엄밀한 수학(1): 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00068865526
얼마나 오래 갈 지는 모르겠지만, 고등 수학에서 빈번하게 다뤄지는 몇 가지 주제에 대하여 조금 엄밀하게 다뤄보는 글을 쓰려고 합니다. (주제 추천 받아요.)
엄밀한 수학이지만, 수학을 전공하지 않은 고등학생 정도의 수학 지식을 갖고 있는 분들도 최대한 이해할 수 있도록 써 보려고 합니다.
첫 번째 주제는 [구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성] 입니다.
[2021학년도 9월 모의 평가 10(나)]
위 문제와 같이 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성을 묻는 경우, 미분 가능성의 정의보다는 대부분 다음 두 가지 식의 연립으로 해결합니다.
(i)은 [미분 가능하면 연속이다.]의 성질을 이용하여 각각의 식에 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(ii)는 각각의 식을 미분하고 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(i)은 자명합니다. 문제가 되는 부분은 (ii)의 논리입니다. (ii)는 "도함수는 x=1에서 극한값이 존재한다."는 것을 의미합니다. 이를 엄밀하게 규명하기 위해 몇 가지 명제를 떠올려봅시다.
명제1: "미분 가능하면 도함수가 연속이다."
수학을 조금 깊게 공부해 본 성실한 고등학생이라면 위 명제1이 거짓임을 알고 있을 것이고, 또 그 중 대다수는 그의 반례도 알고 계시리라 생각합니다. (단, 그 역은 성립하죠.)
그렇다면 결론부의 조건을 조금 더 약화시켜 생각해봅시다.
명제2: "미분 가능하면 도함수의 극한값이 존재한다."
명제2 역시도 명제1의 반례로 어렵지 않게 거짓임을 보일 수 있습니다.
그럼, (ii)의 등호가 성립함을 보장해주는 근거가 되는 명제는 무엇일까요? 우리는 미분 가능한 함수에 대하여 그의 도함수의 극한값이 존재한다는 것은 알 수 없지만, 최소한 문제 조건으로부터 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 다음 명제를 생각해볼 수 있겠습니다.
명제3: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수의 극한값은 존재한다."
위 명제3이 참이라면, 우리의 최종 목적인 (ii)의 논리적 근거를 마련할 수 있습니다. 위 명제3의 참을 설명해주는 것이 바로 다르부 정리(Darboux's Theorem)입니다.
고등학생이 이해할 수 있는 언어를 기반으로 다르부 정리의 내용을 살펴봅시다. (증명은 "Introduction to Real Analysis by Robert G. Bartle"을 참고했습니다.)
다르부 정리 (Darboux's Theorem)
: 함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분 가능하고 k가 f'(a)와 f'(b) 사이에 있을 때,
f'(c)=k를 만족시키는 c가 열린 구간 (a, b)에 존재한다.
즉, 미분 가능한 함수의 도함수는 사잇값 정리의 결론을 만족시킵니다.
[증명]
미분 가능한 함수 g를 다음과 같이 정의합시다.
g가 연속이므로 최대-최소 정리에 의해 닫힌 구간 [a, b]에서 최댓값을 가집니다.
이므로
g는 x=a에서 최댓값을 갖지 못합니다. 이와 비슷하게, x=b에서도 최댓값을 갖지 못합니다.
즉, 닫힌 구간 [a, b]의 경계에서는 최댓값을 갖지 못하므로 최대가 되는 지점을 x=c라 할 때, c는 열린 구간 (a, b)에 존재합니다. 따라서 다음이 성립합니다.
Q.E.D
다시 우리의 원래 목적으로 돌아가서, 위 다르부 정리에 의해 미분 가능한 함수의 도함수가 좌극한과 우극한이 각각 존재한다면 반드시 그 두 값이 같아야 합니다. 그리고 더 나아가 그 지점에서 도함수는 반드시 연속이어야 합니다. 이 명제3을 다르부 정리에 의해 더 강한 조건으로 바꿔 다음 명제4가 참임을 알 수 있습니다.
명제4: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수는 그 지점에서 연속이다."
처음의 문제에서 f'(x)의 x=1에서 좌극한과 우극한이 각각 존재하므로 위 명제4에 의해서 f'(x) x=1에서 연속입니다. 따라서 (ii)의 등호가 성립합니다!
