엄밀한 수학(1): 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00068865526
얼마나 오래 갈 지는 모르겠지만, 고등 수학에서 빈번하게 다뤄지는 몇 가지 주제에 대하여 조금 엄밀하게 다뤄보는 글을 쓰려고 합니다. (주제 추천 받아요.)
엄밀한 수학이지만, 수학을 전공하지 않은 고등학생 정도의 수학 지식을 갖고 있는 분들도 최대한 이해할 수 있도록 써 보려고 합니다.
첫 번째 주제는 [구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성] 입니다.
[2021학년도 9월 모의 평가 10(나)]
위 문제와 같이 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성을 묻는 경우, 미분 가능성의 정의보다는 대부분 다음 두 가지 식의 연립으로 해결합니다.
(i)은 [미분 가능하면 연속이다.]의 성질을 이용하여 각각의 식에 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(ii)는 각각의 식을 미분하고 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(i)은 자명합니다. 문제가 되는 부분은 (ii)의 논리입니다. (ii)는 "도함수는 x=1에서 극한값이 존재한다."는 것을 의미합니다. 이를 엄밀하게 규명하기 위해 몇 가지 명제를 떠올려봅시다.
명제1: "미분 가능하면 도함수가 연속이다."
수학을 조금 깊게 공부해 본 성실한 고등학생이라면 위 명제1이 거짓임을 알고 있을 것이고, 또 그 중 대다수는 그의 반례도 알고 계시리라 생각합니다. (단, 그 역은 성립하죠.)
그렇다면 결론부의 조건을 조금 더 약화시켜 생각해봅시다.
명제2: "미분 가능하면 도함수의 극한값이 존재한다."
명제2 역시도 명제1의 반례로 어렵지 않게 거짓임을 보일 수 있습니다.
그럼, (ii)의 등호가 성립함을 보장해주는 근거가 되는 명제는 무엇일까요? 우리는 미분 가능한 함수에 대하여 그의 도함수의 극한값이 존재한다는 것은 알 수 없지만, 최소한 문제 조건으로부터 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 다음 명제를 생각해볼 수 있겠습니다.
명제3: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수의 극한값은 존재한다."
위 명제3이 참이라면, 우리의 최종 목적인 (ii)의 논리적 근거를 마련할 수 있습니다. 위 명제3의 참을 설명해주는 것이 바로 다르부 정리(Darboux's Theorem)입니다.
고등학생이 이해할 수 있는 언어를 기반으로 다르부 정리의 내용을 살펴봅시다. (증명은 "Introduction to Real Analysis by Robert G. Bartle"을 참고했습니다.)
다르부 정리 (Darboux's Theorem)
: 함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분 가능하고 k가 f'(a)와 f'(b) 사이에 있을 때,
f'(c)=k를 만족시키는 c가 열린 구간 (a, b)에 존재한다.
즉, 미분 가능한 함수의 도함수는 사잇값 정리의 결론을 만족시킵니다.
[증명]
미분 가능한 함수 g를 다음과 같이 정의합시다.
g가 연속이므로 최대-최소 정리에 의해 닫힌 구간 [a, b]에서 최댓값을 가집니다.
이므로
g는 x=a에서 최댓값을 갖지 못합니다. 이와 비슷하게, x=b에서도 최댓값을 갖지 못합니다.
즉, 닫힌 구간 [a, b]의 경계에서는 최댓값을 갖지 못하므로 최대가 되는 지점을 x=c라 할 때, c는 열린 구간 (a, b)에 존재합니다. 따라서 다음이 성립합니다.
Q.E.D
다시 우리의 원래 목적으로 돌아가서, 위 다르부 정리에 의해 미분 가능한 함수의 도함수가 좌극한과 우극한이 각각 존재한다면 반드시 그 두 값이 같아야 합니다. 그리고 더 나아가 그 지점에서 도함수는 반드시 연속이어야 합니다. 이 명제3을 다르부 정리에 의해 더 강한 조건으로 바꿔 다음 명제4가 참임을 알 수 있습니다.
명제4: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수는 그 지점에서 연속이다."
처음의 문제에서 f'(x)의 x=1에서 좌극한과 우극한이 각각 존재하므로 위 명제4에 의해서 f'(x) x=1에서 연속입니다. 따라서 (ii)의 등호가 성립합니다!
제 글이 그닥 많은 사람들이 읽지는 않지만 ㅎㅎ;; 개인적으로 정리해보고 싶었던 주제였습니다. 조금이나마 도움이 되셨으면 좋겠습니다. 감사합니다:)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이래서 대치동 대치동 하는구나..
