 수리남에서 론칭하여 올해 7-8월에...
야해오