제 글이 그닥 많은 사람들이 읽지는 않지만 ㅎㅎ;; 개인적으로 정리해보고 싶었던 주제였습니다. 조금이나마 도움이 되셨으면 좋겠습니다. 감사합니다:)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
영어 갈아타다가 정착함 기출 푸는데 순삽 처음으로 다맞아봄
-
어디를 더 선호하시나요?
-
뉴욕,la 제외
-
으허허 4
-
- 국어 X - 수학 (5h 40m) 수1 킥오프 워크북 로그함수 (홀) 수2...
-
슈뱅이 없네? 이런 젠장...
-
형들 질문 딱 2개만할게요 국어 기출, 기출변형까지는 괜찮은데 n제(이감,리트)...
-
59일차
-
...
-
'따릉이 폭주족' 내일 서울 도심 집결 예고…경찰 "엄정 단속" 8
인도·차도 질주하며 행인 위협…경찰 조롱도 (서울=연합뉴스) 이미령 기자 = 서울시...
-
후 14
곤하다 곤해 집가면 침대다이빙해야지
-
농어촌 이정도면 3
23212 어디가나요
-
“어 형이 전국민을 확통 선택자로 만들었어“
-
ㅈㄱㄴ
-
말아먹으란 건가
-
물리 or 화학 모고 추천좀
-
일상물 애니들이 잔뜩 나오게 해주세요
-
이번 수능 현역인데 방학 끝나가는 시점 고정 2 나오는 과목도 없어서...
-
어그로 좀 끌어봤수다 현재 수학 3등급인데 2등급 가기위해 N제 추천 해주세요
-
백분위 화작 90 미적 98 영어2 이렇게 나오면 탐구에서 어느 정도 나와야 연대...
-
가장 좋아하는 애니는 12
코바야시네 메이드래곤이랑 케이온, 봇치더락, 오늘부터 신령님 이렇게 네 개인듯...
-
이모다 시즌2 0
풀어보신 분 계신가요? 1회는 좀 어려운 것 같고 2, 3회 난이도면 수능 때 1컷 50일까요?
-
오늘은 7시 30분에 일어났어요 수학에 조금 더 시간을 쓰는게 좋다는 의견을 들어서...
-
진짜 미치겠네요.. 내 일도 아닌데 동생 때문에 집안분위기 살벌해짐… 님들은 이럴...
-
사주라 편의점 가니 덕코 입금 부탁드려요~
-
요새 미장 근황 1
-
다레카이마센까아악
-
1회 91점 (듣기 X) 2회 96점 (듣기 X) 3회 95점 (듣기 O)...
-
본 애니 목록 13
코바야시네 메이드래곤 2기 최애의 아이 1기 오버로드 4기 전생슬 2기 나히아 5기...
-
이투스는 인도교육 점령했다는데 인도는 인구수 중국과 비슷하자나
-
나를 때리거나 한 건 아닌데 은근한 시비에.. 어쨌든 나를 무시하던 게 느껴지던...
-
흠
-
도합 13만원인가 주고 산 것 중 일부 일반기계기사필기실기 한국사능력검정시험...
-
나눠져있지 않고 다 섞여있는 n제중에 괜찮은거 추천좀
-
가장 최근에 울었을때 15
이번주 금요일
-
또 시작이네 4
애니프사는 삼일에 한번씩 패야
-
이제 막 기출하고있는 4등급 허수인데 뭔가 뭘 해야할지 모르겠고 막막해요 실마리 좀 주세요
-
https://orbi.kr/00068832486/%EB%B3%B8%20%EB%A7%...
-
화작 언매 0
24수능 화작 -8 23수능 화작 -3 22수능 화작 -5 그냥 틀릴빠에...
-
어떤 강의가 좋을까요? (아수라 제외) 1끝-3등급 진동합니다. 국어 강의를 들어...
-
기적급인겅가요? 작년 확통기준
-
자퇴 고민중입니다ㅜ 일단 저희학교는 수시러들이 압도적으로 많고 시험기간이 이니면...
-
수학문제를 풀다가 문득, 하루종일 키보토스에서 외롭게 나를 기다리고잇을 미카공주님이...
-
3개 수만 보인다 하면 몇 대 몇 내분인지 생각함 ex 최저기온 28도 최고기온...
-
안되는거시에요
-
국어 2컷에 과탐 수학 1컷 영어 2면 서성한 상위 공대 못가나요?...
-
내가 본 애니 1
총 몇 편인지 갑자기 궁금하네
-
하루에 한 과목으로 빡시게 할까요 아님 두 과목 반반 나눠서 하루에 하는게 낫나요?
-
ㄹㅇ
슈크란