-
https://m.news.nate.com/view/20241013n05577 진짜 재시험인데
-
퀄 되게 좋네... 정보량 폭탄이 아닌데도 체계적으로 정리해 두지 않으면 틀리게...
-
https://n.news.naver.com/article/023/0003863720?sid=102
-
생지에서 생지로 1
생1지1에서 생윤 지리로.. 문디컬 쟁취하자!!
-
국어쌤썰인데 1
상상은 항상 만점가까이받던학생이있었는데 평가원은 항상 3등급이였다고...
-
이감은 새로운 그런 시스템인줄알았네 ㅋㅋㅋㅋ 김봉소 상상 리트 3탑
-
라고 해놓고 누워서 오르비하기
-
알고 있었음??
-
아 이틀뒤 시험 4
자살
-
수인분당 오르비 꺼라 15
넵.
-
생2 어떤가요 7
찍먹해보려 하는데 암기 많져???
-
강기원 단과 서바 상위 30퍼 평균이 95점이라네 ㄷㄷ 5
와 이거 가능??
-
번장에서 5만원에 파는데 이건 좀 너무 비싸서 더 방법 없을려나
-
24수능 백분위 100의 작년 이감 성적...jpg 10
과외 준비하면서 오랜만에 실모 슬슬 알아보는데 작년 성적이 어플에 남아있네요 전...
-
근처 식당,pc방 다 꽉찾나요
-
이분인거 같음 나도 비슷한 안경쓰는데 난 왜 너드가 아니라 찐따인가
-
논술도 얼마 못 쓰는구나... 물1 버리고 뭐 해야 하지..
-
성적과 멘탈이 풀때마다 와장창
-
앞으로 이런일이 없도록 감독에 만전을 기하겠습니다 (x) 논술이 문제가 많구나...
-
스키마 파이널 모의고사 2회 91인데 현장 1컷 93이네 하.. 왤케 잘함
-
설대는 사실 꿈이고 연고대만 가도 진짜 ㄹㅈㄷ 가고싶다
-
가슴이 답답하다 3
요즘 왜 이러지
-
무한실모를 박아도 노트정리를 해도 사라지지 않음 방금 실모 맨 위에 '실수하지...
-
홍대병이라 15
한수>이감>상상>바탕 순으로 좋아해요 한수는 레드불을 주거든요..
-
뭐지 ㅅㅂ 5개증 3개틀림
-
자기혼자 연애썰을 술술 다풀어줌 미련 ㅈㄴ세게남아있는거 같은데 이거 다 박제되면...
-
'글을 쓸 때는 전달하고자 하는 맥락과 그에 대한 근거를 제대로 드러내게해야한다.'...
-
봉소가 이감임? 4
ㄹㅇ틀딱용어였네...
-
바뀐지가 언젠데 이걸 아직도 안 바꾼 걸 보니까 풀기도 싫어지고..
-
틀딱분들만 아는 이름 아닌가요...? 진짜 모름
-
이상한바라고 한담서요
-
점심 굶어서 그랬는지 몰라도 탐구칠때 집중거의 못하고 나와서 거의 쓰러졌었음 근데...
-
어느정도 합격 가능성이 있다고 봅니다 왜냐면 제가 작년에 2-2 밑에 서술을...
-
이감
-
언매황들아 제발 도와줘 17
왜 값없이-> '값/없이'가 아니라 '값없-+-이'로 형태소 분석되는거야?
-
네
-
이감은 이꼴인데 서바는 맨날 86~88진동 평가원은 이번에 95(언매) 2... 이게 ㄹㅇ 가능함?
-
보닌 삼국지덕후인데 동사하기 좋을까요??
-
헬프!!
-
23수능 생명 지구 둘다 2등급 맞았었는데, 현재 군입대 중이라서 수능을 다시 준비...
-
한석원 모고 1
원래 쉬운 거임 다들? ㄱㅁx
-
ㅇㄸ? 독서는 ㄱㅊ은데 문학 의문사가 존나 많음;; 등급컷 아는사람?
-
ㅈㄱㄴ
-
희대의 빡대가리 정책
-
평가원 96~100 사설 80~100에서는 강기원 선생님이 더 좋을까요?
-
게 익혀서 넣어야함?
-
상관관계 높은 건 사회보험인가요
-
보닌 성적 취향 21
수능 만점
-
아수라 3
김승리 아수라 구성 어떤 식 인가요? 한 주마다 이런 구성인가요??
슈크란